第11讲点线面之间的基本关系.doc

1、第 11 讲 点线面之间的基本关系1. 平面基本性质即三条公理的“文字语言” 、 “符号语言” 、 “图形语言”列表如下：公理 1 公理 2 公理 3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言,AlBl,ABC不 共 线确 定 平 面 ,lPP2. 空间两条直线的位置关系：相 交 直 线 ： 同 一 平 面 内 ， 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ；共 面 直 线 平 行 直 线 ： 同 一 平 面 内 ， 没 有 公 共 点 ；异 面

2、直 线 ： 不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 ， 没 有 公 共 点 .3. 已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ，把 所成的锐角（或直角）叫异面直线,abO/,ab,ab所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点 的选择无关，为了简便，点 通常取在异面直线的一条,ab O上；异面直线所成的角的范围为 ，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作(0,9. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.4. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点） ；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点） ；（3）直线与平面平行（没有公共点）.

3、分别记作： ； ； .llP/l5. 两平面的位置关系：平行（没有公共点） ；相交（有一条公共直线）.分别记作 ； .l【例 1】空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点，已知 EF 和 GH 交于 P 点，求证：EF、GH 、AC 三线共点. 解：P EF，EF 面 ABC，P 面 ABC. 同理 P 面 ADC. P 在面 ABC 与面 ADC 的交线上，又 面 ABC面 ADC=AC， P AC，即 EF、HG、AC 三线共点.【例 2】 正方体 中,E、F、G、H、K、L 分别是 的中点. 1ABCD 1DCA、 、 、 11BC、 、求证：这六

4、点共面证明：连结 和 ，因为 是 的中点，所以 KF、 CDB、 /ELB又 矩形 中 ，所以 ，1/所以 可确定平面 ，所以 共面 ，EL、 、 、 、 同理 ，故 共面 /HL、 、 、 又 平面 与平面 都经过不共线的三点 ，EKL、 、故 平面 与平面 重合，所以 E、F、G、H、K、L 共面于平面 同理可证 ，所以，E、F、G、H、K、L 六点共面（证明共面问题常有如下两个方法：直接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合 ）【例 3】（1） 在平面 外， ， ， ，求证：P，Q ，R 三点共线. ABCABPCAR

5、（2）已知四边形 ABCD 中，ABCD，四条边 AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面 相交于E，F，G，H 四点，求证：四点 E，F，G，H 共线. 证明：（1）根据公理 2 易知 确定平面 ，且与 有交线 l，根据公理 3 易知，P ，Q ，R 三点都在直线l 上，即三点共线.（2） ABCD， AB，CD 确定一个平面 ，易知 AB，BC，DC，AD 都在 内，由平面的性质可知四点E，F，G，H 都在 上，因而，E，G，G，H 必都在平面 与 的交线上，所以四点 E，F，G，H 共线. 【例 4】在一封闭的正方体容器内装满水，M，N 分别是 AA1 与 C1D1 的中点，由于某

6、种原因，在 D，M ，N 三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表面的形状怎样？解：使过三点 M，N，D 的平面成为水平面时，容器内存水最多，至于水表面的形状，实质上就是过M，N，D 三点所作正方体的截面的形状. 连结 DM 并延长 DM 交 D1A1 的延长线于 P，则点 P 既在截面内又在底面 A1B1C1D1 内，连结 PN 交 A1B1 于 E，连 ME，ND，则过 M，N，D 的截面就是四边形 DMEN，易证MEDN 且 ME DN，因而它是一个梯形 .【例 5】已知异面直线 a 和 b 所成的角为 50，P 为空间一定点，则过点 P 且与CAAB

7、B CDDEFGHKL1 11 1a、b 所成角都是 30的直线有且仅有（ ）. A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条解：过 P 作 a， b，若 Pa，则取 a 为 ，若 Pb，则取 b 为 这时 ， 相交于 P 点，它们的 ab两组对顶角分别为 50和 130. 记 ， 所确定的平面为 ，那么在平面 内，不存在与 ， 都成 30的直线 a过点 P 与 ， 都成 30角的直线必在平面 外，这直线在平面 的射影是 ， 所成对顶角的平分 线其中射影是 50对顶角平分线的直线有两条 l 和 ，射影是 130对顶角平分线的直线不存在故答案选B.【例 6】如图正方体 中，E、F 分别

