1、 径流条件下 散粒体斜坡的颗粒 冲刷启动机理 樊立敏 1，符文熹 1*，魏玉峰 1, 2，陈向东 1 (1 四川大学 水力学与山区河流保护国家重点实验室 水利水电学院，四川 成都 610065； 2 成都理工大学 地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室 环境与土木工程学院 ，四川 成都 610059) 摘 要： 为 研究地表径流对散粒体斜坡 的 冲刷侵蚀效应 ， 根据斜坡坡面径流和坡内渗流特征 建立了 散粒体斜坡径流 -渗流耦合模型 。该模型用 NavierStokes 方程 描述淹没区坡面径流，用 Brinkman-extended Darcy 方程 描述 散粒体斜坡 坡内 渗流 。 径流
2、区和渗流区的流体运动均满足连续性方程，且在交界面处的流体满足 Neal 和 Nader 提出的 流速相等和剪应力连续双边界条件。 采用 NavierStokes 方程 和 Brinkman-extended Darcy 方程 分别联立连续性方程 推求出径流区和渗流区的流速分布 。分析流 速理论表达 式 可知，影响 斜坡表部 径流流速 和坡体内部渗流 流速 的 主要 因素有 斜坡坡度、径流水深、斜坡散粒体 的 孔隙率和渗透率 ， 且流速随它们的增大而增大 。为探究 在 径流 条件下 散粒体斜坡坡面颗粒的冲刷启动机理，引入 Newton 内摩擦定律 求得 径流 区和渗流区交界面上 的切应力 ， 并
3、对颗粒发生滑动和滚动两种情况分别进行受力分析 ， 给出了颗粒滑动和滚动两种运动方式 相应 的 失稳判据 。 分析两种判据可知： (1)颗粒发生滑动时，其抗滑稳定安全系数主要受散粒体斜坡坡度、颗粒的内摩擦角、颗粒半径、径流水深、散粒体斜坡孔隙率和渗透率的影响，且随颗粒的内摩擦角、颗粒半径、散粒体斜坡孔隙率和渗透率的增大而增大，随散粒体斜坡坡度和径流水深的增大而减小； (2)颗粒发生滚动与否主要取决于散粒体斜坡坡度、径流水深、颗粒半径、散粒体斜坡孔隙率和渗透率，且它们的值越大，颗粒越容易失稳 。 关键词： 散粒体斜坡； 径流 -渗流耦合；切应力； 冲刷 机理 ； 失稳判据 中图分类号： TV142
4、.1 文献标识码： A Initiation movement mechanism of particles in loose granular slope due to scouring under surface runoff FAN Li-min1, FU Wen-xi1* WEI Yu-feng1， 2 CHEN Xiang-dong1 (1 State Key Laboratory of Hydraulics and Mountain River Engineering, College of Water Resource 2 State Key Laboratory of Geoh
5、azard Prevention and Geoenvironment Protection, College of Environment and Civil Engineering, Chengdu University of Technology, Chengdu 610059, China) Abstract: In order to study the scouring effect on particles in a loose granular slope with surface runoff， an analytical model was set up on the bas
6、is of the characteristics of slope runoff and seepage. A generalized equation known as the Brinkman-extended Darcy equation is solved inside the seepage zone, along with the incompressible NavierStokes equation in the upper runoff zone. We also use the continuity equation for both regions and a Neal
7、Nader boundary condition on the interface of the two regions. Combining NavierStokes equation and Brinkman-extended Darcy equation with the continuity equation can derive the flow velocity distributions of fluid in both regions, respectively. And the flow velocity is increase by the growing effectin
