1、 1 从一道练习题说开去 -“ 除法 ” 解决问题的思考 【现状】 很多数学老师都有这样一个困惑：运用整数除法解决问题的时候，学生似乎都掌握 的很好。但是一到运用小数除法和分数除法解决问题是错误就出现了，应该用 A B时，学生却用 B A了 ，可以说有一部分就找不着北了。 主要问题是学生没有真正的理解除法算式在实际问题中的意义。 人教版 第九册数学教材 p37 练习七的第 4 题：在老年人运动会上，刘大伯参加了长跑比赛，全程 1.5 千米，用了 9.7 分钟跑完，取得了第一名。李大 伯比他多用了 2 分钟，李大伯跑 1 千米平均需要多少分钟？ 教参对于这道题的解读：首先要根据图文结合，分清哪个
2、是刘大伯，哪个是李大伯；分清谁跑得快，谁跑得慢 。再引导学生分析数量关系，这种图文结合分析题意的方式是学生第一次遇到。 根据我对班级学生学情的了解，解 决教材中所说的前两个问题应该不难。难点是对数量关系的分析。在课堂上要求 他们独立完成这道题 ，并对学生的结果做了统计： 第一步 9.7+2=11.7（分钟）全对，第二步 11.7 1.5=7.8（分钟）全错，所有的学生都列式： 1.5 11.7 0.13（分钟） ， 部分学 生经过 检查后发现这个答案不合理，再次进行修改。 分析原因：学生上个学期学过 这样一个关系式 ：路程时间 =速度。而题中的已知条件 1.5 千米是路程， 11.7 分钟是跑
3、步的时间。所以会出现了上述错误。要让学生理解 11.7 1.5=7.8（分钟），是有一定的难度的 ， 学生现有的知识基础对于这个算式是无法解释的。 类似的问题在很多练习题中会出现，如：小明家的汽车 90 千米耗油 7 升，小强家的车 110 千米耗油 11升，谁家的汽车油耗少？学生会出现两种解决的方法：比较每升所行的千米数，比较每千米的耗油量。看似很简单的问题，结果是错率极 高：第一种错误： 90 7 约 =12.8 千米， 114 11 约 =12.7 千米， 12.8 大于 12.7，所以小强家的车油耗低。第二种错误： 7 90 约 =0.77（千米）， 11 140约 =0.78（千米）
4、， 0.77 小于 0.78，所以 小明 家的车油耗低。两种错误原因均是学生不知道这算式的意义，不知道结论表示什么 ，特别是第二种算法结果的单位也是错误的 ，更能说明学生错误的原因。 2 【瞻前顾后】 小学阶段解决问题的类型中，从表内除法开始有了用除法解决的题目了。从二年级的“平均除、包含除”开始，学生知道了要把一个数平均分成若干份，求一 份的数用除法，求一个数里包含着几个几要用除法解决。到三年级结合具体的情境知道了路程、速度、时间之间的关系，知道了总价、单价、数量之间的关系等。并能把这些数量关系从具体的情境中抽象出总数、份数和每份数之间的关系。但是，并不是所有的学生在解决这些问题时真正的理解
5、了它们之间的关系，有的是凭着感觉知道要用除法解决，总是大的数除以小的数。 “结合具体情境，理解算式的意义”是新课改以来一直提倡的，所以我们在教学中多了一些就事论事的直观感受，少了一些知识的提升。 下面是小学阶段关于运用除法解决问题的一些例题和相关的练习 ，例 题的设计呈现出了编者的一些意图和理解除法算理所采用的一些方法 ： 从二下 p12 表内除法 出现了“ 平均分 ”这一概念，便 开始有用除法解决问题，本册中对于算式的理解主要借 。 助实物图，让学生动手分一分来实现。（图） 三年级上册 p49 有余数的除法 也有涉及 包含除，利用除法解决一个数里最多包含着几个几，还余几，教材中还是主要借助实
6、物图来帮助学生理解算式的意义。（图） 3 三年级下册 p14除数是一位数的除法 中解决问题的类型 还是平均分 和包含除，例题借助小棒 图示理解除法算式的意义。由于被除数比较大， 所以部分题目只出现了相应的故事情境。（图） 第八单元的例 2（图）是两步连除的情境，算式出现两次平均分的情况，教材中也是借助情境图帮助理解算式的意义。 四 上 p78除数是两位数的除法中， 包含除的例题中呈现的是情境、小棒和格子图，比较而言格子图是比较概括、抽象、简洁的。体现了从具体到抽象的过渡。例题中把 140 本故事书用 140 个方格表示，每班 30 本就用红笔圈出 30本位一份。这样的表示方法既帮助学生理解算理
