1、第三章 动量守恒定律和能量守恒定律3 -3 对功的概念有以下几种说法：(1) 保守力作正功时,系统内相应的势能增加；(2) 质点运动经一闭合路径,保守力对质点作的功为零；(3) 作用力和反作用力大小相等、方向相反,所以两者所作功的代数和必为零下列上述说法中判断正确的是( )(A) (1)、(2)是正确的 (B) (2)、(3)是正确的(C) 只有(2)是正确的 (D) 只有 (3)是正确的分析与解 保守力作正功时,系统内相应势能应该减少由于保守力作功与路径无关,而只与始末位置有关,如质点环绕一周过程中,保守力在一段过程中作正功,在另一段过程中必然作负功,两者之和必为零至于一对作用力与反作用力分
2、别作用于两个质点所作功之和未必为零(详见习题3 -2 分析), 由此可见只有说法(2)正确,故选(C)3 -4 如图所示,质量分别为m 1和m 2的物体A和B,置于光滑桌面上,A和B之间连有一轻弹簧另有质量为m 1和m 2的物体C和D 分别置于物体A与B 之上,且物体A和C 、B和D 之间的摩擦因数均不为零首先用外力沿水平方向相向推压A和B,使弹簧被压缩,然后撤掉外力,则在A和B弹开的过程中,对A 、 B、 C、 D 以及弹簧组成的系统,有( )(A) 动量守恒, 机械能守恒 (B) 动量不守恒,机械能守恒(C) 动量不守恒,机械能不守恒 (D) 动量守恒,机械能不一定守恒分析与解 由题意知,
3、作用在题述系统上的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能未必守恒,这取决于在A、B 弹开过程中C 与A 或D 与B 之间有无相对滑动,如有则必然会因摩擦内力作功,而使一部分机械能转化为热能,故选(D)3 -5 如图所示,子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块后而穿出以地面为参考系,下列说法中正确的说法是( )(A) 子弹减少的动能转变为木块的动能(B) 子弹- 木块系统的机械能守恒(C) 子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功(D) 子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热分析与解 子弹-木块系统在子弹射入过程中 ,作用于系统的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能并不守恒这是因为子弹与木
4、块作用的一对内力所作功的代数和不为零(这是因为子弹对地位移大于木块对地位移所致),子弹动能的减少等于子弹克服阻力所作功,子弹减少的动能中,一部分通过其反作用力对木块作正功而转移为木块的动能,另一部分则转化为热能(大小就等于这一对内力所作功的代数和) 综上所述,只有说法 (C)的表述是完全正确的3 -6 一架以3.0 10 m -1的速率水平飞行的飞机,与一只身长为 0.20 m、质量为0.50 kg的2飞鸟相碰设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度,而原来飞鸟对于地面的速率甚小,可以忽略不计试估计飞鸟对飞机的冲击力(碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算)根据本题的计算结果,你对于高速运动的
5、物体(如飞机、汽车) 与通常情况下不足以引起危害的物体(如飞鸟、小石子)相碰后会产生什么后果的问题有些什么体会？分析 由于鸟与飞机之间的作用是一短暂时间内急剧变化的变力,直接应用牛顿定律解决受力问题是不可能的如果考虑力的时间累积效果,运用动量定理来分析,就可避免作用过程中的细节情况在求鸟对飞机的冲力(常指在短暂时间内的平均力) 时,由于飞机的状态(指动量)变化不知道,使计算也难以进行；这时,可将问题转化为讨论鸟的状态变化来分析其受力情况,并根据鸟与飞机作用的相互性(作用与反作用), 问题就很简单了解 以飞鸟为研究对象,取飞机运动方向为x 轴正向由动量定理得0vmtF式中 为飞机对鸟的平均冲力,