8、g factors. According to the flow velocity expressions, it is noted that the velocity mainly depends on slope gradient, runoff depth, porosity and permeability of the slope earth. In order to investigate the starting mechanism of particles on slope under the condition of runoff, Newtons law of fricti
9、on is introduced, and the shear stress at the interface of the two regions is obtained. The two cases of particle sliding and rolling are analyzed respectively, and the corresponding instability criterion of particle in sliding and rolling are presented in the two motion modes. Based on the analysis
10、 of the two criterions, it can be concluded that: (1) For the sliding case, the anti-sliding stability coefficient is mainly affected by the slope gradient, friction angle, particle radius, runoff depth and the porosity and permeability of the slope earth, and it increases with the rising of the int
11、ernal friction angle, particle radius, porosity and permeability of the slope earth, and decreases with the drop of the slope gradient and runoff depth; (2) Whether the particle rolls or not depends mainly on the slope gradient, runoff depth, particle radius, and the porosity and permeability of the
12、 slope earth, and the larger the value, the easier the instability of the particles. Keywords: loose granular slope; coupling of runoff and seepage; shear stress; scouring mechanism; instability criterion 散粒体斜坡 是指高陡斜坡在强风化作用下形成的砂粒和碎屑在自重 及外力 作用下发生溜动， 并在坡脚堆积形成的锥状斜坡 1。此类斜坡结构松散，以自然休止角停歇于坡脚，对外在扰动极其敏感，常因极小
13、的扰动而造成大面积碎块石滑落 ，对交通安全造成巨大威胁，同时又是泥石流引发的重要物源 2 。 由于散粒体斜坡的组成颗粒具有流动性，斜坡径流对颗粒运动 更是 产生极大的影响，因此研究径流条件下散粒体斜坡颗粒的 启动机理对防治散粒体斜坡危害具有重要 意义。 目前，有关散粒体斜坡的研究 较为丰富 。 文献 3和文献 4通过现场考察和室内模型试验 ，研究了 散粒 收稿日期： 基金 项目 ： 国家重点基础研究发展计划（ 973 计划）项目（ 2015CB057903）；中 国博士后科学基金（ 2016M590890）；四川省科技计划专项（ 2014SS027） 。 作者简介： 樊立敏（ 1990-），男
14、，广西上林人，硕士研究生，主要从事岩石力学与工程的研究。 。 *通信联系人： E-mail： wxf_。 网络出版时间： 网络出版地址： 体斜坡 的形成条件和演化规律。文献 5-7提出了“阿尔卑斯模式”， 通过各种先进的物探方法探测了坡体内部粗细颗粒 的 互层结构并据此推测岩体的风化速度，进而提出 散粒体斜坡 形成演化模型。文献 8-10分析了散粒体斜坡 的成灾机理和危害性特点，提出了一系列可供实施的整治方案。文献 11研究了粒状碎屑 散粒体斜坡 平面上砂粒的运动方式 ， 得 出了砂粒运动具有牵引式和推动式的力学特征 的结论 ，并 根据 单个砂粒起动时的受力特征和条件，给出 了砂粒的运动参数和
