1、大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS复旦大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若方程 152kyx表示双曲线，则实数 k 的取值范围是( )A 25 C k5 D 以上答案均不对 【答案】C2若圆24xy上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的13，则所得曲线的方程是( )A21B2136xyC22914xyD 2164
2、xy【答案】C3已知抛物线 2(0)ypx上一点 (,)0Mm到其焦点的距离为 5，双曲线21xa的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a的值是( )A 9B 125C 15D 13【答案】A4在椭圆 )0(2bayx中， F， A， B 分别为其左焦点，右顶点，上顶点， O 为坐标原点， M 为线段 OB 的中点，若 FMA 为直角三角形，则该椭圆的离心率为( )A 5B 215C 52D 5 【答案】A5已知椭圆 532nymx和双曲线 23nymx1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A x y1B y x5C x y4D y x43【答案】D6椭圆
3、y的离心率是 ( )大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopSA B C D 【答案】A7已知直线 01ymx交抛物线 2xy于 A、 B两点，则 AOB( )A 为直角三角形 B 为锐角三角形C 为钝角三角形 D 前三种形状都有可能【答案】A8设双曲线2:1,(0,)10xMyCxya点 若 直 线交双曲线的两渐近线于点A、B，且 A，则双曲线的离心率为( )A 52B 103C 5D 10【答案】B9双曲线21(0,)xyab的右焦点是抛物线28yx的焦点，两曲线的一个公共点为 P，且|PF|=5，则该双曲线的离心率为( )A52B 5C 2 D 23【答案】C10已知直线
4、 ykx2(k0)与抛物线 C：x 28y 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA|4|FB|，则 k( )A3 B C D54 34【答案】B11若直线 l过点 (,0)与双曲线 296xy只有一个公共点，则这样的直线有( )A1 条 B2 条 C3 条 D4 条【答案】C12若点 的坐标为 (3,)， F是抛物线 xy2的焦点，点 M在抛物线上移动时，使MF取得最小值的 的坐标为( )A 0,B 1,2C 2,1D 2,【答案】D第卷(非选择题 共 90 分)大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分
5、，把正确答案填在题中横线上)13已知椭圆 1625yx的焦点为 F1、F 2，直线 CD 过焦点 F1， 则 F2CD 的周长为_【答案】2014已知 A、 B是椭圆21(0)xyab和双曲线 21(0,)xyab的公共顶点。 P是双曲线上的动点, M是椭圆上的动点（ P、 M都异于 A、 B） ，且满足()，其中 R，设直线 、 、 、 的斜率分别记为 1k、 2、 3、 4k, 125,则 34k_ .【答案】-515若点 P 在曲线 C1： 28yx上，点 Q 在曲线 C2：(x2) 2y 21 上，点 O 为坐标原点，则|OQ的最大值是 【答案】 47 16已知点 P 是抛物线 2yx
6、上的一个动点，则点 P 到点（ 0，2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 .【答案】 217三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17过点 C(0，1)的椭圆21(0xyab的离心率为 32，椭圆与 x 轴交于两点 (,0)Aa、大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS(,0)Aa，过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D，并与 x 轴交于点 P，直线 AC 与直线 BD 交于点 Q(I）当直线 l 过椭圆右焦点时，求线段 CD 的长；(）当点 P 异于点 B 时，求证： OPQ为定值【答案】 （）由已知得
7、31,2cba，解得 2a，所以椭圆方程为214xy椭圆的右焦点为 (3,0)，此时直线 l的方程为 31yx，代入椭圆方程得278x，解得 1283,7x，代入直线 l的方程得 12,7y，所以31(,)D，故 22816|(0)()77C(）当直线 l与 x轴垂直时与题意不符设直线 的方程为 1(0)2ykk且 代入椭圆方程得 2(41)80kxk解得 1280,4x，代入直线 l的方程得 12,y，所以 D 点的坐标为224(,)1k又直线 AC 的方程为 xy，又直线 BD 的方程为 (2)4kyx，联立得 4,21.xky因此 (4,2)Qk，又 (,0)Pk所以 1(,421OP
8、故 为定值18已知双曲线 C：2(0,)xyab的离心率为 23，且过点 P（ 6，1）求出此双曲线 C 的方程；【答案】213xy19已知椭圆的中心在原点，焦点为 F1 ()02， ， F2（0， ） ，且离心率 e23。大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS(I）求椭圆的方程；(II）直线 l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点 A、 B，且线段 AB 中点的横坐标为 12，求直线 l 的斜率的取值范围。【答案】 （I）设椭圆方程为 yaxbcca21223， 由 已 知 ， 又解得 a=3，所以 b=1，故所求方程为 yx291解得 k3或 又直线 l 与坐标轴不平
9、行故直线 l 斜率的取值范围是k k3或 20在平面直角坐标系 xoy中，经过点 0,2且斜率为 k的直线 l与椭圆21xy有两个不同的交点 PQ和 .(1）求实数 k的取值范围；(2）设椭圆与 x轴正半轴， y轴正半轴的交点分别为 ,AB，是否存在常数 k，使得向量OAB与共线？如果存在，求 k的值；如果不存在，请说明理由.【答案】(2）设 12(,)(,)PxyQ则 12(,),OPQxy大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS由方程，知 1224kx，又 12122()1ykk，由 ,0),AB得 (,)A. OPQ与共线等价于 1212(),xy将代入，解得 2.k
10、由知 2,k或 故不存在符合题意的常数 k21若直线 l： 0cmyx与抛物线 xy2交于 A、 B 两点，O 点是坐标原点。(1)当 m=1,c=2 时，求证：OAOB；(2)若 OAOB，求证：直线 l 恒过定点；并求出这个定点坐标。 (3)当 OAOB 时，试问OAB 的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。【答案】设 A(x1,y1)、B(x 2,y2)，由 02xycm得 022cmy可知 y1+y2=2m y 1y2=2c x 1+x2=2m22c x1x2= c2,(1) 当 m=1,c=2 时，x 1x2 +y1y2=0 所以 OAOB.(2) 当 OAOB 时，x
11、1x2 +y1y2=0 于是 c2+2c=0 c=2(c=0 不合题意),此时，直线 l：0mx过定点(2,0).(3) 由题意 AB 的中点 D(就是OAB 外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。),(2cD而(m 2c+ )2(m 2c)2+m2 = c41 由(2)知 c=2 圆心到准线的距离大于半径,故OAB 的外接圆与抛物线的准线相离。22如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为 F（1，0） 过抛物线在x轴上方的不同两点 A、 B作抛物线的切线 AC、 BD，与 x轴分别交于 C、 D两点，且AC与 B交于点 M，直线 D与直线 交于点 N大家网，全球第一学
12、习门户！无限精彩在大家.www.TopS(1）求抛物线的标准方程；(2）求证： MNx轴；(3）若直线 与 轴的交点恰为 F（1，0） ，求证：直线 AB过定点【答案】 （1）设抛物线的标准方程为 2(0)ypx，由题意，得 2p，即 所以抛物线的标准方程为 24(2）设 1()Axy， ， 2( )By， ，且 10， y由 24（ 0） ，得 x，所以 1x所以切线 C的方程为 11()，即 112()y整理，得 12()yx， 且 C 点坐标为 0， 同理得切线 BD的方程为 22()yx，且 D 点坐标为 2( )x， 由消去 y，得 112M又直线 A的方程为 21()yx，直线 BC的方程为 21 由消去 y，得 12Nxy大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS版权所有：高考资源网()