8、为 D1C1 和 B1C1 的中点，P、Q 分别为 AC 与 BD、A 1C1 与1ABCDEF 的交点. （ 1）求证：D、B、F 、E 四点共面；（2）若 A1C 与面 DBFE 交于点 R，求证：P、Q 、R 三点共线.证明：（1） 正方体 中， ， .11B/1又 中，E、F 为中点， 1 . , 即 D、B、F、E 四点共面 ./2/（2） ， ， ， ， 1QAC平 面 平 面 1PAC平 面 BE平 面 .BQ平 面 平 面又 ， ， ， . 即 P、Q 、R 三点共线 奎 屯王 新 敞新 疆1ER平 面 1平 面 R平 面 R【例 7】如图中，正方体 ABCDA1B1C1D1，

9、E、F 分别是 AD、AA 1 的中点.（1）求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小；（2）求直线 AB1 和 EF 所成的角的大小 .解：（1）如图，连结 DC1 ， DC 1AB 1， DC 1 和 CC1 所成的锐角CC 1D 就是 AB1 和 CC1 所成的角. CC 1D=45， AB 1 和 CC1 所成的角是 45.（2）如图，连结 DA1、A 1C1， EFA 1D，AB 1DC 1， A 1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角. 【例 8】已知空间四边形 ABCD 各边长与对角线都相等，求 AB 和 CD 所成的角的大小. 解：分别取 AC、AD、BC 的中点 P

10、、 M 、 N . 连接 PM、PN，由三角形的中位线性质知 PNAB，PMCD，于是MPN 就是异面直线 AB 和 CD 成的角，如右图所示.连结 MN、DN，设 AB=2， PM=PN=1. 而 AN=DN= ，则 MNAD，AM =1，3得 MN= ，2 MN 2=MP2+NP2，MPN =90，即异面直线 AB、CD 成 90角.【例 9】设异面直线 a 与 b 所成角为 50，O 为空间一定点，试讨论，过点 O 与 a、b 所成的角都是 的直线 l 有且仅有几条?(09)解 ： 过 点 O 作 a1 a， b1 b， 则 相 交 直 线 a1、 b1 确 定 一 平 面 . a1 与

11、 b1 夹 角 为 50或 130， 设 直 线 OA 与 a1、 b1均 为 角 ，故当 25时，直线 l 不存在；当 =25时，直线 l 有且仅有 1 条；当 25 65时，直线 l 有且仅有 2 条；当 =65时，直线 l 有且仅有 3 条；当 65 90时，直线 l 有且仅有 4 条；当 =90时，直线 l 有且仅有 1 条.【例 10】在空间四边形 ABCD 中，E、H 分别是 AB、AD 的中点，F、G 分别是 CB、CD 的中点，若 AC + BD = a ，AC BD =b，求 .2GF解：四边形 EFGH 是平行四边形， =2 = .22()E2211()()ACBDab【例

12、 11】已知空间四边形 ABCD 中，E 、 H 分别是 AB、 AD 的中点，F 、 G 分别是 BC、 CD 上的点，且.23CFBD求证：（1）E 、 F、 G、 H 四点共面；（2）三条直线 EF、 GH、 AC 交于一点. 证明：（1） 在ABD 和CBD 中， E、 H 分别是 AB 和 CD 的中点， EHBD./2PQ FED1 C1B1A1 D CBAAB CDEFGH又 ， FG BD. EHFG. 23CFGBD/23所以，E 、 F、 G、 H 四点共面.（2）由（1）可知，EHFG ，且 EH FG，即直线 EF，GH 是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点 P.