15、动力学模型。文献 12对干砂流的运动动力和阻力进行 深入 研究， 建立 了 干砂流垂线流速分布方程和干砂流体底面、表面滑动速度方程， 并 建立 了粒状碎屑 散粒体斜坡 水平土压力计算模型。文献 13为研究影响散粒体斜坡稳定性的主要因素 ，以休止角为衡量标准，对 散粒体斜坡 失稳进行试验研究。 文献 14阐述了泥沙的起动机理， 通过 引入 等效粒径概念及表达式 ，推导出了泥沙起动公式。 文献 15-17认为 散粒体斜坡具有自组织临界性规律，并 运用该规律对 散粒体斜坡 的稳定性进行研究 。 文献 18认为松散边坡自发地向临界状态演化，其演化特征表现为两种不同的动力学行为，进而提出相应的防治工程设
16、计。 然而，上述文 献均未考虑径流对 散粒体斜坡 的冲刷作用。基于此，本文 考虑 径流对 散粒体斜坡 的冲刷作用， 采用 Navier-Stokes 方程 19和 Brinkmanextended Darcy 方程 20分别描述径流和多孔介质渗流的流场特征 ， 建立径流分析模型，推导出径流和散粒体斜坡内流体的流速分布 ，并 根据 Newton 内摩擦定律 推求出径流对 散粒体斜坡 的切应力， 然后通过 对径流时散粒体斜坡颗粒的稳定性进行分析，得出 颗粒 发生 滑动和滚动 两种运动方式 的 失稳判据。 1 流场分析及切应力计算 1.1 分析模型 自然界中 径流对 散粒体斜坡 的冲 刷 现象 较为
17、常见。根据散粒体斜坡径流特征建立理论分析模型 ， 如图 1 所示 。模型中散粒体斜坡坡度为 ，长度为 L，厚度为 b，孔隙率为 n，渗透率为 K，散粒体斜坡内沿 x方向的流速为 vx；径流水深为 h，沿 x 方向的流速为ux。建立 如图所示 平面直角坐标系 xoy， 并 对 散粒体斜坡 径流 流场特征 进行理论分析 。 严格意义上 讲， 天然 流体 的运动属于三维空间运动， 其影响因素十分 复杂。 本文 为研究 方便 ， 提出 以下 基本 假设： 1） 散粒体斜坡 和径流沿 x 方向无限延伸； 2） 散粒体斜坡 介质均匀； 3） 水流 为二维平面运动， 且 沿 y方向的流速为 0； 4） 水流
18、 为 Newton流体，且为充分发展的层流； 5） 水流 不可压缩， 即 满足连续性方程； 6） 径流流动可用 NavierStokes 方程描述，散粒体斜坡中的水流运动可用 Brinkman-extended Darcy 方程描述。 图 1 径流分析模型 Fig. 1 An analysis model for runoff 1.2 流 场特征 1.2.1 径流的流速分布 根 据 分析模型的基本 假设， 径流 中的 水流 满足连续性方程和 NavierStokes 方程。 连续性方程写为： 0 zuyuxu zyx (1) 式中： uy、 uz 分别 为 径流 沿 y 方向 和 z 方向的
19、流速(LT-1)。 NavierStokes 方程 (沿 x 方向 )写为 ： 2222221 zuyuxuxPf xxxx zuuyuuxuutu xzxyxxx (2) 式中： fx 为沿 x 方向的质量力 (LT -2)； 为 水 的密度(ML-3)； P为沿 x方向的压强 (ML-1T-2)； 为 水 的运动粘滞系数 (L2T-1)。 由 于 径流 沿 y方向和 z 方向的流速均为 0（即 uy = uz = 0） ， 故有 uy / y = uz / z = 0，将其带入式 (1)可得 ux / x = 0； x 方向流速 ux在 z 方向不 发生 变化，即ux / z = 0；沿
20、x方向 上 ， fx = gsin， dP / dx = P / L；径流 为恒定流，可得 ux / t = 0。将这些条件代入式 (2)并 化简得： 0s inw22 LPyu x (3) 式中： 为 水 的动力粘滞系数 (ML-1T-1),w 为水的容重(ML-2T-2)。 求解式 (3)得： 212w2 s in AyAyLLPu x (4) 式中： A1、 A2为待求系数。 1.2.2 斜坡 中流体的流速分布 根据分析模型的基本假设 ， 散粒体斜坡中的 水流运动 满足连续性方程 和 Brinkman-extended Darcy 方程 。 连续性方程写为： 0 zvyvxv zyx (
