1、ABC D E F GM O 第 12 讲 平行的判定与性质1. 线面平行的定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行.2. 判定定理:平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表示为: .,/aba3性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. 即: ./b【例 1】已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E、F 分别为 AB、PD 的中点,求证:AF平面 PEC证明:设 PC 的中点为 G,连接 EG、FG . F 为 PD 中点, GFCD 且 GF= CD.12 ABCD, AB=CD, E 为
2、 AB 中点, GFAE , GF=AE, 四边形 AEGF 为平行四边形. EGAF, 又 AF 平面 PEC, EG 平面 PEC, AF平面 PEC.【例 2】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC、C 1D1 的中点. 求证:EF平面 BB1D1D. 证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE,则 OEDC, OE= DC.2 DCD 1C1, DC=D1C1 , F 为 D1C1 的中点, OED 1F, OE=D1F, 四边形 D1FEO 为平行四边形. EFD 1O. 又 EF 平面 BB1D1D, D1O 平面 BB1D1D, EF平面 BB1D1
3、D.【例 3】如图,已知 、 、 、 分别是四面体的棱 、 、 、EGMACD的中点,求证: 平面 . BCAF证明:如右图,连结 ,交 于 点,连结 ,OE在 中, 、 分别是 、 中点, ,BC/GFB 为 中点, 为 中点,GO在 中, 、 为 、 中点, ,MDEDAM又 平面 , 平面 , AFE 平面 .【例 4】如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M 、 N 分别是AB、 PC 的中点 奎 屯王 新 敞新 疆 (1)求证:MN/平面 PAD;(2)若 , ,求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小.4NBC3A解:(1)取 PD 的中点 H,连接 AH,由
4、N 是 PC 的中点, NH . 由 M 是 AB 的中点, NH AM, /2D/即 AMNH 为平行四边形. . /由 , .,PAPAD平 面 平 面 /PAD平 面(2) 连接 AC 并取其中点为 O,连接 OM、ON, OM BC,ON PA, /12/12所以 就是异面直线 PA 与 MN 所成的角,且 MO NO.ON由 , , 得 OM=2,ON= 奎 屯王 新 敞新 疆4MB33所以 ,即异面直线 PA 与 MN 成 30的角 奎 屯王 新 敞新 疆0【例 5】三角形的三条中线交于一点,该点称为三角形的重心,且到顶点的距离等于到对边中点距离的 2倍. 这一结论叫做三角形的重心
5、定理.在四面体 ABCD 中,M、N 分别是面ACD、BCD 的重心,在四面体的四个面中,与 MN 平行的是哪几个面?试证明你的结论.解:连结 AM 并延长,交 CD 于 E,连结 BN 并延长交 CD 于 F,由重心性质可知,E、F 重合为一点,且该点为 CD 的中点 E,由 = = 得 MNAB,MANB12因此,MN平面 ABC 且 MN平面 ABD.【例 6】经过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1 作一平面交平面 AA1D1D 于 E1E,求证:E 1EB 1B 奎 屯王 新 敞新 疆证明: ,1 1/,EBE平 面 平 面 ./A平 面又 ,11111平 面 , 平 面
6、 平 面 .则 ./E/B【例 7】如图, , , , ,求证: ./B/ACDACBD证明:连结 , ,/AC直线 和 可以确定一个平面,记为 , , , ,,D, , ,/BCD , 又 ,A/AB 四边形 为平行四边形, .CAB【例 8】如右图,平行四边形 EFGH 的分别在空间四边形 ABCD 各边上,求证:BD /平面 EFGH.证明: , 平面 , 平面 , /EHFGCFGBCD./EHBD平 面又 , , .A平 面 BCD平 面 平 面 /EH又 , , .平 面 平 面 /B平 面【例 9】已知直线 平面 ,直线 平面 ,平面 平面 = ,求证aab/ab证明:经过 作两
7、个平面 和 ,与平面 和 分别相交于直线 和 , cd 平面 , 平面 , , , ,cd又 平面 , 平面 , 平面 ,dc又 平面 ,平面 平面 = ,cb , , baa【例 10】如下图,在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA 1= AB,点 E、M 分2别为 A1B、C 1C 的中点,过点 A1、B、M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1 于点 N.(1)求证:EM平面 A1B1C1D1; (2)设截面 A1BMN 把该正四棱柱截成两个几何体的体积分别为 V1、V 2(V 1V 2 ,求 V1V 2 的值.)解:(1)证明:设 A1B1 的中点为 F,连结 EF、FC 1.
