1、1大学物理习题解答-By:Death第一章 质点运动学P2611 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3试求：（1）第 2s 内的位移和平均速度；（2）1s 末及 2s 末的瞬时速度，第 2s内的路程；（3）1s 末的瞬时加速度和第 2s 内的平均加速度解答（1）质点在第 1s 末的位移大小为x(1) = 612 - 213 = 4(m)在第 2s 末的位移大小为x(2) = 622 - 223 = 8(m)在第 2s 内的位移大小为x = x(2) x(1) = 4(m)，经过的时间为 t = 1s，所以平均速度大小为=x/t = 4(ms -1)v（2）质点的瞬时速度
2、大小为v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，因此 v(1) = 121 - 612 = 6(ms-1)，v(2) = 122 - 622 = 0，质点在第 2s 内的路程等于其位移的大小，即 s = x = 4m （3）质点的瞬时加速度大小为a(t) = dv/dt = 12 - 12t，因此 1s 末的瞬时加速度为a(1) = 12 - 121 = 0，第 2s 内的平均加速度为= v(2) - v(1)/t = 0 6/1 = -6(ms-2)注意第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是 1 秒12 一质点作匀加速直线运动，在 t = 10s 内走过路程 s = 30m，而
3、其速度增为 n = 5 倍试证加速度为 2(1)nsat并由上述数据求出量值证明依题意得 vt = nvo，根据速度公式 vt = vo + at，得a = (n 1)vo/t， (1)根据速度与位移的关系式 vt2 = vo2 + 2as，得a = (n2 1)vo2/2s，(2)（1）平方之后除以（2）式证得21)(t计算得加速度为= 0.4(ms-2)2(5)301a13 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成 22.5的夹角的初速度 65ms-1从西边起跳，准确地落在坑的东边已知东边比西边低 70m，忽略空气阻力，且取g = 10ms-2问：（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？（2）
4、他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？解答方法一：分步法 （1）夹角用 表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为vy0 = v0sin = 24.87(ms-1)取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式vt - v0 = at，这里的 v0 就是 vy0，a = -g；当他达到最高70m22.5图 1.32点时，v t = 0，所以上升到最高点的时间为t1 = vy0/g = 2.49(s)再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式vt2 - v02 = 2as，可得上升的最大高度为h1 = vy02/2g = 30.94(m)他从最高点开始再做自由落体运动，下落
5、的高度为h2 = h1 + h = 100.94(m)根据自由落体运动公式 s = gt2/2，得下落的时间为= 4.49(s)22tg因此他飞越的时间为t = t1 + t2 = 6.98(s)他飞越的水平速度为vx0 = v0cos = 60.05(ms-1)，所以矿坑的宽度为x = vx0t = 419.19(m)（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为vy = gt = 69.8(ms-1)，落地速度为v = (vx2 + vy2)1/2 = 92.08(ms-1)，与水平方向的夹角为 = arctan(vy/vx) = 49.30，方向斜向下方法二：一步法取向上的方向为正
6、，他在竖直方向的位移为 y = vy0t - gt2/2，移项得时间的一元二次方程，201singtt解得020(ii)tvgy这里 y = -70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为t = 6.98(s)由此可以求解其他问题14 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即 dv/dt = -kv2，k 为常数（1）试证在关闭发动机后，船在 t 时刻的速度大小为 ；01tv（2）试证在时间 t 内，船行驶的距离为 01ln()xk证明（1）分离变量得 ，2dvkt积分 ，020dv
7、tk可得 01tv（2）公式可化为 ，0vkt由于 v = dx/dt，所以0 001d()1()xvtktkt积分 000d()xt tvt因此 证毕1lnk讨论当力是速度的函数时，即 f = f(v)，根据牛顿第二定律得 f = ma由于 a = d2x/dt2，而 dx/dt = v，所以 a = dv/dt，分离变量得方程，()mtf解方程即可求解在本题中，k 已经包括了质点的质量如果阻力与速度反向、大小与船速的n 次方成正比，则dv/dt = -kvn3（1）如果 n = 1，则得，dvkt积分得lnv = -kt + C当 t = 0 时，v = v 0，所以 C = lnv0，因
8、此lnv/v0 = -kt，得速度为 v = v0e-kt而 dv = v0e-ktdt，积分得kxC当 t = 0 时，x = 0，所以 C = v0/k，因此(1-e)ktv（2）如果 n1，则得 ，积dntv分得1nvktC当 t = 0 时，v = v 0，所以 ，因此10nv10()nkt如果 n = 2，就是本题的结果如果 n2，可得，1(2)/10()nnvktx读者不妨自证15 一质点沿半径为 0.10m 的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示： = 2 + 4t3求：（1）t = 2s 时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时， 为何
