1、第 3 章 中值定理与导数的应用内容概要名称 主要内容（3.1、3.2）名称 条件 结论罗尔中值定理：（1）在 上连续；（2）在)(xfya,b内可导；（3）a,b)(ff至少存在一点 使得)(a,b0)(/f拉格朗日中值定理：（1）在 上连续；（2）在)(xfya,b内可导a,b至少存在一点 使得)b,a()(/ff3.1 中值定理柯西中值定理、 ：（1）在 上连续，在)(xfg,内可导；（2）在 内每点处, )(ab0)(/x 至少存在一点 使得)(,abfgf)(/基本形式 型与 型未定式通分或取倒数化为基本形式 1） 型：常用通分的手段化为 型或 型；02） 型：常用取倒数的手段化为
2、型或 型，即：0或 ；1/1/3.2 洛必 达法则取对数化为基本形式 1） 型：取对数得 ，其中00ln0e或 ；ln/ 1/02） 型：取对数得 ，ln1e其中 0l1/或 ；n3） 型：取对数得 ，0ln0e其中 l1/或 。0n0课后习题全解习题 3-11.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 。（1） ； （2） 。5132)(.,xf 30)(,xf知识点：罗尔中值定理。思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程 ，得到的根 便为所求。)(/f解：（1） 在 上连续，在 内可导，且 ，32)(xf 51., )5.1,0)51(.ff 在 上满足
3、罗尔定理的条件。令 得)(2xf ., ()4f即为所求。514.,（2） 在 上连续，在 内可导，且 ，xf3)(0,)30(, 0)3(f 在 上满足罗尔定理的条件。令，得 即为所求。()302f)30(2,2.验证拉格朗日中值定理对函数 在区间 上的正确性。543xy1,知识点：拉格朗日中值定理。思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程 ，若得到的根()0ff则可验证定理的正确性。10,解： 在 连续，在 内可导，32()45yfxx10,)(,在区间 上满足拉格朗日中值定理的条件。又 ，23, 2)0()1(,ff，()10fxx要使 ，只要： ，()ff513(0)2, ，使
4、 ，验证完毕。513(0)2,()ff3.已知函数 在区间 上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的 。4xf21, 解：要使 ，只要 ，从而 即为满足定(2)1ff331544315(2)4,理的 。4.试证明对函数 应用拉格朗日中值定理时所求得的点 总是位于区间的正中间。rqxpy2 证明：不妨设所讨论的区间为 ，则函数 在 上连续，在 内可导，a,brqxpy2a,b)(a,b从而有 ，即 ，()ff rqpb()(22解得 ，结论成立。2ab5.函数 与 在区间 上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出3)(xf 1)(2xg,满足定理的数值 。知识点：柯西中值定理。思路：根据
5、柯西中值定理的条件和结论，求解方程 ，得到的根 便为所求。()()ffbagg解： 及 在 上连续，在 内可导，且在 内的每一点处有3)(xf2g()1,)21(,)21(,，所以满足柯西中值定理的条件。要使 ，只要 ，20g()()ffgg372解得 ， 即为满足定理的数值。)1(94,6.设 在 上连续，在 内可导，且 。求证：xf0)10(,0)1(f存在 ，使 。)1(,()ff知识点：罗尔中值定理的应用。思路：从 结论出发，变形为 ，构造辅助函数使其导函数为ff)()(/ 0)(/ff， 然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时/xff常用的方法。证明
6、：构造辅助函数 ，)(xfF()fxf根据题意 在 上连续，在 内可导，且 ，)(xf10,10, 0)1()(fF，从而由罗尔中值定理得：存在 ，使0)()0(fF )10(,，即 。ff)()ff注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使 ，只要()()fxf()1 ln()lln00()0()fx ffxxf xf 只要设辅助函数 fF7.若函数 在 内具有二阶导函数，且)(xfa,b )()(321xffxf，证明：在 内至少有一点 ，使得 。(321a)(31,x0知识点：罗尔中值定理的应用。思路：连续两次使用罗尔中值定理。证明： 在 内具有二阶导函数， 在 、 内连续，)(