13、 AC 是 EF 和 GH 分别所在平面 ABC 和平面 ADC 的交线，而点 P 是上述两平面的公共点， 由公理 3 知 P AC. 所以，三条直线 EF、 GH、 AC 交于一点.【例 12】如下图，设ABC 和A 1B1C1 的三对对应顶点的连线 AA1、BB 1、CC 1相交于一点 O，且 = = = .试求 的值. 1O231ABCS解：依题意，因为 AA1、BB 1、 CC1 相交于一点 O，且 = = ，11OC所以 ABA 1B1，A C A1C1， BC B1C1.由 平 移 角 定 理 得 BAC= B1A1C1， ABC= A1B1C1， ABC A1B1C1，所以 =（

14、 ） 2= .1ABCS349【例 13】空间四边形 ABCD 中，P、Q、R、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. （1）求证：四边形 PQRH 是平行四边形； （2）若 AC=BD，则四边形 PQRH 是什么四边形？（3）若 ACBD，则四边形 PQRH 是什么四边形？（4）空间四边形 ABCD 满足什么条件时，PQRH 是正方形？解：（1）在ABD 中，P 、H 分别为 AB、AD 的中点，即 PH 为中位线. 四边形 PQRH 为平行四边形1/2/BDQRQR（2）在ABC 中，P、Q 为 AB、BC 中点，PQ AC， 又 PH BD，AC=BD./12/12 PH=PQ.

15、平行四边形 PQRH 为菱形.（3） ACBD， 异面直线 AC 与 BD 所成角为直角. PHBD ，PQ AC, HPQ 为 AC 与 BD 所成的角 .HPQ =90, 即四边形 PQRH 为矩形（4）由（2） 、 （3）的证明可知，当 AC=BD 且 ACBD 时，四边形 PQRH 为正方形.一、选择题1 【2008 年宁夏文】 12已知平面 平面 ， ，点 A，A l，直线 ABl ，直线lACl，直线 m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）A. ABm B. ACm C. AB D. AC2 【2007广东文】6若 是互不相同的空间直线， 是不重合的平面，则下列命题,l

16、n,中为真命题的是A若 ，则 B若 ，则 /,l/l ,llC. 若 ，则 D若 ，则nm/l /l二、计算题1 【2008 年广东理】 20 （本小题满分 14 分）同理如图 5 所示，四棱锥 的底面 是半径为 的圆PABCDR的内接四边形，其中 是圆的直径， ， 。 垂直底面BD6045PD，ABCD。 分别是 上的点，且 ，过2PREF， ， EFBC点 作 的E平行线交 于 CG（1）求 与平面 所成角 的正弦值；（2）证明： 是直角三角形；（3）当 时，求 的面积12B【解析】 （1）在 中， ，RtAD60B,3ABRD而 PD 垂直底面 ABCD， 222()(3)1PADRR,

17、2()(3PBR在 中， ，即 为以 为直角的直角三角形。A2BBP设点 到面 的距离为 ，由 有 ，即DHPADABVHABDP；361HRPA6sin1（2） ,而 ,即 , ，/,EGBCFBC,/GFPGBC, 是直角三角形；GF（3） 时， , ，113P23D即 ,422cos45,3 3EBCRRGFPDR的面积 。FG 212439EFGSA【试题解析】该题考查了主要考查了线面夹角，难度并不是太大，旨在考查考生的对解题技巧的把握和抽象分析能力。【高考考点】直线与平面的相互关系、相似三角形的性质。【易错提醒】解题过程中涉及的量比较多，需小心谨慎、避免出错。【学科网备考提示】线线关

18、系、线面关系、面面关系是立体集合中的重要内容，对于每一类问题，我们都要学会用几何法、代数法进行灵活分析解题。2 【2008 年广东文】 18 （本小题满分 14 分）如图 5 所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形，其中 BD 是圆的直径，。60,45,ABDCADPB（1）求线段 PD 的长；（2）若 ，求三棱锥 P-ABC 的体积。1PR【解析】 （1） BD 是圆的直径 90BA又 ,ADPB, ；22 34sin6013RD（2） 在 中，RtBCcos52B又22291PDRPCD90PA底面 ABCD2132131sin6045224ABCS

