1、混沌簡介,什麼是混沌(What is CHAOS ?),1.差之毫厘，失之千里、牽一髮而動全身。2.對初始條件的敏感性。3.蝴蝶效應(Butterfly Effect)4.不規則之中仍存在秩序5.混沌理論6.混沌理論的重要性,1.差之毫厘，失之千里、牽一髮而動全身。一個小小初始條件的差異可以嚴重影響系統長期的大變化。（Just a small change in the initial conditions can drastically change the long-term behavior of a system.）http:/www.wretch.cc/video/dick86672
2、515&func=single&vid=4323835&o=time_d&p=35,2.對初始條件的敏感性。對原本西方的科學基本理念來說，如果你正在計算檯面上的一顆撞球，就不用去理會室外一片樹葉的掉落。很輕微的影響可以被忽略，事物進行總會殊途同歸，任意的小干擾，並不致於膨脹到任意大的後果。但是混沌現象所指的是一點點的初始條件差異，會造成事件往後行為的大大不同。這就是對於初始條件的敏感性。,3.蝴蝶效應(Butterfly Effect)(一隻在巴西的蝴蝶鼓翅飛翔，會在德州誘發一場龍捲風嗎？)這是描述混沌效應最有名的一個名詞。六零年代麻省理工學院的氣象學家兼數學家勞倫茲(Edward Loren
3、z)教授，選擇了十幾條顯示出溫度、壓力、風速等氣象數值的方程式，在他自己的電腦裡創造了袖珍玩具般的天氣。有一天，發現僅是千分之一以下的誤差，對電腦裡的天氣來說，剛開始仍是跡近相同的兩個個案，但經過數個月後，逐漸差異越來越大，終至面目全非的地步。,勞倫茲說：人們常覺得氣象的長期預報能辦得通的其中一個理由，是有些真實的物理現象我們可以預測得很好，像是日蝕、月蝕和海水潮汐，一般人看到我們既然能夠在數月以前把潮汐預報得蠻好，會說為什麼天氣的誤報卻屢見不鮮，僅僅是另一套流體系統，規則的複雜也大同小異，但我開始理解，任何不能遵守週期性規矩的系統皆難以預測。,勞倫茲吸子 (Lorenz attractor)
4、,1961年麻省理工學院的氣象學家婁倫茲用電腦做一些相關於氣流的計算，發現氣象幾乎是無法預測的，他把氣流的複雜方程式簡化成三條聯立的一次微分方程式,The Lorenz Attractor,http:/ attractor)。它顯示數據表面一團混亂下，仍有精緻且規律的結構。此圖中，三項變數的值可對應到三度空間的某定點，當系統演進，該點會隨之平滑地移動。若系統永遠不重覆自己，軌跡必須永遠不相互碰觸，且無止休的打圈子。雖然不重覆，但是軌跡會一直像是繞著這兩個圈圈一樣，就像是行為被一個圈圈吸過去。所以我們稱勞倫茲吸子。,4.不規則之中仍存在秩序混沌系統看似雜亂，但其之中仍存在規律性以及秩序。例如地球
5、每天的天氣，存在於一個變化無窮的不可預報系統中一般，而氣候卻又呈現年復一年相當程度的規律性。數值只有在某些範圍內起落，但絕不超過固定的範圍。如果我們能掌握控制混沌系統的那隻手，我們是可以對短期的行為做出有效的預測的。,5.混沌理論混沌在學術上是指雜亂無章的現象，一個確定的系統因隨機性產生複雜不規則的狀態，研究此一現象的方法就叫混沌理論。混沌有幾種特質：非線性的、複雜型態的、耗散結構的、循環對稱、對初始狀態具高敏感度。,前面我們提到勞倫茲對於天氣現象的發現。根據勞倫茲的方程式，所有解都是不穩定且幾乎都是無週期性的；而任何一個無週期性的系統，都應該是不可預測的（unpredictability）。
6、系統不會回到原來的狀態，所以也不會重複表現與過去一樣的狀態。雖然氣候可能顯現出大致類似的週期性，這些現象又決定了天氣，它不會回到完全相同的情況，但可能有有限度的類似。,6.混沌理論的重要性混沌理論不只是一門數學的分支，它還可以擴展影響應用到許多層面，像是氣象系統、股票市場、生物數量的變化、大自然的圖像結構等等。渾沌理論彰顯了細微與隨機事件的重要性，並且對於現象之預測持表留態度，也讓我們了解非線性的系統僅能有限掌握。,混沌數學上的定義,數學界目前還尚未有被完全接受的混沌定義。但是眾多定義之中，最廣泛使用的是Devaney在1989年所給的定義。,Let X be a metric space.
