1、1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y C 或 0 所表示的 平面区域 是： 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y C 所表示的 平面区域 上下两部分； 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y C 所表示的 平面区域 上下两部分 . 86. 圆的 四种 方程 （ 1） 圆的标准方程 2 2 2( ) ( )x a y b r . （ 2） 圆的一般方程 22 0x y D x E y F ( 224D E F 0). （ 3） 圆的 参数方程 cossinx a ry b r . （
2、4）圆 的 直径式 方程 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y y y (圆的直径的端点是11( , )Ax y 、 22( , )Bx y ). 87. 圆系方程 (1)过点 11( , )Ax y , 22( , )Bx y 的圆系方程是 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y y y x x y y y y x x 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y y y a x b y c , 其中 0ax by c 是直线AB 的方程
3、 ,是待定的系数 (2)过直线 l : 0Ax By C 与圆 C : 22 0x y D x E y F 的交点的圆系方程是 22 ( ) 0x y D x E y F A x B y C ,是待定的系数 (3) 过圆 1C : 22 1 1 1 0x y D x E y F 与圆 2C : 22 2 2 2 0x y D x E y F 的交点的圆系方程是 2 2 2 21 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y F ,是待定的系数 88.点与圆的位置关系 点 00( , )Px y 与圆 222 )()( rbyax 的位置关系有三种 若 2200
4、( ) ( )d a x b y ，则 dr点 P 在圆外 ;dr点 P 在圆上 ;dr点 P 在圆内 . 89.直线与圆的位置关系 直线 0 CByAx 与圆 222 )()( rbyax 的位置关系有三种 : 0 相离rd ; 0 相切rd ; 0 相交rd . 其中22 BACBbAad . 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1， O2，半径分别为 r1， r2， dOO 21 条公切线外离 421 rrd ; 条公切线外切 321 rrd ; 条公切线相交 22121 rrdrr ; 条公切线内切 121 rrd ; 无公切线内含 210 rrd . 91.圆的切线方程
5、 (1)已知圆 22 0x y D x E y F 若已知切点 00( , )xy 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000 ( ) ( ) 022D x x E y yx x y y F . 当 00( , )xy 圆外时 , 0000 ( ) ( ) 022D x x E y yx x y y F 表示 过两个切点的切点弦方程 过圆外一点的切线方 程可设为 00()y y k x x ，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b，再利用相切条件求 b，必有两条切线 (2)已知圆 2 2 2x y r 过圆上的 0
6、0 0( , )P x y 点的切线方程为 200x x y y r; 斜率为 k 的圆的切线方程为 21y kx r k . 92.椭圆 22 1( 0 )xy abab 的参数方程是 cossinxayb . 93.椭圆 22 1( 0 )xy abab 焦半径公式 )( 21 caxePF ， )( 22 xcaePF . 94 椭圆的 的内外部 （ 1）点 00( , )Px y 在 椭圆 22 1( 0 )xy abab 的内部 22001xyab . （ 2）点 00( , )Px y 在 椭圆 22 1( 0 )xy abab 的外部 22001xyab . 95. 椭圆 的 切
7、线 方程 (1)椭圆 22 1( 0 )xy abab 上一点 00( , )Px y 处的切线方程是 00221x x y yab. （ 2）过 椭圆 22 1( 0 )xy abab 外一点 00( , )Px y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y yab. （ 3 ）椭圆 22 1( 0 )xy abab 与直线 0Ax By C 相切的条件是2 2 2 2 2A a B b c. 96.双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 的 焦半径公式 21 | ( ) |aPF e x c， 22 | ( ) |aPF e xc. 97.双曲 线 的内外部 (1)点
8、 00( , )Px y 在双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 的内部 2200221xyab . (2)点 00( , )Px y 在双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 的外部 2200221xyab . 98.双曲 线 的方程与 渐近线方程的关系 (1）若 双曲线方程为 12222 byax 渐近线方程： 220xyab xaby . (2)若 渐近线方程为 xaby 0byax 双曲线可设为 2222 byax . (3)若 双曲线与 12222 byax 有公共渐近线， 可设为 2222 byax （ 0 ，焦点在 x轴上， 0 ，焦点在 y 轴上）