19、R A三棱锥 的体积为 .P 231334PABCABVSDA3 【2008 年江苏】16如图，在四面体 中， ，点 分别是CBD， EF，的中点求证：ABD，（1）直线 平面 ；/EF（2）平面 平面 【试题解析】第 1 问根据线面平行关系的判定定理 ，在面 内找一ACD条直线和直线 EF 平行即可，第 2 问，需在其中一个平面内找 一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直。【考点分析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置 关系，考查空间想象能力、推理论证能力。【标准答案】证明：（1）在 中， 分别是 的中点， EFAD，ABDEF、 ABD，AD 面 ACD，EF 平面 ACD

20、，直线 EF平面 ACD；（2）在 中， ADBD，EFAD， EF BD，在 中， ，F 是 BD 的中点， CF BDCC又 平面 ， 平面 ， BD平面 EFC，EFECFBD 面 BCD， 平面 平面 BD4 【2008 年宁夏理】 （18） （本小题满分 12 分）如图，已知点 P 在正方体 ABCD- 的对角线 上， .A60PA（）求 DP 与 所成角的大小；C（）求 DP 与平面 所成角的大小.D【试题解析】如图，以D为原点， DA为单位长建立空间直角坐 标系。xyz则 .(1,0)(,01)AC连结 。在平面 中，延长DP交 于BBDBDH。设 ，由已知 ,(,)DHm,60

21、HA由 |cos,DHADHA可得 。解得 。21m2m所以 .(,)（）因为 ,2012,cosDHC所以 ，,45即DP与 所成的角为 。 （）平面 的一个法向量是 . AD(0,1)DC因为 ,20, 21cosHC所以 .,6可得DP与平面 所成的角为 .AD30【高考考点】本小题主要考查正方体的有关知识,异面直线所成的角和直线与平面所成的角,以及空间向量的应用,以及空间想象能力.【易错点】：对空间向量相关知识掌握不到位或运算出错。【学科网备考提示】：空间向量是处理立体几何问题的有利工具，要认真掌握，但要加强运算；5 【2008 年山东理】 20 （本小题满分 12 分）如图，已知四棱

22、锥 ，底面 为菱形， 平面 ， ， 分PABCDPABCD60A,EF别是 的中点。,BC（I）证明： ；E（II）若 为 上的动点， 与平面 所成最大角的正切HHP值为 ，62求二面角 的余弦值。AFC【标准答案】（）证明：由四边形 为菱形， ，可得 为正三角形BD60ABCABC因为 为 的中点，所以 EE又 ，因此 B因为 平面 ， 平面 ，所以 PACPE而 平面 ， 平面 且 ，PADAPAD所以 平面 又 平面 ，E所以 （）解：设 ， 为 上任意一点，连接2BH AHE，由（）知 平面 ，AP则 为 与平面 所成的角D在 中， ，RtE 3所以 当 最短时， 最大，HE即 当 时

23、， 最大此时 ，6tan2A因此 又 ，所以 ，2D45AH所以 P解法一：因为 平面 ， 平面 ，ABCPC所以 平面 平面 过 作 于 ，则 平面 ，EOEO过 作 于 ，连接 ，则 为二面角 的平面角，SFSEAF在 中， ， ，RtA 3sin02A 3cos02又 是 的中点，在 中， ，FPCRtSO in45A又 ，239048SE在 中， ，RtO215cos304SOE即所求二面角的余弦值为 15解法二：由（）知 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又AEDP， ， A分别为 的中点，所以EF， BC，(0)(310)(3)(02)A， ， ， ， ， ，