7、，也从方格图中看出了算式的意义。 4 五上 p16 37 页小数除法中 也是结合情景图编排了很多 用除法解决的例题。除数是整数的小数除法可以用“平均分”的思想理解算理，典型问题诸如：行程问题、购物问题、工程问题等情景的都可以借助相应的数量关系解决问题。 六上 p28分数除法 中也有出现平均分的例题和用除法解决问题的情境，题中用长方形表示单位“ 1”，它的五分之四，再平均分成两份，求一份的数，利用比较直观的图形把 “ 一个分数 ” 平均分的过程表示出来了。 在这册教材中第一次出现了“线段图”：小明 23 小时走了 12 千米，小红 512 小时走了 56 小时。谁走得快些？ 5 可见， 运用除法
8、算式解决问题在小学数学教材的编排中占了很大的容量，但大部分的内容都是结合在除法运算的教学之中，所以老师在教学中重视了除法算理的教学，而忽视了除法解决问题意义的教学。认为从二年级开始，用 除法解决问题的题型不外乎“平均分”、“包含除”“求倍数”。 只是在不同的阶段，除法算式中数的大小不同而已。 从教材的编排也可以看出，例题中出现的最多的是相应的情境，借此来直观的感受除法的算理。但是，当情境中的数据比较大时，就不能一一的表示出来了。四年 级的除法教学中， 135 本故事书用相应的小方格表示， 92 本连环画用小棒表示。 教材这样设计的意图是为了帮助学生更好的理解多位数除以一位数的算理，也能引导学生
9、进一步理解为什么要这样列式的原因 。直到六年级的教材中才出现了“块状图”和“线段图”。 【我的思考】 现行教材 编排非常关注学生的年龄的特点，基本是以直观的情景图，结合学生的生活经验来解决问题的 。 学生大脑中呈现的是具体的、个体的 ，对于举一反三能力的培养并没有好处。 新课改以来，有的老师认为“解决问题”不知道该 怎么教，既然 例题中有图，那就按照图中的表达的意思来教吧 ！也有的老师觉得 教不教没什么区别，所以就对算式意义 的教学就很轻视。当学生无法凭经验解决问题的时候，问题就出现了。 “数形结合”是解决问题教学中的一种有效手段。它 是借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，沟通数学知识之间
10、的联系，从复杂的数量关系中凸现最本质的特征，对学生正确掌握解决问题的方法有很大帮助，促进学生形象思维与抽象思维的协调发展，培养儿童建构“数学模型”的兴趣和能力，提高应用意识，是非常适合儿童解决问题的策略 。 常见有 “线段图、点子图、集合图、 几何图”这些简洁而又相对抽象的图 形。 如教学“平均分”“倍 数”时，可以从实物图中抽象出知识的本质，借助线段图等分析 除法的意义。教学行程问题、购物问题和工程问题时 ，要引导学生在理解该除法意义的基础上建立相应的数学模型，不然就会出现：看到条件，不管问题是什么，就开始解题的现象。 回到本文开头提到的练习题，如何让学生根据题中的条件和问题 正确 列出相应
11、的算式？ 我们要把“功课“做在前面，可以避免全班出错的情况。在学习除6 数是整数的小数除法时，可以把练习题做一下相应的改编：教材 p19（ 3）爸爸给舅舅打长途电话一共花了 8.4 元，他们共通话 12分钟，平均每分钟付费多少钱？把 8.4 元 改成整数 8元，并补上一个问题：每元钱能打多少时间？第一个问题的算式是“ 8 12”，第二个问题的算式是“ 12 8” 。 这可以说是第一次出现被除数、除数互换解决问题的情况，有很多学生会有困惑。这时，可以借助线段图来理解： 第一个算式的意思是： 把 8 元平均分成 12 份， 每份的数就是每分钟要 付的钱。 第二 个算式的意思是： 把 12 分钟 平
12、均分成 8 份， 每份的数就是每 元钱 可以 打电话的时间 。 学生可以从上面两个线段图中感悟到 ：平均分的份数和问题提出的要求有关，要看清要求的每一份的数是什么，应 该把什么看成总数，什么是份数，而不是仅仅根据常见的几种数量关系来解决所谓的“典型问题”。 运用 整数除以整数的除法 解决问题的题目 ，不管商是整数还是小数，对算式意义的理解是比较容易的 。除数是小数的除法在具体情境中的的意义，就很难用线段图表示出来了。笔者认为画图的目的是为了后面的学习中，可以不画图就能解决问题。所以在用除法解决问题的时候，要重视从具体情境中提炼出比较简约的线段图，借助线段图分析 数量之间的关系，并逐渐的从线段图中建立相应的数学模型，达到心中有图的境界。 8 元 8 12 0.67 元 12 分钟 12 8=1.5 分钟
