1、8、设总体 具有连续的分布函数 ， 是来自总体 的样本，且X()Fx12,nX X，定义随机变量iE1, , (1,2)0iiYinX试确定统计量 的分布.1niY解 由题意知 ， ， .(,)iBp:()1()1i iPX ,2in从而由二项分布定义知 .1,niY19、设 是来自总体 的样本，试求：12,nX ,Uab:1)、 的密度函数; 2)、 的密度函数.() ()nX解 因为 ，所以 的密度函数与分布函数分别为,Uab:1, ,()0xfxab0, ,()1, .xaFxb因此所求的(1) 1()nfxxf1, ,0, naxabb1(), ,0, nxab() 1()nnfxFf
2、x1, ,0, naabbx1(), ,0, .nxabb22、设总体 服从正态分布 ， 是来自总体 ， 为样本方X2(,)N12,nX X2S差，问样本容量 取多大能满足 ？n23.670.95nSP解 已知： ，由所求的 有：2(1)(1)S:2(1)3.670.95nSP.0.95()367查表得 .故有 即 .0.95(21)36712n23、从两个正态总体中分别抽取容量为 和 的两独立的样本，设总体方差相等，1分别为两样本方差，求 .21,S2139SP解 由题意可得 ，易得21(,4)F:.2211.3939SSPP由上知 为 的分位数，即 .查表得 .2.39(,4)F(,4)p
3、F0.95(1,4)239F于是 .故所求的12.05SP2112.39.390.5.S, a,3);,0xbfxab未 知 ；其 他 ，解 矩估计法：因为总体 的数学期望为 方差X,2abEX21baDX所以 解得 .2*,1abXM:*123,aXb最大似然估计法：因为该总体 的密度函数为1, a,;,0xbfxab未 知 ；其 他 ，则该总体决定的似然函数为1211, a,12, ,;,;,0, n inii xbnbLabxfxa 其 他 ，因为似然方程 ， ，显然似然方1ln,nLab1l 0nLba程关于 无解.这时利用似然估计的定义，当 时，有,ab ,2 iax，则 ，12nx
4、xb 12 1,;,nnnLbax显然当 ， 时，可使似然函数取最大值，因此 的最大似然估计为，:21aX2n ,， .miin:1maxiinbX其中228); ,xfx,301.解 矩估计法：因为总体 的数学期望为，2221xxXE所以 ，得到 .2:1最大似然估计法：因为总体 的分布密度为其中22; ,xfx,301.则该总体决定的似然函数为，221211;,; innxiiiiLfx 其中 30.ix当 时知 ，两边取对数得,i 0L，1 1lnl2ln2lnni iiLxx两边对 求导得 1l 0idL令 ，得到 .ln0d:2X12. 设总体 ， 为其样本，2,XN12,n求常数
5、，使 为 的无偏估计量；1)k:1niiiXk2求常数 ，使 为 的无偏估计量.2)1nii解 1):1222 2111nnii iiiii iExExExkk 2 21111 niiiiiiiDxDk ，22221ni nk 所以 ；k19.设总体 具有如下密度函数：X，1,0,(;)(0) xf其 他是来自于总体 的样本，对可估计函数 ，求 的有效估计量12,n X1gg，并确定 下界.:gCR解 因为总体 的分布密度为，1,0,(;)(0) xf其 他则该总体决定的似然函数为1121,0,;,;, nniiii xLxfx 其 他 ，当 时，由 知 ，两边取对数得0,i， ， 0L，1l
6、nl+-lniiLx两边对 求导得 ，11lllni ii idLx，121, lnniiTXX 00llliExdx1100lnlnx所以 .T根据教材中定理 2.3.2 知 是 的有效估计量.121, lnniiTXX 1g下界为 .CR2gDc20.设总体 服从几何分布： ，对可估计函数X1,2kPXkp，则1gp求 的有效估计量 ；)12,nT求方差 和信息量 ；2DIp验证 的相合性.3)T解 因为总体 的分布密度为1X1,2kPkp则该总体决定的似然函数为，11211;,;innxnxnii iLpxfxppp当 时，由 知 ，两边取对数得0,i 0pL，lnllnx两边对 求导得
7、p 11dxnxppp所以 12,nTXX 111kkkkEppp所以 为 的有效估计量.12,nTXX g由 知 ， ，)cp21cpInp.21gnDT， 是相合估计量.3) 20,Xpn12,nTXX28.假设 是总体 的简单随机样本.已知 .0.5,1.8, l,1YN:求参数 的置信度为 的置信区间；)095求 的置信度为 的置信区间.2EX解 由题意可得 ，1)41ln0,4iiyx， ，0.9750.5,.,62u1，0.975 0.97511.8,+.960.82ayubyunn所以参数 的置信度为 的置信区间为 .0.95.,8由 得 且 .2)ln,1YXN:Ye21,yf
8、yeR，2121yYYyEXefydede因为 是严格递增函数，参数 的置信度为 的置信区间为 ，,yR0.950.98,所以 的置信度为 的置信区间为 .EX0.950.481,e32.在 次设计中，有 次命中目标，试求命中率的置信度为 的置信区间.15695%解 ，47.1,.5p，0.975 0.97510.63, 0.65XXaubunn命中率的置信度为 的置信区间为 .%.4,.61.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量 .现在测试了 炉铁水，其含218N:5碳量分别为 .如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？4.28,0.,357如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化 ？0.
