1、1三角函数值域问题的破解策略策略 1：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数 型,再由三bkxy角函数的有界性得解.(其中 为正弦或余弦函数, 为常数)xbk,1.1 形如 的函数,可设 , ,逆用和角公式得到cbayossin 2sina2cosba化为一次函数 型.,2xy例 1：定义在 R 上的函数 的最大值是 . xfos3si)(1.2 形如 的函数可先逆用倍角公式化归为例 1 的形式再求解. dcbay2oinsi例 2：已知函数 .求函数 的最大值. )if)(f1.3 形如 或 的的函数（式中也可以是同名函数） ，可先用和)s(ixcsinxay角公式展开，
2、化归为例 1、例 2 的形式求最值.例 3：函数 的最大值是（ ）A. B. C. 7 D. 6)80i50iny 216300:2,3s(63si5(incossin)x解 设 则151sico7(ico)7)4(其中 )， .sin,4c,1sin(取 得 最 大 值时当 y例 4：求函数 的最小值.xyco6(解: xs)sin 231iscosi)sincos62xxx31112coin(2444x.3,)6sin(取 得 最 小 值时当 yx1.4 形如 的函数可分离常数，利用有界性求解.siabycd例 5： 求函数 的最大值和最小值.1.5 形如 的函数可将 看作参数，化归为例
3、1 的形式求解.dxcbayosiny例 6：一条河宽 1km，两岸各有一座城市 与 ， 与 的直线距离为 4km，今需铺设一条电缆线连接AB与 。已知地下的电缆修建费是 2 万元/km，水下电缆的修建费是 4 万元/km 。假定河两岸是平行的直AB线，问应如何铺设电缆方可使总施工费用达到最少解：设 ，则CD,sec,DtgB设总费用为 万元，则 tgDCB15, y 42sin4sec21515(0)co2tg现求 的最小值:)20(cosin24u222minmin 4cosin4,sin()3, 1,sin()1,4,3315,uuuarctgtyBD值值即水下电缆应从距 城（ ）km
4、处向 城铺设。A1.6 参数型,注意分类讨论,特别小心定义域对值域的限制.例 7：函数 的定义域为 ,值域为 ,求常数 的值.baxxaycosin32si 2015ba,:(1co)(3sincos)2sinsi)666xab解 702,xx由 知 1si(2)1故,)6sin(,) aaai则若 n3()3.bxfxab即31,55b由 已 知 得 即)0,()2sin()2,3().6ifxaaabfx若 则 不 合 题 意若 则 得 1 2,35151b ab由 已 知 得 即 综 上 所 述 或策略 2：通过换元转化为二次函数 型, 求一元二次函数在区间上的值域问题.cbtay22.
5、1 求形如 的函数的值域可利用换元化归为一元二次函数在区间上的值域问题，cxaysini2小心定义域对值域的限制.例 8：求函数 的值域.3,4oi3222maxmin1:cos1(cs),1,(),3321515,;, ,24244yxxt tytty解设 由 得当 时 当 时 故 函 数 值 域 为2.2 求同时含有 与 （或 ）的函数的值域，一般令 (或cosinxcosixcos txcosin)可以化归为求 在区间上的值域，要注意 的取值范围.txcosinbtayt例 9：当 时,求函数 + 的最值.若 呢？Ri 2in22,0x32221:sinco,sinc,sin()2,41
6、3()4ttxxtxyt 解 设 则 且 2,1maxminyt 时当时当 inmax01,3,2,322xttty又 若 则 当 时 当 时2.3 参数形,分类讨论，注意定义域对值域的限制.例 10：函数 的定义域为 ，值域为 ，求常数 .)0(sincoabxy ,00,4ba,解; axis2bxsin12 2sin1x2in, 1,4tytt令 则)2, 0,()14,.2,t at bab若 则 当 时 取 最 大 值 即而 当 时 取 最 小 值 即 联 立 解 得 2)0, ,10(3)1,4,(4).24(346, ,.,aiatybtybab若 则 当 时 取 最 大 值 即 而 当 时 取 最 小 值 即联 立 解 得 或 经 检 验 都 不 合 题 意 舍 去综 上 所 述
