1、第二章 杆件内力分析,本次授课的基本情况课程名称: 材料力学（64学时）授课班号: 11040542-3授课时间：周一第一节 周三第四节授课地点: 11210H 01102授课对象: 特能专业 授课教师: 张建军授课重点：授课难点：,第二章 杆件的内力分析,本章主要内容轴向拉压变形的内力分析2. 扭转变形的内力分析弯曲变形的内力分析弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系组合变形的内力分析总结与讨论,1. 轴向拉压变形的内力分析,1.1 轴向拉压变形概述 （Introduction of deformational behavior of axial tension and compression)
2、,变形特点(Character of deformation) 沿轴向伸长或缩短,受力特点(Character of external force) 外力的合力作用线与杆的轴线重合,计算简图 (Simple diagram for calculating),轴向压缩(axial compression),轴向拉伸(axial tension),1.2 轴力和轴力图（Axial force and diagram of axial force),如何确定轴向拉伸（压缩）的内力和内力图？,截面法,FN 轴向力，简称轴力,FN 拉压杆件截面上分布内力系的合力，作用线与杆件的轴线重合，单位: , kN
3、,FN 轴向力正负号规定及其他注意点,1、同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号,2、轴力以拉（效果）为正，压（效果）为负,符号为正,符号为负,3、如果杆件受到外力多于两个，则杆件的不同部分上的横截面有不同的轴力,例题 1,试求直杆在外力作用下I-I II-II III-III截面的轴力,解,取I-I截面左侧为自由体，进行受力分析，轴力预先设为正（拉）：,列平衡方程求 FN1,FN1 = 5kN 表明该轴力方向与预设方向相反，其效果为压,同法求II截面上的内力,列平衡方程求 FN2,若取截面的右侧则:,注意:同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号,同法求III截面上
4、的内力,可取右侧计算较为简单。,将内力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示 内力图,将轴力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示 轴力图,10,5,15,例题2 试画出下列直杆的轴力图,2. 扭转变形的内力分析,2.1 扭转变形概述 （Introduction of deformational behavior of torsion),杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。 以扭转为主要变形的杆件称为轴。,工程实际中，有很多承受扭转的构件，例如,当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。
5、,传动轴将产生扭转,工程中作用于轴上的外力矩往往不是直接给出的，而是给出轴所传递的功率(kW)和轴的转速(rpm),通过理论力学的知识可以求出外力矩:,2.1 扭矩和扭矩图（Torsion moment and its diagram),受扭构件的内力矩如何？ 截面法,T 是外力矩,根据平衡，截面上有内力矩Mx扭矩,Mx,根据右手定则确定力矩矢的方向,力矩旋转方向,力矩矢方向,由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向,扭矩的正负号规定,按照右手螺旋法则，扭矩矢量的指向与截面外法线方向一致为正，反之为负。,截面,n,截面外法线,Mx,扭矩矢量,扭矩的计算及扭矩图的绘制,1、计算各外力矩的大小（已知功率和
6、转速）；,2、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力矩矢；,3、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小；,4、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。,例题3,某转动轴，转速n = 200 rpm,主动轮输入功率为PA = 200 kW,三个从动轮输出功率分别为PB = 90 kW, PC = 50kW, PD = 60 kW1、计算1-1 2-2 3-3截面的扭矩；2、画出扭矩图,解,首先计算各个外力矩的大小,将外力矩转换为力矩矢量,取1-1截面左侧分析,将截面上的扭矩设为正,列方程,取2-2截面左侧分析,列方程,取3-3截面右侧分析,列方程,由上述计
