1、第四十四讲 判别式及其应用一元二次方程的根的判别式() 是重要的基础知识，它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用，是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有许多应用熟练掌握它的各种用法，可提高解题能力和知识的综合应用能力 1判定方程根的情况例 1 已知方程 x2-2x-m=0 没有实数根，其中 m 是实数试判定方程 x2+2mx+m(m+1)=0 有无实数根解 因为方程 x2-2x-m=0 无实数根，所以 1=(-2)2-4(-m)=4+4m0，即 m-1因为 2=(2m)2-4m(m+1)=-4m 0，所以方程 x2+2mx+m(m+1)=
2、0 有两个不相等的实根例 2 已知常数 a 为实数，讨论关于 x 的方程(a-2)x2+(-2a+1)x+a=0的实数根的个数情况实根当 a2 时，原方程为一元二次方程，其判别式=(-2a+1) 2-4(a-2)a=4a+1，说明 对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式 2确定方程中系数的值或范围例 3 关于 x 的一元二次方程有实根，其中 a 是实数，求 a99+x99 的值解 因为方程有实根，所以即 -a 2-2a-10 因为-(a+1) 20，所以 a+1=0，a=-1当 a=-1 时，原方程为 x
3、2-2x+1=0，x=1，所以a99+x99=(-1)99+199=0例 4 若方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根，求 a，b 的值解 因为方程有实根，所以它的判别式=4(1+a) 2-4(3a2+4ab+4b2+2)0 ，化简后得2a2+4ab+4b2-2a+10，所以 (a+2b) 2+(a-1)20，说明 在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组，进而求出要求的值例 5 ABC 的一边长为 5，另两边长恰是方程2x2-12x+m=0的两个根，求 m 的取值范围解 设ABC 的三
4、边分别为 a，b ，c，且 a=5，由=12 2-42m=144-8m0并且不等式25=a2(b-c) 2=(b+c)2-4bc=36-2m，3求某些方程或方程组的解例 6 求方程 5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0 的实数解解 先把 y 看作是常数，把原方程看成是关于 x 的一元二次方程，即5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0因为 x 是实数，所以判别式=(8y-2) 2-45(5y2+2y+2)0，化简后整理得y2+2y+10，即(y+1) 20，从而 y=-1将 y=-1 代入原方程，得5x2-10x+5=0，故 x=1所以，原方程的实数解为 x=1，y=-1说明 (
5、1)本题也可以把 x 看作常数，把方程写成关于 y 的一元二次方程，再用判别式来求解(2)本题还可以用配方的方法，把原方程变形为4(x+y)2+(x-1)2+(y+1)2=0，从而 x=1，y=-1例 7 解方程组解 引入待定系数 k，由 k+得或写成=(k+4) 2-4(k+7)(k-1)=0即4证明不等式，求最大值和最小值用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去是多少？(x-3)2+(kx-3)2=6，即 (k 2+1)x2-6(k+1)x+12=0，将它看成关于 x 的一元二次方程因 x 是实数，所以=36(k+1) 2-48
6、(k2+1)0，即 k 2-6k+10 解 由于所以 yx 2+(y-2)x+y=0，上式可以看成关于 x 的一元二次方程因 x 为实数，所以=(y-2) 2-4y20，即 3y 2+4y-40，(3y-2)(y+2)0当 y=-2 时，代入 yx2+(y-2)x+y=0 中，得 x=-1，即 x=-1 时，y=例 10 实数 a，b ，c 满足 a+b+c=2，且对任何实数 t，都有不等式-t2+2tab+bc+ca 9t 2-18t+10，证 因为对任何实数 t，有-t2+2t=-(t-1)2+11，9t2-18t+10=9(t-1)2+11 ，当 t=1 时，便有1ab+bc+ca1，所
7、以 ab+bc+ca=1由于 a+b=2-c，于是ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(c-1)2，于是 a，b 是一元二次方程t2-(2-c)t+(c-1)2=0的两个实数根所以=(2-c) 2-4(c-1)20，即 3c 2-4c0，练习九1选择：(1)某一元二次方程根的判别式 =2m 2-6m+5，此方程根的情况是 (A)有两个不相等的实根(B)有两个相等的实根(C)没有实根(D)由实数 m 的值而定(2)关于 x 的方程 2kx2+(8k+1)x=-8k 有两个实根，则 k 的取值范围是 (3)如果关于 x 的方程 mx2-2(m+2)x+m+5=0 没有实根，那么关于 x 的方
8、程(m-5)x 2-2(m+2)x+m=0 的实根个数为 (A)2 个 (B)1 个(C)0 个 (D)不确定(4)方程(x+1) 2+(y-2)2=1 的整数解有 (A)1 组 (B)2 组(C)4 组 (D)无数组(5)若 x0 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根，则判别式=b 2-4ac 与平方式M=(2ax0+b)2 的关系是 (A)M (B)=M(C)M (D)不确定2填空：(1)关于 x 的方程(a 2-4)x2-2(a+2)x+1=0恰有一个实根，则 a=_(2)设 m 是不为 0 的整数，二次方程 mx2-(m-1)x+1=0 有有理根，则 m=_(3)当 m=_时，二次方程(m 2-2)x2-2(m+1)x+1=0有两个不等的实数根(4)p，q 是正数，如果方程 x2+px+q=0 的两个根之差是 1，那么 p=_(5)若 x 为实数，且有 4y2+4xy+x+6=0，则使 y 取实数值的所有 x 值的范围是_ 3求方程 5x2-12xy+10y2-6x-4y+13=0 的实数解4解方程组5已知 a，b 是整数，x 2-ax+3-b=0 有两个不相等的实根，x 2+(6-a)x+7-b=0 有两个相等的实根，x 2+(4-a)x+5-b=0 没有实根，求 a，b 的值