9、 . 99. 双曲线的 切线方程 (1)双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 上一点 00( , )Px y 处的切线方程是 00221x x y yab. （ 2）过双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 外一点 00( , )Px y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y yab. （ 3 ）双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab 与直线 0Ax By C 相切的条件是2 2 2 2 2A a B b c. 100. 抛物线 pxy 22 的 焦半径公式 抛物线 2 2 ( 0)y px p焦半径0 2pCF x. 过焦点弦长 pxx
10、pxpxCD 2121 22. 101.抛物线 pxy 22 上的动点可设为 P ),2(2 ypy或 或)2,2( 2 ptptP P( , )xy ，其中 2 2y px . 102.二次函数 222 4()24b a c by a x b x c a x aa ( 0)a 的图象是 抛物线 ： （ 1）顶点坐标为 24( , )24b ac baa ；（ 2）焦点的坐标为 241( , )24b ac baa ；（ 3）准线方程是2414ac by a . 103.抛物线的内外部 (1)点 00( , )Px y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p的内部 2 2 ( 0)y px p
11、 . 点 00( , )Px y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p的 外部 2 2 ( 0)y px p . (2)点 00( , )Px y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p 的内部 2 2 ( 0 )y px p . 点 00( , )Px y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p 的外部 2 2 ( 0 )y px p . (3)点 00( , )Px y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p的内 部 2 2 ( 0)x py p . 点 00( , )Px y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p的外部 2 2 ( 0)x py p . (4) 点 00( , )Px
12、 y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p的内部 2 2 ( 0)x py p . 点 00( , )Px y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p 的外部 2 2 ( 0 )x py p . 104. 抛物线的 切线方程 (1)抛物线 pxy 22 上一点 00( , )Px y 处的切线方程是 00()y y p x x. （ 2）过 抛物线 pxy 22 外一点 00( , )Px y 所引两条切线的切点弦方程是 00()y y p x x. （ 3） 抛物线 2 2 ( 0)y px p与直线 0Ax By C 相切的条件是 2 2pB AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1
13、)过曲线 1( , ) 0f x y , 2( , ) 0f x y 的交点的曲线系方程是 12( , ) ( , ) 0f x y f x y( 为参数 ). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 221xya k b k,其中 22max , k a b .当22min , k a b 时 ,表示椭圆 ; 当 2 2 2 2m in , m a x , a b k a b时 ,表示双曲线 . 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221 2 1 2( ) ( )A B x x y y 或 2 2 2 22 1 1 2 1 2( 1 ) ( ) | | 1 t a n | | 1 tA B k
14、x x x x y y c o （弦端点A ),(),( 2211 yxByx ，由方程 0)y,x(F bkxy消去 y 得到 02 cbxax ， 0 , 为直线AB 的倾斜角， k 为直线的斜率） . 107.圆锥曲线的两类对称问题 （ 1）曲线 ( , ) 0F x y 关于点 00( , )Px y 成中心对称的曲线是 00(2 - , 2 ) 0F x x y y. （ 2）曲线 ( , ) 0F x y 关于直线 0Ax By C 成轴对称的曲线是 2 2 2 22 ( ) 2 ( )( , ) 0A A x B y C B A x B y CF x yA B A B . 108
15、.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 22 0A x B x y C y D x E y F ，用 0xx代 2x ，用 0yy代 2y ，用 002xy xy 代 xy ，用 02xx 代 x ，用 02yy 代 y 即得方程 0 0 0 000 02 2 2x y x y x x y yA x x B C y y D E F ，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到 . 109 证明直线与直线的平行的思考途径 （ 1）转化为 判定共面二直线无交点； （ 2）转化为二直线同与第三条直线平行； （ 3）转化为线面平行； （ 4）转化为线面垂直； （ 5）转化为面面平行 . 110
