1、第零章 数学准备一 泰勒展开式1 二项式的展开m23-1m-2fx1x+x！ ！2 一般函数的展开230000ffff-x-1!！ ！特别: 时 , 0x23ffff1!x！ ！3 二元函数的展开(x=y=0 处)00ffyf+yx， 222000fffxy+ ！评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线性问题的转化。在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到三阶以内。二 常微分方程1 一阶非齐次常微分方程：xy+P=Q通解： PxdPxdece注： 积分时不带任意常数， 可为常数。,xd xQ2 一个特殊二阶微分方程2yAB通解： 02=Kcosx+注： 为由初始条件决定的常量0,
2、3 二阶非齐次常微分方程xyabf通解： ； 为对应齐次方程的特解， 为非齐次方程的一个特解。*y*y非齐次方程的一个特解（1） 对应齐次方程 0yab设 得特征方程 。解出特解为 ， 。xye2ab012*若 则 ， ；12R1xye2xxxyce*若 则 ， ； 11212(c)*若 则 ， ；12ix1ecosxesinx2ye(cosn)（2） 若 为二次多项式00xfabc* 时，可设b*2yAxBC* 时，可设 3D注：以上 , ,A,B,C,D 均为常数，由初始条件决定。1c2三 矢量1 矢量的标积xyzAB=cos=AB+注：常用于一矢量在一方向上的投影2 矢量的矢积nxyzi
3、jk=-()sie=ABxyzzxzxyx(AB)i()j(B)k四 矩阵此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形。12133aa0xx令12133aD*D=0 时，方程组有非零解*D 0 时，方程只有零解第一章 牛顿力学的基本定律万丈高楼从地起。整个力学大厦的地基将在此筑起，三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴与幽香。此时矢量言语将尽显英雄本色，微积分更是风光占尽。【要点分析与总结】1 质点运动的描述（1） 直线坐标系 rxiyjzkaij（2） 平面极坐标系 r2rea()(r)e（3） 自然坐标系t2tneva（4） 柱坐标系2tnzaee析 上述矢量顺序分别为： rktnbzi,j
4、;e,;,e;,e.矢量微分：rkrrkkdetede0t（其它各矢量微分与此方法相同）微分时一定要注意矢量顺序2 牛顿定律惯性定律的矢量表述2drmaFt（1） 直角坐标系中 xyzF（2） 极挫标系中 2rkFm(r)0（3） 自然坐标系中2nbFm03 质点运动的基本定理几个量的定义：动量 P角动量 LrmrP冲量 21I力矩 MrF冲量矩 21t2HId动能 Tm（1） 动量定理 dPFt方向上动量守恒：e e0t:（2） 动量矩定理 dLMt（3） 动能定理 TFmtt:4 机戒能守恒定理T+V=E析势函数 V: VdxdyzFdr:F(ijk)稳定平衡下的势函数： ;0xdV02x
5、d此时势能处极小处 m且能量满足MmE0V质 点 再 平 衡 点 附 近 振 动质 点 逃 逸 -质 点 逃 逸 +【解题演示】1 细杆 OL 绕固定点 O 以匀角速率 转动，并推动小环 C 在固定的钢丝 AB 上滑动，O点与钢丝间的垂直距离为 d，如图所示。求小环的速度 和加速度 。a解：依几何关系知： xtan又因为：22xiiicos故：22(d)axii2 椭圆规尺 AB 的两端点分别沿相互垂直的直线 O 与 Oy 滑动，已知 B 端以匀速 c 运动，如图所示。求椭圆规尺上 M 点的轨道方程、速度及加速度的大小 与 。解：依题知： By(bd)cos且： Cin得： *(bd)si 又
6、因 M 点位置： Mxn,ydcos故有： i|jbinj代入（*）式得： Mcotjd即： 22tb2M2cbcaii(d)sn(d)sn3 一半径为 r 的圆盘以匀角速率 沿一直线滚动，如图所示。求圆盘边上任意一点M 的速度 和加速度 （以 O、M 点的连线与铅直线间的夹角 表示） ；并证明加a速度矢量总是沿圆盘半径指向圆心。解：设 O 点坐标为（ ） 。则 M 点坐标为0Rtx,（ ）0Rtxsin,Rcos故： Myj()i222asicsj(sincosj)4 一半径为 r 的圆盘以匀角深度 在一半经为 R 的固定圆形槽内作无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上 M 点的深度 和加速度