9、值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解答（1）角速度为 = d/dt = 12t2 = 48(rads-1)，法向加速度为an = r2 = 230.4(ms-2)；角加速度为 = d/dt = 24t = 48(rads-2)，切向加速度为at = r = 4.8(ms-2)（2）总加速度为 a = (at2 + an2)1/2，当 at = a/2 时，有 4at2 = at2 + an2，即3nt由此得 ，2r即 ，(1)4tt解得 3/6所以=3.154(rad)324(1/)t（3）当 at = an 时，可得 r = r2，即 24t = (12t2)2，解得
10、 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)16 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为 v = 300ms-1，方向与水平线夹角为 30而斜向下，此后飞机的加速度为a = 20 ms-2，方向与水平前进方向夹角3为 30而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？解答建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为v0x = v0cos，v0y = v0sin加速度的大小为ax = acos， yxO v0aaxayv0xv0y4ay = asin 运动方程为，201xxvtyyat即 ， 20coscsxv1iniytt令 y = 0，解得飞机回到原
11、来高度时的时间为t = 0（舍去） ； (s)02si13nvta将 t 代入 x 的方程求得 x = 9000m注意 选择不同的坐标系，例如 x 方向沿着 a 的方向或者沿着 v0 的方向，也能求出相同的结果17 一个半径为 R = 1.0m 的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体 A在重力作用下，物体 A 从静止开始匀加速地下降，在 t = 2.0s内下降的距离 h = 0.4m求物体开始下降后 3s 末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度解答圆盘边缘的切向加速度大小等于物体 A 下落加速度由于 ，所以21thaat = 2h/t2 = 0.2(ms
12、-2)物体下降 3s 末的速度为v = att = 0.6(ms-1)，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为= 0.36(ms-2)2nR18 一升降机以加速度 1.22ms-2 上升，当上升速度为 2.44ms-1 时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距 2.74m计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离解答在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为；210hvta螺帽做竖直上抛运动，位移为220tg由题意得 h = h1 - h2，所以，()at解得时间为= 0.705(s)2/()thg算得 h2 = -0.716m，
13、即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为 0.716m注意以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为 a + g，而初速度为零，可列方程h = (a + g)t2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离19 有一架飞机从 A 处向东飞到 B处，然后又向西飞回到 A 处已知气流相对于地面的速度为 u，AB 之间的距离为 l，飞机相对于空气的速率 v 保持不变（1）如果 u = 0（空气静止） ，试证来回飞行的时间为 ；2lt（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为 ；012/ttuv（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为 022/tt证明（1）飞机飞行来回的速率为RA图
14、1.75v，路程为 2l，所以飞行时间为 t0 = 2l/v（2）飞机向东飞行顺风的速率为 v + u，向西飞行逆风的速率为 v - u，所以飞行时间为12lltv02/tuv（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度为了使飞机沿着 AB 之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿 AB 方向的速度大小为 ，所以飞行时间为2Vvu222/1lllvt u 证毕021/tuv110 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为 v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为 ，偏向于汽车前进方向，速度为v2今在车后放一长方形物体，问车速 v1为多大时此物体刚好不会被
15、雨水淋湿？解答雨对地的速度 等于雨对车的2v速度 加车对地的3v速度 ，由此可作1矢量三角形根据题意得 tan = l/h方法一：利用直角三角形根据直角三角形得v1 = v2sin + v3sin，其中 v3 = v /cos，而 v = v2cos，因此 v1 = v2sin + v2cossin/cos，即 证(sincos)lh毕方法二：利用正弦定理根据正弦定理可得，12sin()si(90)vv所以 12icosvsnsin，2(ita)v即 1sncoslh方法三：利用位移关系将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在 t 时间内，雨滴的位移为l = (v1 v2sin)t，h = v
16、2cost两式消去时间 t 即得所求 证毕第二章 质点力学的基本定律P4621 如图所示，把一个质量为 m 的木块放在与水平成 角的固定斜面上，两者间的静摩擦因素 s较小，因此若不加支持，木块将加速下滑（1）试证 tan s；（2）须施加多大的水平力 ，可使F木块恰不下滑？这时木块对斜面的正压力多大？A BA Bvv + uv - uA Bv uu vvv1hl v2图 1.10mF图 2.1v1hlv2v3 v6（3）如不断增大 的大小，则摩擦F力和正压力将有怎样的变化？（1）证明 木块在斜面上时受到重力和斜面的支持力 以及静摩擦力GmgN，其中ff fs = sN，而 N = Gcos要使
