1、第二章习题解答2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为43209Udx，式中阴极板位于0x，阳极板位于 xd，极间电压为 0U。如果 04V、 1cm、横截面 210cS，求：（1） 和 区域内的总电荷量 Q；（2） x和 区域内的总电荷量 Q。解 （1） 430()d9QS 104.7C3（2） 43202ddx 101().902US2.2 一个体密度为 7.1Cm的质子束，通过 V的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为 ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。解 质子的质量 27.0kgm、电量 19.60Cq。由1vU得 6.3vms故 08J 2A26()
2、1Id2.3 一个半径为 a的球体内均匀分布总电荷量为 Q的电荷，球体以匀角速度 绕一个直径旋转，求球内的电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为 z轴。设球内任一点 P的位置矢量为 r，且r与 z轴的夹角为 ，则 P点的线速度为 sinrve球内的电荷体密度为 34Qa故 3sinsin4rrJvee2.4 一个半径为 a的导体球带总电荷量为 ，同样以匀角速度 绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为 z轴。设球面上任一点 P的位置矢量为 r，且r与 z轴的夹角为 ，则 P点的线速度为 sinavre球面的上电荷面密度为 24Q故 sinsinSa
3、aJvee2.5 两点电荷 18Cq位于 z轴上 4处， 2Cq位于 y轴上 4处，求(4,0)处的电场强度。解 电荷 1q在 (4,0)处产生的电场为 1133004(42)xzerE电荷 2在 (,)处产生的电场为 223300()xyqr故 (4,0)处的电场为 1202xyzeE2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷 l，求垂直于圆平面的轴线上 za处的电场强度(0,)aE，设半圆环的半径也为 a，如题 2.6 图所示。解 半圆环上的电荷元 dll在轴线上 za处的电场强度为 30d4(2)lrcosin)d8zxyl aee在半圆环上对上式积分，得到轴线上 z处的电场强度为(0,)daE
4、20(cosin)d8lzxyee0(2)8lzxae2.7 三根长度均为 L，均匀带电荷密度分别为 1l、 2l和3l地线电荷构成等边三角形。设 1l2l3l，计算三角形中心处的电场强度。解 建立题 2.7 图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为 tan306dL则 1 110 03(cos5)42l ly yEee 12 003in()8l lxyxyLLe33 3(cos)2l lxyxye故等边三角形中心处的电场强度为 123EazxyldlPdEr题 2.6 图 2l1l3l xyo1E32题 2.7 图111000333()()288l l lyxyxyLLLeee104lye2
5、.8 点电荷 q位于 ,a处，另点电荷 2q位于 (,a处，空间有没有电场强度 0E的点？解 电荷 在 (,)z处产生的电场为 12230()4xyzaqeeE电荷 2q在 (,)xyz处产生的电场为 22230()xyza(,)xyz处的电场则为 1。令 ，则有223()xyzaee223()xyze由上式两端对应分量相等，可得到 2()()a 223223yxayzyxyz z 当 0或 时，将式或式代入式，得 0。所以，当 0y或 z时无解；当 y且 z时，由式，有 33()2()xaxa解得 但 32xa不合题意，故仅在 (,0)处电场强度 0E。29 一个很薄的无限大导电带电面，电荷
6、面密度为 。证明：垂直于平面的 z轴上0z处的电场强度 E中，有一半是有平面上半径为 3z的圆内的电荷产生的。解 半径为 r、电荷线密度为 dlr的带电细圆环在 轴上 0z处的电场强度为023()ze故整个导电带电面在 轴上 0z处的电场强度为02321000d()()2z z zrrEeee而半径为 0的圆内的电荷产生在 轴上 处的电场强度为 00 33 023210d1()()42zz zrr eeeE2.10 一个半径为 a的导体球带电荷量为 Q，当球体以均匀角速度aQbzoId题 2.10 图绕一个直径旋转，如题 2.10 图所示。求球心处的磁感应强度 B。解 球面上的电荷面密度为 2
7、4Qa当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转时，球面上位置矢量 rae点处的电流面密度为SzrJvresinsin4ae将球面划分为无数个宽度为 dl的细圆环，则球面上任一个宽度为 dla细圆环的电流为 diSQIJl细圆环的半径为 sinba，圆环平面到球心的距离 cosda，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为203dd()zIBe23023in8(ss)zQe 30sind8zQae故整个球面电流在球心处产生的磁场为 0d6z zaB2.11 两个半径为 b、同轴的相同线圈，各有 N匝，相互隔开距离为 ，如题 2.11 图所示。电流 I以相同的方向流过这两个线圈