6、而身长为20cm的飞鸟与飞机碰撞时间约为t l /v,以此代入上式可得 N105.2lmFv鸟对飞机的平均冲力为 .5式中负号表示飞机受到的冲力与其飞行方向相反从计算结果可知,2.25 105 N的冲力大致相当于一个22 t 的物体所受的重力 ,可见,此冲力是相当大的若飞鸟与发动机叶片相碰,足以使发动机损坏,造成飞行事故3 -7 如图所示，质量为m的物体,由水平面上点O 以初速为v 0抛出,v 0与水平面成仰角若不计空气阻力,求：(1) 物体从发射点O 到最高点的过程中 ,重力的冲量；(2) 物体从发射点到落回至同一水平面的过程中,重力的冲量分析 重力是恒力,因此,求其在一段时间内的冲量时,只
7、需求出时间间隔即可由抛体运动规律可知,物体到达最高点的时间 ,物体从出发到落回至同一水平面所需的时间gtsin01v是到达最高点时间的两倍这样,按冲量的定义即可求得结果另一种解的方法是根据过程的始、末动量,由动量定理求出解1 物体从出发到达最高点所需的时间为 gtsin01v则物体落回地面的时间为 tsi201于是,在相应的过程中重力的冲量分别为 jjFIsind011vmtgtt 22t解2 根据动量定理,物体由发射点O 运动到点A 、 B的过程中,重力的冲量分别为 jjjIymvysin001vB223 -8 F x30 4t(式中F x的单位为N,t 的单位为s) 的合外力作用在质量m1
8、0 kg的物体上,试求：(1) 在开始2内此力的冲量；(2) 若冲量I300 Ns,此力作用的时间；(3) 若物体的初速度v 110 ms -1 ,方向与F x相同,在t6.86s时,此物体的速度v 2分析 本题可由冲量的定义式 ,求变力的冲量,继而根据动量定理求物体的速度21dtFv2解 (1) 由分析知 sN682304020 ttI(2) 由I 300 30t2t 2 ,解此方程可得t6.86 s(另一解不合题意已舍去)(3) 由动量定理,有I m v 2- m v1由(2)可知t6.86 s 时I 300 Ns ,将I 、 m及v 1代入可得2s403 -9 高空作业时系安全带是非常必
9、要的假如一质量为51.0 kg的人,在操作时不慎从高空竖直跌落下来,由于安全带的保护,最终使他被悬挂起来已知此时人离原处的距离为2.0 m ,安全带弹性缓冲作用时间为0.50 s 求安全带对人的平均冲力分析 从人受力的情况来看,可分两个阶段：在开始下落的过程中,只受重力作用,人体可看成是作自由落体运动；在安全带保护的缓冲过程中,则人体同时受重力和安全带冲力的作用,其合力是一变力,且作用时间很短为求安全带的冲力,可以从缓冲时间内,人体运动状态(动量)的改变来分析,即运用动量定理来讨论事实上 ,动量定理也可应用于整个过程但是,这时必须分清重力和安全带冲力作用的时间是不同的；而在过程的初态和末态,人
10、体的速度均为零这样,运用动量定理仍可得到相同的结果解1 以人为研究对象,按分析中的两个阶段进行讨论在自由落体运动过程中,人跌落至2 m处时的速度为(1)gh21v在缓冲过程中,人受重力和安全带冲力的作用,根据动量定理,有(2)12vmtPF由式(1)、(2)可得安全带对人的平均冲力大小为 N04.123tghmtgFv解2 从整个过程来讨论根据动量定理有 ./3ht3 -10 质量为 m 的小球,在合外力 F-kx 作用下运动,已知x Acost,其中k、A均为正常量,求在t 0 到 时间内小球动量的增量t2分析 由冲量定义求得力F的冲量后,根据动量原理,即为动量增量,注意用式 积分前,21d
11、tF应先将式中x用x Acost 代之,方能积分解 力F的冲量为 kAtktkxtFItt 2/02121 dcosd即 kAmv3 -11 一只质量 的垒球以 水平速率扔向打击手，球经球棒击g.01 11sm7v出后，具有如图（a）所示的速度且大小 ，若球与棒的接触时间为0.025 s,求：12sm34v（1）棒对该球平均作用力的大小；（2）垒球手至少对球作了多少功？分析第（1）问可对垒球运用动量定理，既可根据动量定理的矢量式，用几何法求解，如图（b）所示；也可建立如图（a）所示的坐标系，用动量定量的分量式求解，对打击、碰撞一类作用时间很短的过程来说，物体的重力一般可略去不计.题 3-11