7、A continuous map f: XX is said to be chaotic on X if(1) f is topologically transitive.(遍歷性) transitive : for all non-empty open subsets U and V of X, there exists a natural number n such that f(U)V is nonempty.(對所有在X之中非空的開區間U和X，存在一個正整數n使得f(U)與V的交集不是空集合。),Devancys Definition of Chaos,(2) The periodic
8、 points of f are dense in X. The point x in X is a periodic point of period n if f(x)=x. the least positive n for which f(x)=x is called the prime period of x. If for any two point a and b in X, ab, ab, and there exists a periodic point p that apb, then we called the periodic points of f are dense i
9、n X.(如果在X之中的x點，存在一個自然數經過f函數作用n次之後等於x自己，則我們稱x為週期點。對於x的最小的n正整數，我們稱n為x的最小週期。如果對於任意兩個在X之中的數a與b, ab, ab，必存在週期點p而且apb，則我們稱f的所有週期點在X之中是稠密的。),(3) f has sensitive dependence on initial conditions. if there is a positive real number (a sensitivity constant) such that for every point x in X and every neighborh
10、ood N of x there exists a point y in N and a nonnegative integer n such that the nth iterates f(x) and f(y) of x and y respectively, are more than distance apart.(如果存在一個正實數使得每一個在X之中的點x與x的neighborhood N，存在一個在N的點y以及一個非負的正整數n使得x與y點經過f函數n次的轉換後，f(x) and f(y)的距離大於。),關於第一個定義，淺顯地描述，就是指，任何兩個屬於X的小角落，其中一個角落都可經
11、過f的某個n次的變換後，到達另一個小角落，即便本來兩個小角落可能有明顯的差距。以天氣系統來舉例，新竹的冬天，可以有暖暖的陽光，讓氣溫高到攝氏25度以上，但是經過幾天天氣的變換，天氣可以變成攝氏10度以下刮強風的狀態。但是請注意：這個定義並非代表任意取兩個X之內的點a與b，其中一個點能經過有限次的變換後等於另一個點。但是一定有與a極為靠近的點能經過有限次的轉換後等於一個與b極為靠近的點。,關於第二個定義，首先要了解dense是什麼。感覺上來說，就是periodic points在X裡是密密麻麻的。例如，有理數Q dense in 實數R。第三個定義也就是對初始條件的敏感依賴性。對於兩個任意靠近的
12、點，不會經過無限次地轉換後仍是極為靠近。一個極微小的初始條件可能會在不斷的疊代中造成放大。,關於Devaneys Definition of Chaos，已有很多人針對此發表論文。其中J. Banks 等五人在1992年發表的論文中已經證明以下的理論：If F:XX is transitive and has dense periodic points then F has sensitive dependence on initial conditions.也就是，Devaneys Definition之中的第一點與第二點可以推得第三點。我們可以簡化Devaneys Definition o