8、。（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度 xe；（2）证明：在中点处 dx等于零；（3）求出 b与 之间的关系，使中点处22dBx也等于零。解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 203()zIae得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 203(4)xNIbde（2）两线圈的电流在其轴线上 x)0(处的磁感应强度为220323()xNIbIxBe所以 2005225d()d故在中点 x处，有22005533d44BNIbIbdd（3） 2027221()()xxNbIId题 2.11 图x1p2xyzr题 2.13 图222007515()3()NIbdxNIbdx令 d22xB，有 041
9、4222 即 52db故解得 2.12 一条扁平的直导体带，宽为 a，中心线与 z轴重合，通过的电流为 I。证明在第一象限内的磁感应强度为 04xIB，021ln4yIrB式中 、 1r和 2如题 2.12 图所示。解 将导体带划分为无数个宽度为 xd的细条带，每一细条带的电流xaId2。由安培环路定理，可得位于x处的细条带的电流 在点 ),(yP处的磁场为00d4IBR021)Ixay则 dsin(x02)dco4yIxay所以 02d4()axIyxB0artn4aIxy0rctnarctnI y 0rctnarctn4Ixxyy 21()a04I02()d4ayIxBy0ln()8aIx
10、y20()ln8xay021ln4Ira2.13 如题 2.13 图所示，有一个电矩为 1p的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为2p的电偶极子，位于矢径为 r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为 121212403(sincoscs)rpF式中 1,， 2,， 是两个平面 1(,)rp和2(,)rp间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下aaIy2r1),(yPdR题 2.12 图这个力值最大？解 电偶极子 1p在矢径为 r的点上产生的电场为 11530()4rpEA所以 1与 2之间的相互作用能为 12121530()eWrrppA因为 1,r， 2,，则11cos22prA又因
11、为 是两个平面 (,)和 ,间的夹角，所以有12122sincosr另一方面，利用矢量恒等式可得 ()()prpAA12()rprA1212()()prpAA因此 1221sincos122cos于是得到 eW12304pr( 12sincos12cos)故两偶极子之间的相互作用力为erqconstF20( 12sis12s) 3d(r403pr( inco12cos)由上式可见，当 12时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。2.14 两平行无限长直线电流 1I和 2，相距为 d，求每根导线单位长度受到的安培力 mF。解 无限长直线电流 1I产生的磁场为 0112IrBe直线电流 2I每单
12、位长度受到的安培力为 01210mzIdFe式中 1e是由电流 1指向电流 2I的单位矢量。同理可得，直线电流 1每单位长度受到的安培力为 012212mIF2.15 一根通电流 I的无限长直导线和一个通电流 I的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为 d，如题 2.15 图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为 012(sec)mFI这里 是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。解 无限长直线电流 1I产生的磁场为 012IrBe圆环上的电流元 2dIl受到的安培力为 012212dmyIIxFlle由题 2.15 图可知 (sincos)xzaea所以 2012(i)d(cos)mzxIde201xaIe 012 0122()(sec)x xI Iaa2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子 p绕坐标原点所受到的力矩为()rpEA。解 如题 2.16 图所示，设 dqpl()，则电偶极子 绕坐标原点所受到的力矩为21()TrrEd)()()22qllllrdd()2qlrrlEr当 d1l时，有 ()()(2llEEdrrr故得到 ()(d()qqTllrpAzxd1I2dIlao题 2.15 图 r12qdlzyox题 2.16 图