7、xfa,b)(xf21,3,x在 、 内可导，又 ，21,3)(321xf由罗尔定理，至少有一点 、 ，21,)(,x使得 、 ；又 在 上连续，在 内可导，1()0f2()f)f21)(21,从而由罗尔中值定理，至少有一点 ，使得 。(,)(3,x0f8.若 4 次方程 有 4 个不同的实根，证明：0323140 axax 3210x的所有根皆为实根。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。证明：令 4323140)( axxaxf 则由题意， 有 4 个不同的实数零点，分别设为 ，4321,x 在 、 、 上连续，在 、 、 上可导，)(xf21,3,x4,)
8、()(32)(4,x又 ，0)()fff由罗尔中值定理，至少有一点 、 、21,x)(32,x)(43,x使得 ，即方程 至少有 3 个实根，123()()0fff0234310 axax又三次方程最多有 3 个实根，从而结论成立。9.证明：方程 只有一个正根。15x知识点：零点定理和罗尔定理的应用。思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。解：令 ， 在 上连续，且 ， ，1)(5xf )(f10, 01)(f 01)(f由零点定理，至少有一点 ，使得 ；,)(5f假设 有两个正根，分
9、别设为 、 （ ） ，05x1221则 在在 上连续，在 内可导，且 ，)(f21,)(21, 0)(ff从而由罗尔定理，至少有一点 ，使得 ，这不可能。4()5方程 只有一个正根。05x10.不用求出函数 的导数，说明方程 有几个实根，)4(3)2(1)( xxf ()0fx并指出它们所在的区间。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。解： 在 、 、 上连续，)4(3)2(1)( xxf 21,3,4,在 、 、 内可导，且 ，21,3,4, 0)(ff由罗尔中值定理，至少有一点 、 、 ，)(1,)(2,3,使得 ，即方程 至少有三个实根，123()0
10、ffffx又方程 为三次方程，至多有三个实根，0x 有 3 个实根，分别为 、 、 。()f )21(,)3(,)4(,11.证明下列不等式：（1） ； （2） 当 时， ；baarctnrt 1xex（3） 设 ，证明 ； （4） 当 时， 。0xx)1(l 01)(ln知识点：利用拉格朗日中值定理。思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数 ，通过式子()yfx（或 ）证明的不等式。()fbaf()()fbafba证明：（1）令 ， 在 上连续，在 内可导，xfrctn,)(,b由拉格朗日中值定理，得 。21atrcta()bfaab（2）令 ， 在 上连续，在 内可导，xef)(
11、)1)(xf1,x由拉格朗日中值定理，得 ，e ， ，从而当 时， 。x1 exxex )()( 1xex（3）令 ， 在 上连续，在 内可导，)1ln()f0f0,)0(,由拉格朗日中值定理，得 ，lln(1)l()1xfxx ， ，即 ， 。x010x)l(（4）令 ， 在 上连续，在 内可导，fln)()()(xf1,)1(x,由拉格朗日中值定理，得 ，l1lnl0xf ， ，即当 时， 。x1x0x1)l(12.证明等式： .12arcsinrt2x知识点： （ 为常数） 。()0()fxfxC思路：证明一个函数表达式 恒等于一个常数，只要证 ()0fx证明：令 ，1(2arcsinr
12、t2)( xxxf当 时，有 ；当 时，有11ac2 22 222()1() ()() xfx xx ， ；0122()()fxCf 成立。)1(12arcsinrt2xx13.证明：若函数 在 内满足关系式 ，且 ，则)(f,-()fxf1)0(f。xef)(知识点： ()0()ffxC思路：因为 ，所以当设 时，只要证 即可1e()()xFef()0Fx证明：构造辅助函数 ，()()xFf则 ；()0xef ()1C 。xef)(14.设函数 在 上连续，在 内有二阶导数，且有fa,b)(a,b， bcfff )(0)( 试证在 内至少存在一点 ，使 。)(,()知识点：拉格朗日中值定理的
13、应用。思路：关于导函数 在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析)(fn各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。证明： 在 、 上连续，在 、 内可导，)(xfa,c,b)(a,c,b由拉格朗日中值定理，至少有一点 、 ，12使得 ， ；2()0ffcb()0ffac又 在 上连续，在 内可导，从而至少有一点 ，()x1,)(21,)(21,使得 。21()0fff15.设 在 上可微，且 试证明 在)(xfa,b()()0()fa,fb,fabA,)(/xf内至少有两个零点。)(a,b知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。思路：要证明在某个区间 内导