7、算得到扭矩值,画扭矩图,例题4,试画出下面轴的扭矩图,3.弯曲变形的内力分析,杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bending）。主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。,3.1 弯曲变形概述（Introduction of bending deformation),平面弯曲,梁轴线,纵向对称面,工程中的弯曲构件,桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量(集中力FP )及大梁自身重量(均布载荷q )的作用下,大梁将发生弯曲。,支座和载荷的简化,支座约束,固定铰支座:,滚动铰支座:,3.2 梁的简化及其类型（S
8、implication of beam and its classification),支座和载荷的简化,固定端约束：,支座和载荷的简化,载荷的类型,1. 分布载荷q(x) 连续作用在一段长度的载荷。 例如：自重、惯性力、液压等， 单位：kg/cm， N/m。,因为每个小微段（dx）可以看成一个小的集中力q (x)dx，根据理力平行力系求合力：,合力着力点：在载荷图的面积形心上,当分布载荷分布区段很小，在一个dx段上时，往往简化成集中力。（真正的集中力在工程中是不存在的）,3集中力矩 M往往是梁上安装附属构件所引起的。,2集中力P,梁的类型及计算简图,计算简图,工程中的弯曲构件,石油、化工设备
9、中各种直立式反应塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。,仍采用截面法确定梁上某截面的内力分量,例 2B-1 确定悬臂梁m-m处的内力,3.3 梁的内力弯矩和剪力,1求出A处的约束反力,取m-m截面右侧分析,剪力,弯矩,若取截面的左侧分析,由此可知，取截面左右两侧的部分构件计算，所得到的内力大小相等，方向相反。,剪力和弯矩的正负号约定,凡剪力对所取梁内任一点的力矩顺时针转向的为正，反之为负；凡弯矩使所取梁段产生上凹下凸变形的为正，反之为负。,上面的约定形式上比较繁琐，在实际求解问题中，可按照以下方法预先设置剪力和弯矩为正。,剪力和弯矩
10、均按图示设为正。,剪力和弯矩均按图示设为正。,取截面左右两侧的部分构件计算，所得到的内力大小相等，方向相反，但符号是一样的。,例 2B-2 求梁AB截面I-I II-II的剪力和弯矩。,1计算梁的约束反力,2选择I-I截面左侧为研究对象计算弯矩剪力,如何预设剪力和弯矩为正方向？,3选择II-II截面右侧为研究对象计算弯矩剪力,如何预设剪力和弯矩为正方向？,c,求解梁指定截面的剪力和弯矩的一般步骤：,1、求出约束反力（重要）；,2、选择被截下部分的梁作为研究对象，并预设剪力弯矩为正方向，画出受力分析图；,3、按照静力学平衡方程求出截面上的剪力和弯矩的具体数值。,剪力方程和弯矩方程,一般情况下，梁
11、横截面上的剪力和弯矩随截面位置而变化，若以横座标 x 表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为 x 的函数。,剪力方程,弯矩方程,依照剪力方程和弯矩方程绘制的内力曲线图( x轴-横截面位置，y轴-剪力弯矩) 称为剪力图和弯矩图。,3.4 梁的内力方程剪力方程和弯矩方程 梁的内力图剪力图和弯矩图,例 2B-3 作以下悬臂梁的剪力和弯矩图,1以A为原点建立x 轴,AB段中任取一个横截面m-m,取截面左侧作为研究对象,剪力方程:,弯矩方程:,2画出剪力弯矩图,弯矩的极值发生在固定端处，绝对值的大小为:,A右侧至B左侧梁段上并没有外加力（集中力/分布载）的作用，则A右侧至B左侧
12、的剪力图表现为一条平行于 x 轴的直线，不发生突变。,例 2B-4 作以下简支梁的剪力和弯矩图,计算反力,由于C点存在集中力，因此AC和CB段的剪力方程、弯矩方程并不一定相同。,取AC段中某截面左侧部分进行受力分析：,取CB段中某截面右侧部分进行受力分析：,由此可知本例中的剪力方程和弯矩方程都是分段函数。,剪力方程：,弯矩方程：,C处存在集中力F,剪力图上发生突变,突变的大小为,若梁上某点作用一向下（上）的集中力，则在剪力图上该点的极左侧截面到极右侧截面发生向下（上）的突变，剪力突变的大小等于该集中力的大小。,课堂练习 作以下简支梁的剪力弯矩图，并找出剪力弯矩图中的相关规律（时间5分钟）,C处