17、木块加速下滑，重力沿着斜面的分量不得小于最大静摩擦力 fs 根据牛顿第二定律得Gsin - sGcos = ma0，因此 tan s 证毕（2）解答要使物体恰好不下滑，则有Gsin - sN - Fcos = 0， （1）N - Gcos - Fsin = 0 （2）（2） s +（1 ）得Gsin - sGcos Fcos - sFsin = 0，解得 （3）incosismg上式代入（2）得 （4）cosinsN（3）解答 当木块平衡时，一般情况下，有Gsin - f - Fcos = 0，N - Gcos - Fsin = 0解得f = Gsin - Fcos，N = Gcos + Fs
18、in可知： 当 的大小不断增加时，摩擦力 1将不断减小；当 F = Gtan 时，摩擦力为零；当 F 再增加时摩擦力将反向；至于木块是否向上做加速运动，则要进一步讨论正压力将不断增加 2讨论当 tan 1/s 时，如果木块恰好不上滑，则摩擦力恰好等于最大静摩擦力，方向沿着斜面向下，用上面的方法列方程，可得sincosiFmg将（3）式中的 s 改为- s 就是这个结果可见：当 tan = 1/s 时，F 趋于无穷大，只有当 tan 1/s 时，才能增加 F 的大小使木块向上加速滑动22 如图所示，设质量 m = 10kg 的小球挂在倾角 = 30的光滑斜面上，求：（1）当斜面以加速度 a =
19、g/3 沿图中所示的方向运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力各是多大？（2）当斜面的加速度至少为多大时小球对斜面的正压力为零？（g = 9.8ms -2）解答（1）小球受到重力 G，斜面的支持力 N 和绳子的张力 T建立坐标系，列方程得Ncos + Tsin mg = 0，Tcos - Nsin = ma解得 N = m(gcos asin) = 68.54(N)，T = m(gsin + acos) = 77.29(N)（2）令 N = 0，得加速度为a = gctg = 16.97(ms-2)23 物体 A 和 B 的质量分别为 mA = 8kg，m B = 16kg，它们之间用绳子联结
20、，在倾角 = 37的斜面上向下滑动，如图所示A 和 B 与斜面的滑动摩擦因素分别为kA = 0.2， kB = 0.4，求： GmN f GmN f xFya图 2.2 Gx ayN T7（1）物体 A 和 B 的加速度；（2）绳子的张力；（3）如果将 A 和 B 互换位置，则（1）和（2）的结果如何？解答根据角度关系可得 sin = 3/5 = 0.6，cos = 4/5 = 0.8，tan = 3/4 = 0.75（1）如果物体 A 和 B 之间没有绳子，由于 tan s，可知：A 和 B 都要沿斜面做加速运动，而 B 的加速度比较小当 A 和B 之间有绳子时，它们将以相同的加速度运动设绳
21、子的张力为 T，根据牛顿第二定律分别对 A 和B 列运动方程：mAgsin kAmAgcos - T = mAa，T + mBgsin kBmBgcos = mBa两式相加得(mA + mB)sin (kAmA + kBmB)cosg= (mA + mB)a，所以加速度为 sincoskAkBg= 3.26(ms-2)（2）将加速度 a 的公式代入任一方程都可解得张力为= ()coskBABmgT3.86(N)由此可见：当两物体的摩擦因素相等时，张力才为零，这是因为它们的加速度相等（3）将 A 和 B 互换位置后，由于 A的加速度比较大，所以绳子不会张紧，其张力为零A 的运动方程为mAgsin
22、 kAmAgcos = mAaA，解得 aA = g(sin kAcos) = 4.12(ms-2)同理得 aB = g(sin kBcos) = 2.7(4ms-2)24 一个重量为 P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 运动，0v的方向与斜面0v底边的水平约 AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道解答质点在斜上运动的加速度为 a = gsin，方向与初速度方向垂直其运动方程为x = v0t， 221sinyatgt将 t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为，20siyxv这是抛物线方程25 桌上有一质量 M = 1kg 的平板，板上放一质量 m = 2kg 的另一物
23、体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为 k = 0.25，静摩擦因素为 s = 0.30求：（1）今以水平力 拉板，使两者一F起以 a = 1ms-2 的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？解答（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用板对物体的支持大小等于物体的重力Nm = mg = 19.6(N)，这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力A Bv0P图 2.4AB图 2.3ABmAgNA fA TTmBgNB fBNmfmNMfMa8的大小为fm = ma = 2(N)，这也是板受到的摩擦力
24、的大小，摩擦力方向也相反板受桌子的支持力大小等于其重力NM = (m + M)g = 29.4(N)，这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为fM = kNM = 7.35(N)这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为 a的运动，物体的运动方程为f =smg = ma，可得 a =sg板的运动方程为 F f k(m + M)g = Ma，即 F = f + Ma + k(m + M)g = (s + k)(m + M)g，算得 F = 16.17(N)因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N 的力 26 如
