1、2.对自然数证明乘法单调性：设 a，b，cN 则（1）若 ab，则 acbc（2）若 ab，则 acbc（3）若 ab，则 acbc证明：（1）设命题能成立的所有 c 组成的集合 M.a1=b11M 假设 cM 即则(ac) = (bc) ac + 1 = bc + 1重复以上过程a次，可得到 ac + a = bc + a = bc + b即a( c+1) = b(c+1)cM 由归纳公理知M = N.所以命题对任意自然数c成立(2)若a a(a,bZ).则有 kZ。使 b=a+k。若 k=1，则 b=a+1=a；若 k1,则 b=a+ka+1,即 ba,因此 bki，由 cos（2m）+i
2、sin（2m）=1，由m 与 n 互质。可知 cos（2m/n）+isin（2m/n）1，即 w1.所以 wk=wi只能 k=i，这与假设矛盾。（2）由 wn=1，w n-1=0， （w-1） （1+w+w 2+wn-1）=0.因为 w1.所以（1+w+w 2+wn-1）=0.25.设，求 ，求 和 arg z的最大值和最小值。13izz解：(1)设复数 z为 x+yi设 C= 1)3(ii即 C可以看作是坐标点 y,x到 A ,的距离小于等于 1的轨迹。所以 C其实就是以 1,3为圆点，1 为半径的实心圆。)1(322yx而 z的值即是原点 O0,到实心圆上的坐标 y,x的距离。过圆心和原点
3、的直线与圆相交的两个点分别是 z取得最大值和最小值的对应点。max( )= +1=2+1=3zOAmin( ) = -1=1 (2) arg z取得最大值和最小值时即是过原点与实心圆 A相切的直线的切点对应的 arg zmax（arg z）= 4 /3min（arg z）= 26.设复数 z满足 z z1+z+ z1=3，求 z所对应的点 z的轨迹。 （z 与 z1共轭）解：设 z=a+biz1=a-bi由题意得，(a+bi)*(a-bi)+(a+bi)+(a-bi)=3即 a2+b2+2a=3解得 b= 或3-32a-即 或)1a2（ )1（所以根据复数图像 x轴为 a,y轴为 b,得图像：
4、27.设 x0，x 应用复数证明：,R。xntgx21cos.2cossinini 证明：令 ixasn = =nnx)(conxixsco另外，sin)1(cos)sin)1(cos si)(ci()(csi)si)s)co1inoin(co()1(cs. )sin.2sin(icos2cosin1311 xxx xnxxinaa xxxxkknnnk 事实上，只要考查 sin)1(cos)sin)1(sin)cos)1(cos xxxxn 的实部和虚部即可，整理可得，实部= )cos(csxxn虚部= nxi)1i(si所以： xntgxnxnxnxnxnx21 ()21(cos21cossi21i (1)cos(cosii s.2sii 提 取 公 因 式 ）数 的 转 换 ）根 据 和 差 化 积 和 三 角 函原 式