12、图解（1）解 1由分析知，有 12mvtF其矢量关系如图（b）所示，则 )608cos()()()()( 212212 vmtF解之得 N9.17解 2由图（a）有 xxxmvtF120yy将 代代代 yxxx Fvvv 6sin60cos, 221N9.17yxF(2) 由质点动能定理，得 J.4211mvW3 -12 如图所示,在水平地面上,有一横截面S0.20 m2的直角弯管,管中有流速为v3.0 m -1的水通过,求弯管所受力的大小和方向题 3-12 图分析 对于弯曲部分AB 段内的水而言,由于流速一定,在时间t内,从其一端流入的水量等于从另一端流出的水量因此,对这部分水来说,在时间
13、t内动量的增量也就是流入与流出水的动量的增量pm(v B -vA )；此动量的变化是管壁在t时间内对其作用冲量I的结果依据动量定理可求得该段水受到管壁的冲力F；由牛顿第三定律,自然就得到水流对管壁的作用力F- F解 在t时间内,从管一端流入(或流出) 水的质量为m St,弯曲部分AB 的水的动量的增量则为pm (vB -vA ) St (vB -vA )依据动量定理I p,得到管壁对这部分水的平均冲力 ttIF从而可得水流对管壁作用力的大小为 N105.23vS作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧3 -13 A 、 B两船在平静的湖面上平行逆向航行,当两船擦肩相遇时,两船各自向对方平稳地传递
14、50 kg的重物,结果是A船停了下来,而B船以3.4 ms-1的速度继续向前驶去A 、 B两船原有质量分别为0.510 3kg和1.0 10 3 kg,求在传递重物前两船的速度(忽略水对船的阻力)分析 由于两船横向传递的速度可略去不计,则对搬出重物后的船A与从船B搬入的重物所组成的系统来讲,在水平方向上无外力作用,因此,它们相互作用的过程中应满足动量守恒；同样,对搬出重物后的船B与从船 A搬入的重物所组成的系统亦是这样由此,分别列出系统、的动量守恒方程即可解出结果解 设A、B两船原有的速度分别以v A、v B表示,传递重物后船的速度分别以v A 、v B 表示,被搬运重物的质量以m表示分别对上
15、述系统 、应用动量守恒定律,则有(1)Amm(2)BAB由题意知v A 0, vB 3.4 ms -1代入数据后,可解得12s40.ABBAv12sm6.3mBABvv也可以选择不同的系统,例如,把A 、B两船(包括传递的物体在内) 视为系统,同样能满足动量守恒,也可列出相对应的方程求解3 -14 质量为 m的人手里拿着一个质量为m的物体,此人用与水平面成角的速率v 0向前跳去当他达到最高点时,他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出问：由于人抛出物体,他跳跃的距离增加了多少？ (假设人可视为质点)分析 人跳跃距离的增加是由于他在最高点处向后抛出物体所致在抛物的过程中,人与物之间相互作用力的冲
16、量,使他们各自的动量发生了变化如果把人与物视为一系统,因水平方向不受外力作用,故外力的冲量为零,系统在该方向上动量守恒但在应用动量守恒定律时,必须注意系统是相对地面(惯性系 )而言的,因此,在处理人与物的速度时 ,要根据相对运动的关系来确定至于,人因跳跃而增加的距离,可根据人在水平方向速率的增量v来计算解 取如图所示坐标把人与物视为一系统,当人跳跃到最高点处,在向左抛物的过程中,满足动量守恒,故有 ummvvcos0式中v为人抛物后相对地面的水平速率,v-u为抛出物对地面的水平速率得 0人的水平速率的增量为 umcos0v而人从最高点到地面的运动时间为 gtin0所以,人跳跃后增加的距离 gm
17、txsin0v3 -15 一物体在介质中按规律 xct 3作直线运动,c为一常量设介质对物体的阻力正比于速度的平方试求物体由x 00 运动到xl 时,阻力所作的功(已知阻力系数为k)分析 本题是一维变力作功问题,仍需按功的定义式 来求解关键在于寻找力xFdW函数FF (x)根据运动学关系,可将已知力与速度的函数关系F(v) kv 2变换到F( t),进一步按xct 3的关系把F(t)转换为F(x),这样,就可按功的定义式求解解 由运动学方程xct 3 ,可得物体的速度 23dctxv按题意及上述关系,物体所受阻力的大小为 3/42429xktkF则阻力的功为 xFWd 3/723/4020 d