9、5解 由题意知， ， ， ， ，24.5,018XN:n14.36ix0.5.52201.96iisx当 已知时，)0.8设统计假设 .0010:4.5,:45H当 时， ，临界值 ，.50.975126u 120.8.960.475cun拒绝域为 .000.947Kxcx ，所以拒绝 ，接受 ，即认为当方差没有改4.36.5.86xK0H1变时，总体的均值有显著变化.当 已知时，2)0.设统计假设 .22220010:.8,:18H当 时，临界值0.5，22 2210.5 0.97511.16, .6cncn拒绝域为 .222201000.6.1ssssKc或 或 ，所以拒绝 ，接受 ，即均
10、值没有改变时，总体方2 020.9568.71sK0H1差有显著变化.2.一种电子元件，要求其寿命不得低于 .现抽取 件，得其均值 .已知该1h25950xh种元件寿命 ，问这批元件是否合格 ？2,10XN:0.解 由题意知， ， ， ， ， .5n9x01设统计假设 .0010:,:HH当 时， ，临界值 ，.50.5.6u1.6532cun拒绝域为 .0003Kxcx ，所以拒绝 ，接受 ，即认为这批元件不合格.951xK0H13.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为 ，现从某天生产的罐头中随5g机抽测 罐，其质量分别为 （单位： ） ，假定50,498,32,497,6g罐头质
11、量服从正态分布.问机器工作是否正常 ？1).能否认为这批罐头质量的方差为 ？225.0.解 设 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位： ）.由题意知X g，方差 未知. ， ， ， 250,N:29n915089ix0.5，222113.68ni ii isxx22013.67iisx设统计假设 .)0010:5,:5H ，临界值 ，0.9751282.36tnt125.792.3064.5sctn拒绝域为 .0004.56Kxcx ，所以接受 ，拒绝 ，即认为机器工作5.89.89x K0H1正常.当 已知时，2)0设统计假设 .22220010:5.,:5HH当 时，临界值.5，22
12、2210.5 0.975119.3, .13cncn拒绝域为 .222201000.3ssssK或 或 ，所以接受 ，拒绝 ，即为这批罐头质量的方差为2 0203.671.385sK0H1.214.从甲乙两煤矿各取若干个样品，得其含灰率 为%甲： ， 乙：24.3,08.7,213.418.2,690.,17假定含灰率均服从正态分布且 .问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异21？.5解 设 分别表示甲乙两煤矿的含灰率.由题意知： .,XY 221(,)(,)XNY:， .问甲、乙两煤矿的含灰率有无显421.,8nmxy2217.50,.93ss著差异，因此，可进行以下假设检验。 统计假设 当 时
13、，012012:,:H0.5临界值为.97512 .36tnt221121nSmctnm 47.503.9.365.687拒绝域为 0.68.Kxyc由于 所以，接受 ，即认为甲、乙两煤矿的含灰率无显021.53K0H著差异.15.设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低。通过试验获得他们的抗拉强度分别为 ：2/kgcm单 位 ：甲： 乙：8,7920,189,04,8假定两种零件的抗拉强度均服从正态分布且 .问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的21高 ？.5解设 分别表示甲乙两种零件的抗拉强度 .由题意知：,XY2/kgcm单 位 ：， ， .问甲221(,)(,)N:5,89.6,nxy214.3,5s种零件的抗拉强度是否比乙种的高，因此，可进行以下假设检验。 统计假设 ，01212H:,: 当 时， 临界值为.50.581.6tnmt2212Sctn14.35.86.60458拒绝域为 02.Kxyc由于 所以，接受 ，即认为甲种零件的抗拉强度比乙种09.61K0H的高.17.要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取 个，各取一个组成一对，8现再随机地选取 架飞机，将 对轮胎磨损量 数据列表如下：8单 位 ： mg