21、5) 式中： vy、 vz 分别 为 散粒体斜坡中 水流 沿 x 方向和 y方向的 流速 (LT-1)。 Brinkman-extended Darcy 方程 (沿 x 方向 )写为： 222222 zvyvxvxPnvKnfn xxxxx zvvyvvxvvn xzxyxx (6) 化简式 (6)得： 0s i ndd w22 nLPnKvnyv xx (7) 求解式 (7)得： L KLPCCv KnyKnyx s inee w21 (8) 式中 :C1 和 C2 为待求系数。 1.2.3 边界条件 径流的流速 ux和 散粒体斜坡 中 水流 的流速 vx满足以下边界条件： 1） 在径流上表
22、面 ( y = h )处，径流流速 ux达到最大，即满足 dux / dy = 0； 2） 在坡面 ( y = 0 )处，满足 Neal和 Nader 提出的交界面 处 流速相等 且剪应力连续的 边界 条件 19： 即 vx = ux，且yuyvn xx dddd1 。 3） 在 散粒体斜坡 底部（ y = -b） 处，满足 vx = 0。 将以上边界条件带入式 (4)和式 (8)并解 得 A1、 A2、C1 和 C2 的值如下： 1ees in1ees ins ins inb2bw2b2bw1w2w1KnKnKnKnLKnKhLPCLKnKhLPCLKnKhLPALhLPA(9) 把 A1、
23、 A2、 C1 和 C2 的值分别代入 式 (4)和式 (8)可分别写出径流的流速 ux和 散粒体斜坡 中水流的流速 vx表达式如下： yL hLPyLLPu x s in2 s in w2w L KnKhLP s i nw (10) KnyKnKnx L KnKhLPv e1e es i n b2bw KnyKnKnL KnKhLP e1e es i n b2bw L KLP sinw (11) 由于 P= w h，而 h / L = i，且 i = tan(i 为水力坡降 )，故式 (10)和式 (11)可化为： yhyu x t a ns in2 t a ns in w2w t a ns
24、 i nw KnKh (12) KnyKnKnx KnKhv e1e t a ns i ne b2bw KnyKnKnKnKh e1e t a ns i ne b2bw tansinw K (13) 对式 (12)和式 (13)进行分析发现： 径流流速 ux和 散粒体斜坡内水流的流速 vx主要受散粒体斜坡坡度 、径流水深 h、 散粒体斜坡孔隙率 n和渗透率 K 的影响，且随 它们 的增大而增大。 1.3 径流 条件 散粒体斜坡 的切应力 由 Newton 内摩擦定律 18可知： yudd(14) 式中： 为 切应力 (ML-1T-2)； u 为 流速 (LT-1)。 把 径流流速 ux代入式
25、(14)可求出 径流沿 x 方向的切应力 x如下： hyx ta ns inw (15) 坡面 (y = 0)处 的 x即为径流对 散粒体斜坡 的切应力 s： tansinws h (16) 分析式 (16)可知 ： 径流对 散粒体斜坡 的切应力 s主要 受径流水深 h 和 散粒体斜坡 坡度 的影响 ，且随径流水深 h 和 散粒体斜坡 坡度 的 增大而 增大。 2 颗粒冲刷启动机理 散粒体斜坡 的 失稳 破坏 是由表及里的。破坏初期，坡 面 的 颗 粒 首先 依次 运动。 当坡 面 的 颗粒 发生 运动后，斜坡 内部的 颗粒 便 逐渐 裸露出来， 随后 在径流切应力的作用下 继续 发生 运动，
26、最终 ， 使得 整个坡体 失稳，发生破坏。 因此 ， 本文 研究 的对象是单个 颗粒 。 2.1 基本假设 单个 颗粒 的 主要 运动 方式 有 滑动和滚动 两种 。 对于某一具体的 散粒体斜坡 ， 颗粒 的运动 方式 取决于 斜坡的坡度和 颗粒 的 性质等因素。 为分析 方便 ， 本文 对坡面上的 颗粒 作以下 基本 假设： (1) 颗粒 的运动属于二维平面运动，且只沿坡面方向运动； (2) 将 颗粒 视 为 不可压缩的 均质 球体，半径为 r。 2.2 滑动 失稳 判据 对坡面上的 颗粒 进行受力分析，如图 2 所示 。颗粒所受的作用力包括：垂直向下的重力 G，垂直向上的浮力 Fb，垂直于
27、坡面向上的上举力 FL和支持力 FN，平行于坡面向下的拖 曳 力 FD 和剪切力 Fs，平行于坡面向上的摩擦力 Ff。 F NF bF fGF sF LF D图 2 颗 粒的 滑动 分析 Fig. 2 Sliding analysis of granule 根据 式 (12)可求得坡面（ y = 0）处的流速 us为 ： t a ns i nws KnKhu (17) 由式 (17)可以 看出：坡面处的流速 us 主要受 散粒体斜坡坡度 、径流水深 h、 散粒体斜坡孔隙率 n和渗透率 K 的影响 ，且随它们的增大而增大。 重力 G、 浮力 Fb 和 上举力 FL 可由以下各式求出 ： s334