18、d18cos lkccll 3 -16 一人从 10.0 m深的井中提水,起始桶中装有10.0 kg的水,由于水桶漏水,每升高1.00 m要漏去0.20 kg的水水桶被匀速地从井中提到井口,求所作的功题 3-16 图分析 由于水桶在匀速上提过程中,拉力必须始终与水桶重力相平衡水桶重力因漏水而随提升高度而变,因此,拉力作功实为变力作功由于拉力作功也就是克服重力的功,因此,只要能写出重力随高度变化的关系,拉力作功即可求出解 水桶在匀速上提过程中,a0,拉力与水桶重力平衡,有FP0在图示所取坐标下,水桶重力随位置的变化关系为Pmg -gy其中0.2 kg/m,人对水桶的拉力的功为 J82dd1010
19、 yagmWy3 -17 一质量为0.20 kg的球,系在长为2.00 m的细绳上,细绳的另一端系在天花板上把小球移至使细绳与竖直方向成30角的位置,然后从静止放开求：(1) 在绳索从30角到0 角的过程中,重力和张力所作的功；(2) 物体在最低位置时的动能和速率；(3) 在最低位置时的张力题 3-17 图分析 (1) 在计算功时,首先应明确是什么力作功小球摆动过程中同时受到重力和张力作用重力是保守力,根据小球下落的距离,它的功很易求得；至于张力虽是一变力,但是,它的方向始终与小球运动方向垂直,根据功的矢量式 ,即能得出结果来(2) 在计算sdFW功的基础上,由动能定理直接能求出动能和速率(3
20、) 在求最低点的张力时,可根据小球作圆周运动时的向心加速度由重力和张力提供来确定解 (1) 如图所示,重力对小球所作的功只与始末位置有关 ,即J53.0cos1mglhP在小球摆动过程中,张力F 的方向总是与运动方向垂直 ,所以,张力的功FdTW(2) 根据动能定理,小球摆动过程中,其动能的增量是由于重力对它作功的结果初始时动能为零,因而,在最低位置时的动能为 J53.0kPE小球在最低位置的速率为 1PKsm.22Wmv(3) 当小球在最低位置时,由牛顿定律可得 lF2TvN49.2Tlmg3 -18 一质量为 m的质点,系在细绳的一端,绳的另一端固定在平面上此质点在粗糙水平面上作半径为r的
21、圆周运动设质点的最初速率是v 0当它运动一周时,其速率为v 0 /2求：(1) 摩擦力作的功；(2) 动摩擦因数；(3) 在静止以前质点运动了多少圈？分析 质点在运动过程中速度的减缓,意味着其动能减少；而减少的这部分动能则消耗在运动中克服摩擦力作功上由此,可依据动能定理列式解之解 (1) 摩擦力作功为(1)20202k0831vvmEW(2) 由于摩擦力是一恒力,且F mg,故有(2)mgrsFW1cof由式(1)、(2)可得动摩擦因数为 rg16320v(3) 由于一周中损失的动能为 ,则在静止前可运行的圈数为2083m圈34k0WEn3 -19 如图(a)所示,A和B两块板用一轻弹簧连接起
22、来,它们的质量分别为m 1和m 2问在A板上需加多大的压力,方可在力停止作用后,恰能使A在跳起来时B稍被提起(设弹簧的劲度系数为k)题 3-19 图分析 运用守恒定律求解是解决力学问题最简捷的途径之一因为它与过程的细节无关,也常常与特定力的细节无关“守恒”则意味着在条件满足的前提下,过程中任何时刻守恒量不变在具体应用时,必须恰当地选取研究对象(系统), 注意守恒定律成立的条件该题可用机械能守恒定律来解决选取两块板、弹簧和地球为系统,该系统在外界所施压力撤除后(取作状态1),直到B板刚被提起( 取作状态 2),在这一过程中,系统不受外力作用,而内力中又只有保守力(重力和弹力)作功,支持力不作功,因此,满足机械能守恒的条件只需取状态 1 和状态2,运用机械能守恒定律列出方程,并结合这两状态下受力的平衡,便可将所需压力求出解 选取如图(b)所示坐标,取原点O 处为重力势能和弹性势能零点作各状态下物体的受力