13、存在集中力偶M0,弯矩图上发生突变,突变的大小为,若梁上某点作用一逆（顺）时针的集中力偶，则在弯矩图上该点的极左侧截面到极右侧截面发生向下（上）的突变，弯矩突变的大小等于该集中力偶的大小。,例 2B-5 作以下简支梁的剪力和弯矩图，并找出剪力图或弯矩图的规律,剪力方程:,弯矩方程:,详细计算过程请参考教材第19页例2-6,整个梁段上存在均布载荷q,剪力图上发生线性渐变,渐变总的值为:,等于均布载荷载整个梁段上的作用力的大小。,若梁上某段作用一向下（上）的均布载荷，则在剪力图上该段的左侧截面到右侧截面发生向下（上）的线性渐变，渐变总的值等于该均布载荷在此梁段上的总的作用力。,例2B-6 建立以下
14、外伸梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图（已知均布载荷q=3kN/m, 集中力偶M=3kNm）,1求约束反力,在CA AD DB三段中，剪力和弯矩都不能用同一个方程式来表示，所以应分为三段建立剪力方程和弯矩方程。,2取CA段中任意截面的左侧部分加以分析:,3取AD段中任意截面的左侧部分加以分析:,4取DB段中任意截面的右侧部分加以分析,整个梁的剪力和弯矩方程如下,求AD段的极值：,可以利用已经学的剪力图的相关规律来快速绘出剪力图,去除约束代之以反力（集中力）,C点的剪力为0，从C到A截面左侧作用均布载荷，总的大小为6kN,则在剪力图上表现为向下的直线，变化的总剪力为6kN,A点此时有集
15、中力14.5kN向上作用，因此在剪力图上发生向上的突变，变化值为14.5 则 -6+14.5=8.5,从A到D是均布载荷，类似CA段处理斜线达到 8.5-34=-3.5,集中力偶不影响剪力图，不予考虑,DB段上无力（分布载）的作用，因此，剪力图上表现为平行x轴的直线,B点集中力向上3.5kN,剪力图向上突变3.5，最后达到0。,课堂练习: 请快速画出以下外伸梁的剪力图（时间3分钟）,你画对了吗？,4. 载荷集度、剪力和弯矩的关系,由于载荷的不同，梁的剪力和弯矩图也不同。,左图中FQ=0 的截面上，弯矩有极值，其他的例子中也总结了一些规律，这都说明载荷、剪力、弯矩之间存在着一定的关系；,找到这些
16、关系，对我们方便快速地画出剪力弯矩图具有很大的益处。,如图所示简支梁受到载荷的作用：,建立坐标系,取其中一微段d x q(x)为连续函数，规定向上为正,将该微段取出，加以受力分析,由（1）式可得:,（2）式中略去高阶微量,载荷集度q、剪力FQ、弯矩M之间存在着微分关系:,剪力图上某点的斜率等于载荷集度的数值,弯矩图上某点的斜率等于剪力的数值,若q(x)为常数，则可根据这些关系得到如下表格,通过这两式，也可验证:,若在梁上的某截面上FQ(x)=0, 则在该截面上的弯矩具有一极值（极大或极小）。 弯矩的极值发生在剪力为0的截面上。,讨论: 下面的剪力弯矩图错在什么地方？（时间3分钟）（计算数值是否
17、正确不考虑）,1-受到集中力，在剪力图上应发生突变。,2-剪力的数值为正，但弯矩图上相应的斜率为负。,3-剪力为0的截面上弯矩图上并未有极值。,4-CB段上剪力线性变小，弯矩图的斜率应逐步变小，而非图示变大。,不列剪力弯矩方程，画剪力弯矩图的基本步骤,1、正确计算出约束反力；,2、按照剪力图的相关规则快速绘出剪力图（祥见PART C）；,3、按照载荷集度、剪力、弯矩的微分关系绘出弯矩图的大致样式；,4、计算弯矩在各段的极值。,例2B-7 不列剪力方程和弯矩方程，绘出下面外伸梁的剪力和弯矩图。,计算约束反力：,画出剪力图,根据微分关系列表如下,哪个是对的？,例2B-8 不列剪力方程和弯矩方程，绘
18、出下面外伸梁的剪力和弯矩图。,约束反力计算略，可得A和B处的反力的大小。,直接画出剪力图,根据微分关系列表,例2B-9 不列剪力方程和弯矩方程，绘出下面悬臂梁的剪力和弯矩图。,计算约束反力：,画出剪力图,画出弯矩图,课堂练习: 画出下面组合梁的剪力图和弯矩图（时间:5分钟）,提示: B处为一个铰，AB和BC并不是一个构件,注意B点: 为什么B点的弯矩等于0？,比较以下两个图:,此类铰接，铰处无法承受弯矩，因此 M = 0,此类铰接，M 不一定为0,第二章 杆件的内力分析（下）,PART E* 用叠加法作剪力弯矩图,PART E 用叠加法作剪力弯矩图*,观察以下的简支梁:,其弯矩方程为:,PAR
19、T E 用叠加法作剪力弯矩图*,可见，在小变形条件下，当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷引起的内力是各自独立的，并不互相影响。这时，各个载荷与它所引起的内力成线性关系，叠加各个载荷单独作用时的内力，就可以得到这些载荷共同作用时的内力。这一原理一般称为 叠加原理 叠加法也可以用于剪力图的绘制。,PART E 用叠加法作剪力弯矩图*,=,+,弯矩图：,+,=,PART E 用叠加法作剪力弯矩图*,例2B-10 利用叠加法绘制下面外伸梁的剪力和弯矩图。,PART E 用叠加法作剪力弯矩图*,=,+,弯矩图：,+,=,第二章 杆件的内力分析（下）,PART F* 曲杆、刚架的内力和内力图,PART F
