1、1目 录第一讲 分式方程(组)的解法第二讲 无理方程的解法第三讲 简易高次方程的解法第四讲 有关方程组的问题第五讲 函数的基本概念与性质第六讲 二次函数第七讲 函数的最大值与最小值第八讲 根与系数的关系及应用第九讲 判别式及其应用第十讲 一元二次不等式的解法2第一讲 分式方程( 组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形变形时可能会扩大(或缩小) 未知数的取值范围，故必须验根 例 1 解方程解 令 y=x22x-8 ，那么原方程为去分母得y(y-15x)(y+9x)(y-15x)
2、y(y 9x)=0，y 2-4xy-45x2=0，(y+5x)(y-9x)=0，所以 y=9x 或 y=-5x由 y=9x 得 x2+2x-8=9x，即 x2-7x-8=0，所以 x1=-1，x 2=8；由 y=-5x，得 x2+2x-8=-5x，即x27x-8=0，所以 x3=-8，x 4=1经检验，它们都是原方程的根例 2 解方程y2-18y+72=0，所以 y 1=6 或 y2=12x2-2x6=0此方程无实数根x2-8x+12=0，所以 x 1=2 或 x2=6经检验，x 1=2，x 2=6 是原方程的实数根例 3 解方程分析与解 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考
3、虑先用多项式除法化简分式原方程可变为整理得3去分母、整理得x9=0，x=-9经检验知，x=-9 是原方程的根例 4 解方程分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是 1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简原方程化为即所以(x+6)(x+7)=(x+2)(x+3) 例 5 解方程分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数 1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简原方程变形为整理得去分母得x29x-220，解得 x 1=2，x 2=-11经检验知，x 1=2，x 2=-11 是原方程的根例 6 解方程4次项与常数项符号相反，故
4、可考虑用合比定理化简原方程变形为所以x=0 或 2x2-3x-2=2x2+5x-3例 7 解方程分析与解 形式与上例相似本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简原方程变形为当 x0 时，解得 x=1经检验，x=1 是原方程的根，且 x=0 也是原方程的根说明 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验例 8 解方程解 将原方程变形为5例 9 解关于 x 的方程将 x1=a-2b 或 x2=b-2a 代入分母 b+x，得 a-b 或 2(b-a)，所以，当 ab 时，x 1=a-2b及 x2=b-2a 都是原方程的根当 a=b 时，原方程无解例 10 如果方
5、程只有一个实数根，求 a 的值及对应的原方程的根分析与解 将原方程变形，转化为整式方程后得2x2-2x+(a+4)=0 原方程只有一个实数根，因此，方程的根的情况只能是：(1)方程有两个相等的实数根，即=4-42(a+4)=0 (2)方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程有一个根为 0 或 2(i)当 x=0 时，代入式得 a+4=0，即 a=-4这时方程的另一个根是 x=1(因为 2x2-2x=0，x(x-1)=0，x 1=0 或 x21而 x10 是增根)它不使分母为零，确是原方程的唯一根(ii)当 x=2 时，代入式，得24-22(a+4)=0，即 a=-8这时方程的
6、另一个根是 x=-1(因为 2x2-2x-4=0(x-2)(x+1)=0 ，所以 x1=2(增根)，x 2=-1)它不使分母为零，确是原方程的唯一根因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的 a 的值分别是6练习一1填空：(3)如果关于 x 的方程有增根 x=1，则 k=_2解方程3解方程4解方程5解方程6解方程7m 是什么数值时，方程 有根？第二讲 无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程) ，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法常用的方法有：乘方法、配方法、因式
7、分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等本讲将通过例题来说明这些方法的运用 例 1 解方程解 移项得两边平方后整理得7再两边平方后整理得x23x-280，所以 x 1=4，x 2=-7经检验知，x 2=-7 为增根，所以原方程的根为 x=4说明 用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号) 来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根例 2 解方程方公式将方程的左端配方将原方程变形为所以两边平方得3x2+x=9-6xx 2，两边平方得3x2+x=x26x9，例 3 解方程即所以8移项得 例 4 解方程解 三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的将原方程变形为配方得利
8、用非负数的性质得所以 x=1，y=2，z=3经检验，x=1，y=2，z=3 是原方程的根例 5 解方程所以将两边平方、并利用得x2y22xy-8=0，(xy4)(xy-2)=0 xy=2 例 6 解方程解 观察到题中两个根号的平方差是 13，即9便得由，得 例 7 解方程分析与解 注意到(2x 2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)设则u2-v2w 2-t2， u+v=w+t 因为 u+v=w+t=0 无解，所以得u-v=w-t 得 u=w，即解得 x=-2经检验，x=-2 是原方程的根例 8 解方程整理得 y 3-1=(1-y)2，即 (y-1)(y 2+2)=
9、0解得 y=1，即 x=-1经检验知，x=-1 是原方程的根整理得 y 3-2y2+3y=0解得 y=0，从而 x=-1例 9 解方程10边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得 x2=4a2解得 x=2a经检验，x=2a 是原方程的根练习二1填空：2解方程3解方程4解方程5解方程6解关于 x 的方程第三讲 简易高次方程的解法在整式方程中，如果未知数的最高次数超过 2，那么这种方程称为高次方程一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于 1824 年作出了证明，这些内容我们不讨论本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答 例 1 解方程x3-2x2-4x8=0