8、E 为 A1B 的中点, EF B1B. 又 C1M B1B,EF MC1./四边形 EMC1F 为平行四边形.EMFC 1. EM 平面 A1B1C1D1,FC 1 平面 A1B1C1D1,EM平面 A1B1C1D1.(2)延长 A1N 与 B1C1 交于 P,则 P平面 A1BMN,且 P平面 BB1C1C.又平面 A1BMN平面 BB1C1C=BM, PBM,即直线A1N、B 1C1、BM 交于一点 P.又平面 MNC1平面 BA1B1, 几何体 MNC1BA1B1 为棱台. S = 2aa=a2, S = a a= a2,4棱台 MNC1BA1B1 的高为 B1C1=2a, _b_ac
9、dD1 C1B1A BCDA1E1EABC DV1= 2a(a 2+ + a2)= a3,V 2=2a2aa a3= a3. = .3147676112V71面面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行用符号表示为: .,/abaP2. 面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 用符号语言表示为: ./,/b3. 其它性质: ; ;夹在平行平面间的平行线段相等./ll,ll【例 1】如右图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N、P 分别是C1C、B 1C1、C 1D1 的中点,求证:平面 MNP平面 A1B
10、D.证明:连结 B1D1,P、N 分别是 D1C1、B 1C1 的中点, PN B 1D1.又 B1D1BD ,PNBD . 又 PN 不在平面 A1BD 上,PN平面 A1BD.同理,MN平面 A1BD. 又 PNMN=N, 平面 PMN平面 A1BD.【例 2】正方体 ABCDA1B1C1D1 中 (1)求证:平面 A1BD平面B1D1C;(2)若 E、F 分别是 AA1,CC 1 的中点,求证:平面 EB1D1平面FBD证明:(1)由 B1B DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形,/B 1D1 BD,又 BD 平面 B1D1C,B 1D1 平面 B1D1C,BD平面 B1D1C同
11、理 A1D平面 B1D1C而 A1DBDD,平面 A1BD平面 B1CD(2)由 BDB 1D1,得 BD平面 EB1D1取 BB1 中点G,AEB 1G从而得 B1EAG,同理 GF ADAGDF B 1EDFDF平面 EB1D1平面 EB1D1平面 FBD 【例 3】已知四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形. 点M、 N、 Q 分别在 PA、 BD、 PD 上, 且PM:MA=BN:ND =PQ:QD. 求证:平面 MNQ平面 PBC. 证明: PM:MA =BN:N D=PQ:QD. MQ/AD,NQ/BP ,而 BP 平面 PBC,NQ 平面 PBC, NQ/平面
12、PBC.又 ABCD 为平行四边形,BC/AD , MQ/BC,而 BC 平面 PBC,MQ 平面 PBC, MQ/平面 PBC.由 MQ NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理, 平面 MNQ平面 PBC.【例 4】P 是 所在平面外一点, 分别是 的重心,ABCABC、 、 PBCAPB、 、(1)求证:平面 ; (2)求 ./平 面 :AS证明:分别连 PA,PB,PC并延长分别交 BC,AC ,AB 于 D,E,F. 则 D,E,F 分别是 BC,CA,AB 的中点. , AC/FD.23同理 , 平面 ./ABABC/平 面(2) , , 又 DE= AB. 23PDE12 , 易证