16、证明直线与平面的平行的思考途径 （ 1）转化为直线与平面无公共点； （ 2）转化为线线平行； （ 3）转化为面面平行 . 111证明平面与平面平行的思考途径 （ 1）转化为判定二平面无公共点； （ 2）转化为线面平行； （ 3）转化为线面垂直 . 112证明直线与直线的垂直的思考途径 （ 1）转化为相交垂直； （ 2）转化为线面垂直； （ 3）转化为线与另一线的射影垂直； （ 4）转化 为线与形成射影的斜线垂直 . 113证明直线与平面垂直的思考途径 （ 1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （ 2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （ 3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （ 4）转
17、化为该直线垂直于另一个平行平面； （ 5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 114证明平面与平面的垂直的思考途径 （ 1）转化为判断二面角是直二面角； （ 2）转化为线面垂直 . 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律： a b=b a (2)加法结合律： (a b) c=a (b c) (3)数乘分配律： (a b)= a b 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量 . 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、 b(b 0 )， a
18、 b 存在实数使 a= b P A B、 、 三点共线 |AP AB AP tAB (1 )OP t OA tOB . |AB CD AB 、 CD 共线且 AB CD、 不共线 AB tCD 且 AB CD、 不共线 . 118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、 b 共面的 存在实数对 ,xy,使 p ax by 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 存在有序实数对 ,xy,使 MP xMA yMB， 或对空间任一定点 O，有序实数对 ,xy，使 O P O M x M A y M B . 119.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、 B、 C，满足 O P x O
19、A y O B z O C （ x y z k ），则当 1k 时，对于空间任一点 O ，总有 P、 A、 B、 C 四点 共面；当 1k时，若 O 平面 ABC，则 P、 A、 B、 C 四点 共面；若 O 平面 ABC，则 P、 A、 B、 C 四点不 共面 C AB、 、 、 D 四点共面 AD 与 AB 、 AC 共面 AD xAB yAC (1 )O D x y O A x O B yO C （ 平面 ABC） . 120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、 b、 c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y， z，使 p xa yb zc 推论 设 O、
20、A、 B、 C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x， y， z，使 O P xO A yO B zO C . 121.射影公式 已知向量 AB =a 和轴 l ， e 是 l 上与 l 同方向 的 单位向量 .作 A 点在 l 上的射影 A ，作 B点在 l 上的射影 B ，则 | | cosAB AB a， e =a e 122.向量的直角坐标运算 设 a 1 2 3( , , )a a a ， b 1 2 3( , , )b b b 则 (1)a b 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b ； (2)a b 1 1 2 2 3 3( , ,
21、 )a b a b a b ； (3) a 1 2 3( , , )a a a ( R)； (4)a b 1 1 2 2 3 3a b a b a b； 123.设 A 1 1 1( , , )x y z ， B 2 2 2( , , )x y z ，则 AB OB OA= 2 1 2 1 2 1( , , )x x y y z z . 124空间的 线线平行或垂直 设 1 1 1( , , )a x y zr ， 2 2 2( , , )b x y zr ，则 abrrP ( 0)a b br r r r 121212xxyyzz； abrr 0abrr 1 2 1 2 1 2 0x x y
22、 y z z . 125.夹角公式 设 a 1 2 3( , , )a a a ， b 1 2 3( , , )b b b ，则 cos a， b = 1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3a b a b a ba a a b b b . 推论 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( )a b a b a b a a a b b b ，此即三维柯西不等式 . 126. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD 中 , AC 与 BD 所成的角为 ,则 2 2 2 2| ( ) ( ) |c o s 2A B C D
23、B C D AA C B D . 127异面直线所成角 cos | cos , |ab rr = 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2| | | | x x y y z zababx y z x y z rrrr （其中 （ 0 90oo）为异面直线 ab, 所成角， ,abrr分别表示异面直线 ab, 的方向向量） 128.直线 AB 与平面所成角 sin | | |AB marc AB m (m 为平面 的法向量 ). 129.若 ABC 所在平面若 与过若 AB 的平面 成的角 ,另两边 AC ,BC 与平面 成的角分别是 1 、 2 ,AB、 为 ABC