14、函数至少存在两个零点，只要证该函数在 上有三个零点，即)(a,b a,b可以利用罗尔中值定理，得出结论。证明： ，由极限的保号性知，()lim0xaff（不妨设 ） ，对于 ，均有 ，1,21b-)(1a,x0)(axf特别地， ，使得 ，得 ；)(11,x0)(1ff Aff)(1同理，由 得 （ ） ，使得 ，()0fb,)(22b,x-a02bxff从而得 ；Afxf2又 在 上连续，由介值定理知，至少有一点 使得 ；)(1, )(21,xAf)( 在 、 上连续，在 、 内可导，且 ，xfab)(a,bbaf由罗尔中值定理知，至少有一点 、 ，使得 ，结论成立。1)(212()0f16
15、.设 在闭区间 上满足 ，试证明存在唯一的 ，使得)(xf,()0fxc,。()bfac知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的单调性得出结论。证明：存在性。 在 上连续，在 内可导，由拉格朗日中值定理知，至少有一点 ，使得)(xfa,b)(a,b )(a,bc。)fc唯一性的证明如下：方法一：利用反证法。假设另外存在一点 ，使得 ，)(a,bd()fbafd又 在 （或 ）上连续，在 （或 ）内可导，()fxc,d,c,由罗尔中值定理知，至少存在一点 （或 ） ，使得 ，)(,)(a,b,c()0f这
16、与 在闭区间 上满足 矛盾。从而结论成立。)(xfa,b()0fx方法二： 在闭区间 上满足 ， 在 单调递增，()fx,从而存在存在唯一的 ，使得 。结论成立。)(a,bc()fbafc17.设函数 在 的某个邻域内具有 阶导数，且xfy0n试用柯西中值定理证明：(1)()0f,。)1()(n!xxfn知识点：柯西中值定理。思路：对 、 在 上连续使用 次柯西中值定理便可得结论。)(xfng0,证明： 、 及其各阶导数在 上连续，在 上可导，x,x)0(,x且在 每一点处， ，又 ，)0(,x(1)!n(1)()0nff,连续使用 次柯西中值定理得， (1)(1)11()(0)()0() n
17、nnnnnfffffffxgg!g，从而结论成立。()!f习题 3-21.用洛必达法则求下列极限：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；xexsinlm0x-axsinlim22)(sinlmx-xxarcxot)1ln(i（5） ； （6） ； （7） ； （8） ；xx2tanl7i0 exxln1li3 x-xsintal0xx2ctlim0（9） ； （10） ； （11） ； （12）210limxxe)1(limxx )1(li0xxe；（13） ； （14） ； （15） ； （16）)ln(li1-xxa)(lixxsin0lxtan0lim；exarct1li0（17
18、） ； （18） ； （19） ； （20）xx10)sin(limxx)1(lnim0xx12)(li。2)1tan(limn知识点：洛必达法则。思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为： 型与 型未0定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于 型与 型的未定式，可通过通分或者取倒0数的形式化为基本形式；对于 型、 型与 型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，010还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。解： （1） ；2coslimsinl00 xexex（2） ；aaaxax 1lil（3） ；81sinlm)2(4cosli)2(4sincl)2(sinli 2 xx xxxx（4） ；1)(li1)(limcot)1l(i 22 xxxarx（5） ；17cos2tant7li2tansec7li2tanli 000 xxxx（6） ；eexxxx 413lim1li3 （7） ；2230000tansctansclilililim2soiosxxxx（8） ；1selitali2cotli 2000 xxx（9） ；2222 103101010 lilimlilimxxxxe（或解为： ）210lilili1uuuxxee
