1、竞赛专题讲座 04平面几何证明竞赛知识点拨1 线段或角相等的证明（1） 利用全等或相似多边形；（2） 利用等腰；（3） 利用平行四边形；（4） 利用等量代换；（5） 利用平行线的性质或利用比例关系（6） 利用圆中的等量关系等。2 线段或角的和差倍分的证明（1） 转化为相等问题。如要证明 a=bc，可以先作出线段 p=bc，再去证明 a=p，即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。（2） 直接用已知的定理。例如：中位线定理， Rt斜边上的中线等于斜边的一半；的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。3 两线平行与垂直的证明（1） 利用两线平行与垂直的判定定理。（2） 利用平行
2、四边形的性质可证明平行；利用等腰的“三线合一”可证明垂直。（3） 利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。【竞赛例题剖析】【例 1】从O 外一点 P 向圆引两条切线 PA、PB 和割线 PCD。从 A 点作弦 AE 平行于CD，连结 BE 交 CD 于 F。求证：BE 平分 CD。【分析 1】构造两个全等。连结 ED、AC、AF。CF=DFACFEDFPAB=AEB=PFB【分析 2】利用圆中的等量关系。连结 OF、OP、OB。PFB=POB注：连结 OP、OA、OF，证明 A、O、F、P 四点共圆亦可。【例 2】 ABC 内接于O，P 是弧 AB 上的一点，过 P作 OA、
3、OB 的垂线，与 AC、BC 分别交于 S、T，AB 交于M、N。求证：PM=MS 充要条件是 PN=NT。【分析】只需证 ， PMPN=MSNT。（1=2，3=4）APMPBNPMPN=AMBN（BNT=AMS，BTN=MAS）BNTSMAMSNT=AMBN【例 3】已知 A 为平面上两半径不等的圆 O1和 O2的一个交点，两外公切线 P1P2、Q 1Q2分别切两圆于 P1、P 2、Q 1、Q 2，M 1、M 2分别为 P1Q1、P 2Q2的中点。求证：O 1AO2=M 1AM2。【分析】设 B 为两圆的另一交点，连结并延长 BA 交 P1P2于C，交 O1O2于 M，则 C 为P 1P2的
4、中点，且P1M1CMP 2M2，故 CM 为M1M2的中垂线。在 O1M 上截取 MO3=MO2，则M 1AO3=M 2AO2。故只需证O 1AM1=O 3AM1，即证 。由P 1O1M1P 2O2M2，M 1O3=M2O2，O 1P1=O1A，O 2P2=O2A 可得。【例 4】在ABC 中，ABAC，A 的外角平分线交ABC 的外接圆于 D，DEAB 于E，求证：AE= 。【分析】方法 1、2AE=AB-AC 在 BE 上截取 EF=AE，只需证 BF=AC，连结 DC、DB、DF，从而只需证DBFDCA DF=DA，DBF=DCA，DFB=DAC DFA=DAF=DAG。方法 2、延长
5、CA 至 G，使 AG=AE，则只需证 BE=CG 连结 DG、DC、DB，则只需证DBEDCG DE=DG，DBE=DCG，DEB=DGC=Rt。【例 5】ABC 的顶点 B 在O 外，BA、BC 均与O 相交，过 BA 与圆的交点 K 引ABC 平分线的垂线，交O 于 P，交 BC 于 M。求证：线段 PM 为圆心到ABC 平分线距离的 2 倍。【分析】若角平分线过O，则 P、M 重合，PM=0，结论显然成立。若角平分线不过 O，则延长 DO 至 D，使 OD=OD，则只需证DD=PM。连结 DP、DM，则只需证DMPD为平行四边形。过 O 作 mPK，则 DD,KP，DPK=DKPBL
6、平分ABC，MKBLBL 为 MK 的中垂线DKB=DMKDPK=DMK，DPDM。而 D DPM，DMPD为平行四边形。【例 6】在ABC 中，AP 为A 的平分线，AM 为 BC 边上的中线，过 B 作 BHAP 于H，AM 的延长线交 BH 于 Q，求证：PQAB。【分析】方法 1、结合中线和角平分线的性质，考虑用比例证明平行。倍长中线：延长 AM 至 M，使 AM=MA，连结 BA，如图 6-1。PQAB ABQ=180-(HBA+BAH+CAP)= 180-90-CAP=90-BAP=ABQ方法 2、结合角平分线和 BHAH 联想对称知识。延长 BH 交 AC 的延长线于 B，如图
7、6-2。则 H 为 BB的中点，因为 M 为 BC 的中点，连结 HM，则 HMB /C。延长 HM 交 AB 于 O，则 O 为 AB 的中点。延长 MO 至 M，使 OM=OM，连结 MA、MB，则 AMBM 是平行四边形，MPAM，QMBM。于是， ，所以 PQAB。【例 7】 菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别切于 E、F、G、H，在 EF 与 GH 上分别作O 的切线交 AB 于 M，交 BC 于 N，交 CD 于 P，交 DA 于 Q。求证：MQNP。（95 年全国联赛二试 3）【分析】由 ABCD 知：要证 MQNP，只需证AMQ=CPN，结合A=C 知，只需证AMQCPN
8、 ，AMCN=AQCP。连结 AC、BD，其交点为内切圆心 O。设 MN 与O 切于 K，连结OE、OM、OK、ON、OF。记ABO=，MOK=，KON=，则EOM=，FON=，EOF=2+2=180-2。BON=90-NOF-COF=90-=CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM又OCN=MAO，OCNMAO，于是 ，AMCN=AOCO同理，AQCP=AOCO。【例 8】ABCD 是圆内接四边形，其对角线交于 P，M、N 分别是 AD、BC 的中点，过M、N 分别作 BD、AC 的垂线交于 K。求证：KPAB。【分析】延长 KP 交 AB 于 L，则只需证PAL+APL=90，即
9、只需证PDC+KPC=90，只需证PDC=PKF，因为 P、F、K、E 四点共圆，故只需证PDC=PEF，即 EFDC。 DMECNF【例 9】以ABC 的边 BC 为直径作半圆，与 AB、AC 分别交于点 D、E。过 D、E 作BC 的垂线，垂足分别是 F、G，线段 DG、EF 交于点 M。求证：AMBC。【分析】连结BE、CD 交于 H，则 H 为垂心，故AHBC。（同一法）设 AHBC 于O，DG、AH 交于M1，EF、AH 交于M2。下面证 M1、M 2重合。OM1DF OM 1= 。OM2EG OM 2= 。只需证 OGDF=EGOF，即 RtOEGRtODFDOF=DHB=EHC=EOG 。