24、的两个内角，则 2 2 2 2 212s i n s i n ( s i n s i n ) s i nAB . 特别地 ,当 90ACB时 ,有 2 2 212s in s in s in . 130.若 ABC 所 在平面若 与过若 AB 的平面 成的角 ,另两边 AC ,BC 与平面 成的角分别是 1 、 2 , AB、 为 ABO 的两个内角，则 2 2 2 2 212t a n t a n ( s i n s i n ) t a nAB . 特别地 ,当 90AOB时 ,有 2 2 212s in s in s in . 131.二面角 l 的平面角 cos | | |mnarc m
25、n 或 cos | | |mnarc mn （ m ， n 为平面 ， 的法向量） . 132.三余弦定理 设 AC 是内的任一条直线，且 BC AC，垂足为 C，又设 AO与 AB 所成的角为 1 ， AB 与AC 所成的角为 2 ， AO 与 AC 所成的角为 则 12cos cos cos . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 1 ,2 ,与二面角的棱所成的角是，则有 2 2 2 21 2 1 2s i n s i n s i n s i n 2 s i n s i n c o s ; 1 2 1 2| | 1 8 0 ( ) (当且
26、仅当 90 时等号成立 ). 134.空间两点间的距离公式 若 A 1 1 1( , , )x y z ， B 2 2 2( , , )x y z ，则 ,ABd =|AB AB AB 2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z z . 135.点 Q 到直线 l 距离 221 ( | | |) ( )|h a b a ba (点 P 在直线 l 上，直线 l 的方向向量 a=PA ，向量b=PQ ). 136.异面直线间的距离 |CD nd n ( 12,ll是两异面直线，其公垂向量为 n ， CD、 分别是 12,ll上任一点， d 为12,ll间的距离 ).
27、 137.点 B 到平面 的距离 |AB nd n （ n 为平面 的法向量， AB 是经过面 的一条斜线， A ） . 138.异面直线上两点距离 公式 2 2 2 2 c o sd h m n m n . 2 2 2 2 c o s ,d h m n m n E A A F . 2 2 2 2 c osd h m n m n （ E AA F ） . (两条异面直线 a、 b 所成的角为，其公垂线段 AA 的长度为 h.在直线 a、 b 上分别取两点 E、 F， AE m ,AF n ,EF d ). 139.三个向量和的平方公式 2 2 22( ) 2 2 2a b c a b c a
28、b b c c a 2 2 2 2 | | | | c o s , 2 | | | | c o s , 2 | | | | c o s ,a b c a b a b b c b c c a c a 140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 1 2 3l l l、 、 ，夹角分别为 1 2 3 、 、 ,则有 2 2 2 21 2 3l l l l 2 2 21 2 3c o s c o s c o s 1 2 2 21 2 3s i n s i n s i n 2 . （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例） . 141. 面积射 影 定理 cosSS . (平面
29、多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ，它们所在平面所成锐二面角的为 ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜 棱 柱 侧 和 V斜 棱 柱 ,它的直截面的周长和面积分别是 1c 和 1S ,则 1S cl斜 棱 柱 侧 . 1V Sl斜 棱 柱 . 143作截面的依据 三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行 . 144 棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方 比（ 对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的
30、比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 145.欧拉定理 (欧拉公式 ) 2V F E(简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). （ 1） E =各面 多边形 边数和的一半 .特别地 ,若每个面的边数为 n 的多边形，则面数 F与棱数 E 的关系： 12E nF ； （ 2）若每个顶点引出的棱数为 m ，则 顶点数 V 与棱数 E 的关系： 12E mV . 146.球的半径是 R，则 其体积 343VR , 其表面积 24SR 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体 : 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 . (2)球与
31、正方体的组合体 : 正方体的内切球的 直径是正方体的棱长 , 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 , 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 . (3) 球与正四面体的组合体 : 棱长为 a 的 正四面体的内切球的半径为 612a ,外接球的半径为 64a . 148柱体、锥体的体积 13V Sh柱 体 （ S 是柱体的底面 积、 h 是柱体的高） . 13V Sh锥 体 （ S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高） . 149.分类计数原理（ 加法原理） 12 nN m m m . 150.分步计数原理（ 乘法原理 ） 12 nN m m m . 151.排列数公式 mnA = )1(