13、 . =1:9.13:ABCS【例 5】如图,设平面 平面 ,AB、CD 是两异面直线,M、N 分别是AB、CD 的中点,且 A、C,B、D. 求证:MN. A1AB1BC1CD1DGEFNMPDCQB AE NMDBCA证明:连接 BC,取 BC 的中点 E,分别连接 ME、NE ,则 MEAC, ME平面 ,又 NEBD, NE , 又 MENE=E,平面 MEN平面 , MN 平面 MEN, MN. 【例 6】如图,A,B,C,D 四点都在平面,外,它们在内的射影 A1,B 1,C 1,D 1 是平行四边形的四个顶点,在内的射影 A2,B 2,C 2,D 2 在一条直线上,求证:ABCD
14、 是平行四边形 证明: A,B,C,D 四点在内的射影 A2,B 2,C 2,D 2 在一条直线上,A,B,C ,D 四点共面又 A,B,C ,D 四点在内的射影 A1,B 1,C 1,D 1 是平行四边形的四个顶点,平面 ABB1A1平面 CDD1C1AB,CD 是平面 ABCD 与平面 ABB1A1,平面 CDD1C1 的交线ABCD同理 ADBC 四边形 ABCD 是平行四边形【例 7】如图,在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,E、F、G 是侧面对角线上的点,且 ,求证:BECFAG平面 EFG平面 ABC.证明:作 于 P,连接 PF. 在正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧面 中,1E
15、B 1易知 ,又 ,所以 . , 平面 ABC.11A1/EP/又 , , , ,则 平面 ABC.CF1A1FBPC/F , 平面 PEF/平面 ABC.EP 平面 PEF, EF/平面 ABC. 同理,GF /平面 ABC. , 平面 EFG/平面 ABC.G【例 8】如图,已知正方体 中,面对角线 , 上分别有两点 E、 F,且 . 1ABD1ABC1BC求证:EF 平面 ABCD.证明:过 E、F 分别作 AB、BC 的垂线,EM、FN 分别交 AB、BC 于 M、N,连接 MN. BB1平面 ABCD, BB1AB,BB 1BC, EMBB 1,FNBB 1, EMFN, AB 1=
16、BC1,B 1E=C1F,AE=BF, 又B 1AB=C1BC=45, RtAME RtBNF, EM=FN. 四边形 MNFE 是平行四边形,EFMN. 又 MN 平面 ABCD,EF平面 ABCD. 证法二:过 E 作 EGAB 交 BB1 于 G,连接 GF, , , , , FGB1C1BC. 1BGA1CFBA1FCB又 EG =G,AB BC=B,平面 EFG平面 ABCD. Fb 又 EF 平面 EFG, EF平面 ABCD. 【例 9】如图甲,在透明塑料制成的长方体 ABCDA1B1C1D1 容器内灌进一些水,固定容器底面一边 BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下
17、列四个说法:水的部分始终呈棱柱状;水面四边形 EFGH 的面积不改变;棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行;当容器倾斜如图乙时,EFBF 是定值.其中正确说法的序号是_.解 : 对 于 命 题 , 由 于 BC 固 定 , 所 以 在 倾 斜 的 过 程 中 , 始 终 有 AD EH FG BC, 且 平 面 AEFB 平面 DHGC, 故 水 的 部 分 始 终 呈 棱 柱 状 ( 四 棱 柱 或 三 棱 柱 、 五 棱 柱 ), 且 BC 为 棱 柱 的 一 条 侧 棱 , 命 题 正 确 .对于 命 题 , 当 水 是 四 棱 柱 或 五 棱 柱 时 , 水 面 面 积 与 上 下 底 面 面 积 相 等 ; 当 水 是 三 棱 柱 时 , 则 水 面 面 积 可 能变 大 , 也 可 能 变 小 , 故 不 正 确 . 是 正 确 的 ( 请 给 出 证 明 ) . 是 正 确 的 , 由 水 的 体 积 的 不 变 性 可 证 得 .综 上所 述 , 正 确 命 题 的 序 号 是 .GNMFEE CDBAD1 C1B1A1