25、图所示：已知 F = 4N，m 1 = 0.3kg，m 2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为 0.2求质量为 m2 的物体的加速度及绳子对它的拉力 （绳子和滑轮质量均不计）解答利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为 a2 = 2a1，而力的关系为 T1 = 2T2对两物体列运动方程得T2 - m2g = m2a2，F T1 m1g = m1a1可以解得 m2 的加速度为= 4.78(ms-2)，122()/Fmga绳对它的拉力为 211(/2)/TFgm= 1.35(N)27 两根弹簧的倔强系数分别为 k1 和 k2求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数 k与 k1 和 k2满
26、足关系关系式 ；12（2）它们并联起来时，总倔强系数 k = k1 + k2解答当力 F 将弹簧共拉长 x 时，有 F = kx，其中 k 为总倔强系数两个弹簧分别拉长 x1 和 x2，产生的弹力分别为F1 = k1x1，F 2 = k2x2（1）由于弹簧串联，所以F = F1 = F2，x = x 1 + x2，因此 ，即 12k12k（2）由于弹簧并联，所以F = F1 + F2，x = x 1 = x2，因此 kx = k1x1 + k2x2，即 k = k1 + k228 如图所示，质量为 m 的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角 ）及线中
27、的张力 T（1）小车沿水平线作匀速运动；（2）小车以加速度 沿水平方向运动；1a（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成 角；NmfNMf f Fam2FT1a1m1T2a2f1f2图 2.6k1 k2 F(a)k1k2F图 2.7(b)图 2.89（4）用与斜面平行的加速度 把小车1b沿斜面往上推（设 b1 = b） ；（5）以同样大小的加速度 （b 2 = b） ，将小车从斜面上推下来解答（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为 T = mg（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力由于tan = ma/mg，所
28、以 = arctan(a/g)；绳子张力等于摆所受的拉力 222(Tmagag（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以 = ；T = mgcos（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，与水平辅助线相交，可得一直角三角形， 角的对边是mbcos，邻边是mg + mbsin，由此可得：，costaninmbg因此角度为；csartib而张力为 2()()cos(/2)Tmbgbsin（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的 b 改为-b 就行了29 如图所示：质量为 m = 10kg 的小球，拴在长度 l = 5m 的轻绳子的一端，构成一个摆摆动时
29、，与竖直线的最大夹角为 60求：（1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？（2）在 60的任一位置时，求小球速度 v 与 的关系式这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？（3）在 = 60时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？解答（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即 F = -mgsin，负号表示角度 增加的方向为正方向小球的运动方程为，2dsFmat其中 s 表示弧长由于 s = R = l，所以速度为，dvlt因此，dmvFttl即 vdv = -glsind， （1）Tmgma（2）Tmgma（3）Tmgmb（4）T
30、mgmb（5）lmB CO图 2.9lmBCOmgT10取积分 ，006dsindBvgl得 ，2601coBl解得= 2.21(ms-1)Bvgl由于 ，2BvTmmgRl所以 TB = 2mg = 1.96(N)（2）由（1）式积分得，cosCvgl当 = 60 时，v C = 0，所以 C = -lg/2，因此速度为(2cs1)l切向加速度为at = gsin；法向加速度为2(cos1)CnvR由于 TC mgcos = man，所以张力为TC = mgcos + man = mg(3cos 1)（3）当 = 60 时，切向加速度为= 8.49(ms-2)，2tag法向加速度为an =
31、0，绳子的拉力T = mg/2 = 0.49(N)注意在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便210 一质量为 m 的小球，最初静止于如图所示的 A 点，然后沿半径为 r 的光滑圆弧的内表面 ADCB 下滑试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力解答此题情形与上一题的数学类型是相同的取上题中 l = r，对（1）式积分，090dsindCvg得 ，290cor解得速度为，sCvgr角速度为2cor由于 NC mgcos = 2mgcos，所以NC = 3mgcos211 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下 h 高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）解答小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向设切线与竖直方向的夹角为 ，则F = mgcos小球的运动方程为，2dsmats 表示弧长由于 ，所以dvt，2d()svsvttt因此 vdv = gcosds = gdh，h 表示石下落的高度积分得 ，21C当 h = 0 时，v = 0，所以 C = 0，因此速率为 ghrDBCAh mNmg图 2.11