7、（用参量 ， 表示） 。解：依题知： rrR且 O 点处： krecos()esin()e则： MRrrr()ecos()e(R)sin()eMr rr()in()()co()r(Rr)cos()e(Rr)sin()ese1se r rr2 rar()cos()esin()e()sin()er1cos()erR()i()5 已知某质点的运动规律为：y=bt, ,a 和 b 都是非零常数。 （1）写处质点轨道at的极坐标方程；（2）用极坐标表示出质点的速度 和加速度 。a解： b1yrsinta得： rcer2sicosb2reaeaninrb1ti 6 已知一质点运动时，经向和横向的速度分量分
8、别是 r 和 ，这里 和 是常数。求出质点的加速度矢量 . a解：由题知： re且： r,故： r raeer()2r(r)eer7 质点作平面运动，其速率保持为常量，证明质点的速度矢量与加速度矢量正交。证明：设速度为 。则：22nndaeet由于 与 为正交矢量。即得证。 n8 一质点沿心脏线 以恒定速率 v 运动，求出质点的速度 和加速度 .r(1cos)a解：设 r reie1cosre 且有： 22sincs解得： co得： rsinsi,rcos2则： r(ec)r r11aossinesinecose22r3(eta)49 已知质点按 运动，分别求出质点加速度矢量的切向和法向分量，
9、经t,向分量和横向分量。解：（1）极坐标系下：由 得：tre,tre,且设： r则： 2rree得： r22errnr22eerrr ra()2ttr()e2e则：径向与横向的分量分别为 ， 。2t(r)te10 质点以恒定速率 沿一旋轮线运动，旋轮线方程为 。CxR(sin),yR(1cos)证明质点在 方向做等加速运动。y解：依题意： 2222xR(1cos)i得： cos则： 2ya(sin)2231Cco()4Rss222ini()coscs2C4R11 一质点沿着抛物线 运动，如图所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的2ypx-2k 倍。若此质点从正焦弦的一端点 以速率 出发，求质
10、点到达正焦弦的另一(,p)2u端点 时的速率 。p(,)2解：建立自然坐标系有：2ndaet且：2ddssdk2ktt tt2积分得： （代入 ）kue:0u又因为： 在 点处斜率：2ypx(,)px21px2dyk1在 点处斜率：(,)px22pxdyk 1故： 21arctnrtak2:即： kue12 竖直上抛一小球，设空气阻力恒定。证明小球上升的时间比下落返回至原地点的时间短。解：设空气阻力为 ，且小球初速为 ，质量为没，则有：f上升时间： 1tgm上升高度：2hf()下落时间： 20221tafg得：212ftm1f()即得证。13 质量为 的质点自离地面 高度处下落。若空气阻力与质
11、点速度的平方成正比，比例h常数为 C，试讨论此质点下落过程中的运动状况。解：设加速度为 ，速率为 ，则：a2agCm得： 积分并代入 时 有：2dtCgmt0gC2tm(1)eg2t4a0()CgCgCt 2t2t3mmm8e(1e)(1e)0知：质点一直在做向下的变加速运动，且加速度越来越小。14 将一质量为 的质点以初速度 与水平线成 角抛出，此质点受到的空气阻力是其0速度的 倍，这里 是常数。试求当质点的速度与水平线之间的夹角又为 角度时所需mk 时间。解：依牛顿第二运动定律有： ,xxyymkmgk积分并代入初始条件： 时：0t00sincos解得： 0cos,()kt ktxyee当再次夹角为 时：tanx可解出： 02si1ln()ktg15 一质量为 的质点用一长度为 的不可伸长的轻绳悬挂于一小环上，小环穿于一固定ml的水平钢丝上，其质量为 。开始时，小环静止质点下垂，处于平衡态。今若沿钢丝的32水平方向给质点以大小为 的初速度，证明若轻绳与铅垂线之间的夹角是 时，小环gl 在钢丝上仍不滑动，则钢丝与小环间的摩擦系数至少是 ，此时绳中的张力为13。3cosTFmg解：依 22011cosgl得： r则： 2cs3csTFm