24、 ， ， ， ， ，212PF， ， ， ， ， ， ， ，所以 31(30)2AEF， ， ， ， ，设平面 的一法向量为 ，11()xyz， ，m则 因此0AF，m11302xyz， 取 ，则 ，1z()， ，因为 ， ， ，BDCPACA所以 平面 ，F故 为平面 的一法向量又 ，(30)B， ，所以 2315cosBDA， m因为 二面角 为锐角，EFC所以所求二面角的余弦值为 15【试题分析】确定点 的位置是关键，当 时， 最大。求二面角时可以利用二面角的概HAHPDEA念正确作出平面角进行论证求解，也可以利用向量方法将“形”转化为“数”。为了便于计算可设菱形边长为2。【高考考点】

25、垂直关系的证明与二面角的求解。【易错提醒】 点的位置判断错误，误选 为坐标轴，不能准确表述二面角是两个法向量所成的角或B其补角。【学科网备考提示】底面是菱形提供了垂直关系的相关信息，这一点还是比较明显的，但也有一些几何体的底面在发掘有用信息方面就很困难，尤其建立空间坐标系时找不到“落脚”的地方，底面上一些点的坐标难以迅速求得。另外从探索解题思路的策略上来看，垂直往往是关键的“题眼”，需要我们将其放在优先考虑的地位1）面对多个条件，不妨优先选择使用垂直的条件；2）构造辅助线，不妨优先作出垂直的辅助线(或面) ；3）对于位置关系的转化，不妨优先使用垂直关系来转化6 【2008 年山东文】 19 （

26、本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，PABCDPABCDABDC， 是等边三角形，已知 ，AD 28 245（）设 是 上的一点，证明：平面 平面MM；P（）求四棱锥 的体积【标准答案】（）证明：在 中，由于 ， ， ，ABD 48BD45A所以 故 22ADBADB又平面 平面 ，平面 平面 ，PCPACD平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，M故平面 平面 BA（）解：过 作 交 于 ，POD由于 平面 平面 ，BC所以 平面 因此 为四棱锥 的高，PABCD又 是边长为 4 的等边三角形因此 A 342O在底面四边形 中， ， ，DA 2所以四边形 是梯形，在 中，斜边

27、边上的高为 ，BCRtB A854此即为梯形 的高，所以四边形 的面积为 ACD2524S故 124316PBCDV7 【2007 广东理】19 （本小题满分 14 分）如图 6 所示，等腰ABC 的底边 ，高 。点 是线段 上异于点 的动点。6AB3CEBD、点 在 边上，且 。现沿 将 折起FEFEF到的位置，使 。记 ， 表示四棱PEPx()V锥的体积AC（1）求 的表达式；()Vx（2）当 为何值时， 取得最大值？()x（3）当 取得最大值时，求异面直线 与 所成角的余弦值。()xACPF【解】本小题主要考查函数、函数极值、导数及其应用、几何体体积、空间异面直线所成的角等基础知识，考查

28、数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、创新能力（1） ,.EFABPE又 且 PE 在平面 ACFE 外，, 平面 ACFE。P所以四边形 ACFE 的面积,CD。2211163962AFEBEFS xx 四棱锥 的体积PACFE311363ACFEVSx即 3()6(0).x（2）由（1）知 ， 令21()6.Vxx()0Vx 当 时， ，当 时，00 当 时， 有最大值，最大值为BEx()x(6)12.（3） （解法一）：如答图 2，以点 E 为坐标原点，向量 分别为 轴的正向建立空间,EAFP,xyz直角坐标系。则 (0,)(,6)(0,),(6,0)(3

29、6,0)PFAC于是 ，3AC .与 所成的夹角 的余弦为。361cos 75490PF 异面直线 与 所成角的余弦值为 。AC（解法二）：过点 F 作 交 AE 与点 G，连/AC接 PG，则 为异面直线 与 所成的角。GP是等腰三角形， 也是等腰三角形。BBF于是， 24,E从而， 226.P在 中，根据余弦定理得 GF21cos .7PFG故异面直线 AC 与 PF 所成的角的余弦为 1.78 【2007 年海南、宁夏理】 18 （本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形， ， 为 中SABCSAC90BACOB点（）证明： 平面 ；O（）求二面角 的余弦值【证明】（）由题设 ，连结 ，S=O为SBAC