13、f chaos為第一點與第二點即可。,混沌的重要法則：疊代(Iterative),疊代是指將前次產生的值再重新代入本身的一種行為。從數學語言來看，在日常生活中，疊代的例子也是俯拾即是，例如陰晴變化的天氣系統、生物族群的數量變化等等。而在某些條件下的疊代往往會造成混沌。,疊代方程式其中一個驚人的性質是對於初始條件的敏感。往往初始值僅有極小的差異，但在經過幾次的疊代之後，很快地兩個數列互相遠離，彷彿找不出任何關係。在混沌科學發展以前，科學家一直假設起始數據的小誤差也只會對往後的結果產生小影響。但是當我們使用疊代法時，小的誤差會很快地被放大。,我們來看看 這個式子。如果我們把當中的 x 代入 0至1
14、之間任何一個數字，然後把所得的結果再次代入式子中的 x 計算，不斷重複，便會得出一大堆看似雜亂無章的數字 (計算以 x = 0.6開始)。下圖顯示了結果，當中橫軸代表計算的次數，縱軸代表數值。這堆數字看起來好像毫無規則，無法預測，它既不是週期性的，亦不會趨向一個特定的數值， 但事實上它是根據一條數學式子計算出來的，絕對不是一些隨機的數字。,下圖中咖啡色和綠色的線分別代表起始數值是 0.6 和 0.6001 的計算結果。在開始的時候，兩組數字十分接近，但到了十幾次疊代之後，分別就越來越大，到了後面更是南轅北轍，看似是毫無聯繫。,用EXCELL計算,EXCELL程式,混沌系統兩個十分重要的特性,此
15、例子說明了混沌系統兩個十分重要的特性(1)系統的變化看似是毫無規則，但實際上是有跡可尋的。(2)系統的演化對初始條件的選取非常敏感，初始條件極微小的分別 (就例如 0.6 和 0.6001 僅僅相差千分之一)，在一段時間的演化後也可帶來南轅北轍的結果。,我們都知道，要預測一個系統的未來，除了要知道它背後的法則外，還要知道初始條件。可是，當我們在量度一個系統的初始狀態時總難免會有一些誤差。在混沌系統中，不管這些誤差開始時如何細小，在經過不斷地疊代後，它也會不斷擴大，使系統的真實狀況和我們的預測相距極遠。混沌系統這種獨有的特性，使我們幾乎無法預測它的未來。,對於混沌系統，它是有可以依循的方程式的，
16、所以混沌是決定性的。在混沌科學未發展之前，科學家視決定性與可預測性是相等的，但是混沌打破了這個觀念：混沌系統是決定性但是不可預測的。 決定性混沌(deterministic chaos )The Nature of Deterministic Chaos,QUESTIONS,QUESTIONS worth to think about: 1. Irregular behavior also occurs in stochastic dynamics. Is there a difference between irregular behavior caused by deterministic
17、 chaos or caused by stochastic dynamics? Imagine, you get some measured data from a dynamical system. Can you distinguish between both types of randomness?2. Simulating a dynamical system, like the pendulum, on a computer is possible only approximatively. How can we be sure that the chaos produced b
18、y the computer is not an artefact which is absent in the mathematical model?,現今我們對未來所做預測的計算，多半是使用電腦來進行運算。而電腦能運算的小數點以下的位數是有限的。假設電腦能算到小數點以下二十位，由於是有限的，每一次在小數點下的二十位的疊代運算總是會產生一些四捨五入的誤差。剛開始這一點點差異我們認為尚可不管，但是疊代運算中，對於第二十位以下的初始不確定性會開始累積，每經過一次疊代運算就又將不確定性再擴大一些。經過了數十次、數百次的疊代運算後，不確定性會變得非常嚴重。雖然這個疊代過程本身是決定性的，但是由於四捨五入電腦精確度的限制，使所有的預測變得毫無意義。,渾沌物理學家克拉區菲德(James P. Crutchfield)說：用有限項精確度進行量測造成的結果是，量測怎麼做都是不夠好：渾沌會在你面前把它們炸得粉碎。,EXERCISE,閱讀“混沌”一書混沌：不測風雲的背後CHAOS: Making a New Science作者：葛雷易克/原著譯者：林和出版社：天下文化,