28、 rG(18) 式中： s为 颗粒 的容重 (ML-2T-2)。 w3b 34 rF (19) 2s2LL 2 urCF (20) 式中： CL 为上举力系数，可由文献 20中给定的方法求得。 由图 2 的受力分析可给出支持力 FN 的表达式如下： LbN cos FFGF (21) 假定 颗粒 间的内摩擦角为 ， 则摩擦力 Ff为 ： t a nt a nc o st a n LbNf FFGFF (22) 将式 (18)、式 (19)和式 (20)分别 代入式 (22)并整理 得Ff的表达式如下 ： t a n2t a nc o s34 2s2Lws3f urCrF (23) 求得的 拖
29、曳 力 FD 和剪切力 Fs 可 见式 (24)和 (25)： 2s2DD 2 urCF (24) 式中： CD 为 拖 曳 力系数，可由文献 21中给定的方法求得。 s2s 2 rF (25) 将式 (16)代入式 (25)得： tans in2 w2s hrF (26) 根据以上各式求得 颗粒 的抗滑稳定 安全 系数 Ks见式 (27)： s in8s int a n123 s in8t a n3t a nc o s8s ins ins3w2sDw32sLwssDbfs rhuC ruCrGFF FFK (27) 分析 式 (27)可知：抗滑稳定 安全 系数 Ks主要 与 散粒体斜坡 坡度
30、 、 颗粒 间的内摩擦角 、 颗粒 半径 r、径流水深 h、 散粒体斜坡孔隙率 n 和渗透率 K 有关。且抗滑稳定 安全 系数 Ks随 颗粒 间的内摩擦角 、 颗粒半径 r、 散粒体斜坡孔隙率 n 和渗透率 K 的增大而增大 ， 随 散粒体斜坡 坡度 和 径流水深 h 的增大而减小 。当抗滑稳定 安全 系数 Ks 1 时， 颗粒 处于稳定状态。 2.3 滚动 失稳 判据 本文首先推求出 处于临界状态时 颗粒 应满足的条件， 进而 对 颗粒 的状态进行分析。 颗粒 处于临界状态时 ， 取坡面上的 颗粒 A进行 受力 分析，如图 3所示 。临界状态时 ，颗粒 C 对 颗粒 A的支持力恰 好为 0，
31、则颗粒 A所受的作用力包括：垂直向下的重力 G，垂直向上的浮力 Fb 和上举力 FL，过球心 O1、 O2向上的支持力 FN，平行于坡面向下的拖拽力 FD和剪切力 Fs，与颗粒 A、 B相切向下的摩擦力 Ff。 GF bF DF sF LOO 2O 3O 1F NF fBAC图 3 颗 粒的 滚动 分析 Fig. 3 Rolling analysis of granule 图 3 中的 重力 G、浮力 Fb、上举力 FL、拖拽力FD 和剪切力 Fs 可 由 式 (18)、 (19)、 (20)、 (24)和 (26)求得 。 以 颗粒 A 和 B 的切点 O 作 为 支点进行分析 ，得到 力矩
32、 平衡方程 如 下 ： 0gDDssLLbb GllFlFlFlF (28) 式中： lb、 lL、 ls、 lD和 lg 分别为 Fb、 FL、 Fs、 FD 和 G对点 O 的力臂 ， 且计算得到 30singb rll , rl 5.0L , rl 35.01s 和 rl 35.0D 。 将 式 (18)、 (19)、 (20)、 (24)和 (26)代入式 (28)并 化简 得： t a ns in324341 w2sDL huCC 0c o ss i n332 ws r (29) 式 (29)即为 处于临界状态时 颗粒 应满足的条件。分析 式 (29)可知 ：当 等式左边 大于 0时
33、， 颗粒 B、 C 静止不动， 颗粒 A处于失稳状态 ，发生滚动 ； 当等式左边等于 0时， 颗粒 A处于临界状态； 当等式左边小于0 时， 颗粒 C 会为 颗粒 A提供一个支持力，使 颗粒 A处于稳定状态。 颗粒 状态 主要 取决于 散粒体斜坡 坡度、径流水深 h、 颗粒 半径 r、 散粒体斜坡孔隙率 n 和渗透率 K，且 它 们 的值 越大， 颗粒 越 容易 失稳。 3 结论 通过对 散粒体斜坡 径流 的 理论分析，推求出径流和散粒体斜坡内流体的流速分布，进而推求出径流对散粒体斜坡的 切应力表达式。分析流速的理论表达式发现，流速主要受散粒体斜坡坡度、径流水深、散粒体斜坡孔隙率和渗透率的影响
34、。单个颗粒的主要运动方式有滑动和滚动两种。对于滑动形式，推导出颗粒的抗滑稳定安全系数作为失稳判据，分析发现 抗滑稳定安全系数主要与散粒体斜坡坡度、 颗粒 间的内摩擦角、 颗粒 半径、径流水深、 散粒体斜坡孔隙率和渗透率 有关。且抗滑稳定安全系数随 颗粒 间的内摩擦角、颗粒 半径、 散粒体 斜坡孔隙率和渗透率 的增大而增大 ，随散粒体斜坡坡度和径流水深的增大而减小 ；对于滚动形式，推求出处于临界状态时颗粒应满足的条件作为失稳判据，分析发现颗粒处于的状态主要受 散粒体斜坡坡度、径流水深、 颗粒 半径、 散粒体斜坡孔隙率和渗透率的影响。 参考文献 ： 1 Zhang Yuancai, Huang R
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