32、)1( mnnn = ！ )( mnn .(n ， m N*，且 mn ) 注 :规定 1!0 . 152.排列恒等式 (1） 1( 1)mmnnA n m A ; （ 2）1mmnnnAAnm ; （ 3） 11mmnnA nA ; （ 4） 11n n nn n nnA A A; （ 5） 11m m mn n nA A mA . (6) 1 ! 2 2 ! 3 3 ! ! ( 1 ) ! 1n n n . 153.组合数公式 mnC = mnmmAA= mmnnn 21 )1()1( =！ ！ )( mnm n(n N*， mN ，且 mn ). 154.组合数的两个性质 (1) mnC
33、 = mnnC ; (2) mnC + 1mnC = mnC1 . 注 :规定 10nC . 155.组合恒等式 （ 1） 11mmnnnmCCm ; （ 2）1mmnnnCCnm ; （ 3） 11mmnnnCCm ; （ 4） nrrnC0= n2 ; （ 5） 1121 rnrnrrrrrr CCCCC . (6) nnnrnnnn CCCCC 2210 . (7) 1420531 2 nnnnnnn CCCCCC . (8) 1321 232 nnnnnn nnCCCC . (9) r nmrnrmnrmnrm CCCCCCC 0110 . (10) n nnnnnn CCCCC 22
34、222120 )()()()( . 156.排列数与组合数的关系 mmnnA m C！ . 157 单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列 . （ 1）“在位”与“不在位” 某（特）元必在某位有 11mnA 种；某（特）元不在某位有 11 mnmn AA （补集思想）111 1 mnn AA （着眼位置） 111 11 mnmmn AAA （着眼元素）种 . （ 2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） 定位紧贴： )( nmkk 个元在固定位的排列有 kmknkkAA 种 . 浮动紧贴： n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 kkkn kn AA 11 种 .注
35、：此类问题常用捆绑法； 插空：两组元素分别有 k、 h 个（ 1hk ），把它们合在一起来作全排列， k 个的一组互不能挨近的所有排列数有 khhhAA 1 种 . （ 3）两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当 1mn 时，无解；当 1mn 时，有 nmnnnm CAA 11 种排法 . （ 4）两组相同元素的排列：两组元 素有 m个和 n个，各组元素分别相同的排列数为 nnmC . 158分配问题 （ 1） (平均分组有归属问题 )将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人，各得 n 件，其分配方法数共有mnnn nn nmnn nmnnm
36、n nmnCCCCCN )!( )!(22 . （ 2） (平均分组无归属问题 )将相异的 m n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆，其分配方法数共有 mnnn nn nmnn nmnnmn nm mnm CCCCCN )!(! )!(! . . . 22 . （ 3） (非平均分组有归属问题 )将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n个物体分给 m 个人，物件必须被分完，分别得到 1n ， 2n ， mn 件，且 1n ， 2n ， mn 这 m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有! . . .! !. . . 212 11 mnnn npnp nnn mpmCCCN mm .
37、（ 4） (非完全平均分组有归属问题 )将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n个物体分给 m 个人，物件必须被分完，分别得到 1n ， 2n ， mn 件，且 1n ， 2n ， mn 这 m 个数中分别有 a、b、 c、个 相等，则其分配方法数有 !.! !.2 11 cba mCCCN mmnnn npnp 12! !. . !( ! ! !. .)mpmn n n a b c . （ 5） (非平均分组无归属问题 )将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n个物体分为任意的 1n ，2n ， mn 件无记号的 m 堆，且 1n ， 2n ， mn 这 m 个数彼此不相等，
38、则其分配方法数有!.! !21 mnnn pN . （ 6） (非完全平均分组无归属问题 )将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n个物体分为任意的 1n ，2n ， mn 件无记号的 m 堆，且 1n ， 2n ， mn 这 m 个数中分别有 a、 b、 c、个相等，则其分配方法数有!.)!(!.! !21 cbannn pN m. （ 7） (限定分组有归属问题 )将相异的 p（ 2 mp n n n 1+ + +）个物体分给甲、乙、丙，等 m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得 1n 件，乙得 2n 件，丙得 3n 件，时，则无论 1n ，2n ， mn 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 ! . . .! !. . . 212 11 mnnn npnp nnn pCCCN mm . 159“错位问题”及其推广