20、 曲杆、刚架的内力和内力图*,某些构件，如活塞环、链环、拱等一般也都有一纵向对称面，其轴线是一平面曲线，当载荷作用于纵向对称面内时，曲杆将发生弯曲变形。这时横截面上的内力一般有剪力FQ、弯矩M和轴力FN。如果载荷不是作用于纵向对称面内，其横截面上可能还有扭矩Mx。下面以四分之一圆周的曲杆为例来说明内力的计算。,PART F 曲杆、刚架的内力和内力图*,m-m 截面上有哪些内力分量？,轴力,剪力,弯矩,PART F 曲杆、刚架的内力和内力图*,对于曲杆的内力符号约定:,引起拉伸变形的轴力FN为正；,使轴线曲率增加的弯矩M 为正；,以剪力FQ对所考虑的一段曲杆内任一点取矩，力矩为顺时针则剪力为正。
21、,绘制弯矩图时，将弯矩M 画在轴线的法线方向，并画在杆件的受压一侧，无须注明正负号。,PART F 曲杆、刚架的内力和内力图*,根据上面的约定，下面图中预设的各个内力应为正还是负？,PART F 曲杆、刚架的内力和内力图*,画出曲杆的弯矩图,PART F 曲杆、刚架的内力和内力图*,刚架是由多根直杆连接处为刚性连接而成。,一般情况下，在外力作用下刚架的横截面上同时产生轴力、剪力和弯矩，其内力符号的规定和曲杆相似。,PART F 曲杆、刚架的内力和内力图*,例2B-11 求图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图,PART F 曲杆、刚架的内力和内力图*,求约束反力：,PART F 曲杆、刚架的内力和内
22、力图*,画出轴力图,易知FN1=0,FN2=-10kN,轴力图,PART F 曲杆、刚架的内力和内力图*,画出剪力图、弯矩图,1-1截面,2-2截面,PART F 曲杆、刚架的内力和内力图*,画出剪力图、弯矩图,剪力图,弯矩图,本部分完,谢谢听讲,第二章 杆件的内力分析（下）,PART A 内力和截面法,杆件因为受到外力的作用而发生变形，其内部各部分之间的相互作用力也发生改变。这种由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。 内力的大小随外力的改变而变化，它的大小及其在杆件内部的分布方式与杆件的强度、刚度和稳定性密切相关,PART A 内力和截面法,内力
23、如何来分类和确定呢？ 用一个虚拟的截面将平衡构件截开，分析被截开的构件截面上的受力情况，这样的方法称为截面法。,假想截面,PART A 内力和截面法,PART A 内力和截面法,分布内力,如何将分布内力简化？,PART A 内力和截面法,1、在截面上选择力系简化中心，建立坐标系。,2、将力系简化为主矢FR和主矩MO。,3、将主矢和主矩沿坐标轴进行分解。,PART A 内力和截面法,PART A 内力和截面法,六个内力分量产生的效果可归纳为四种基本变形方式的原因,1、轴力 axial force; normal force FN Fx 沿杆件轴线方向内力分量，产生轴向（伸长，缩短）,2、剪力 s
24、hearing force FQ Fy, Fz 使杆件产生剪切变形,3、扭矩 torque Mx 力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形,4、弯矩 bending moment My , Mz 力偶，使杆件产生弯曲变形,PART A 内力和截面法,截面法的归纳:,1、用假想的截面将构件截开；2、任取截下的一部分作为自由体(Free Body);3、对截下的自由体作受力分析，并使用理论力学静力学平衡的原理求出截面上的内力。,PART A 内力和截面法,例题2-1,如图所示，求 l1 处杆件截面的各个内力分量,PART A 内力和截面法,解1、对构件 AB 进行受力分析并求出约束反力。,易知：,PA
25、RT A 内力和截面法,2、在 l1 处作虚拟截面，取左侧进行受力分析，在截面处标出六个内力分量，如下图所示。,3、列静力平衡方程，求内力分量,PART A 内力和截面法,通过上述例题，可以看出截面法的步骤，归纳如下,切一刀；取一半；加内力；列平衡。,工程实际中并不是所有的杆件都有内力分量，而是对应基本变形，其内力分量有一个、两个或者多个。,PART B 轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图,PART B 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图,工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆，例如：,一些机器和结构中所用的各种紧固螺栓，在紧固时，要对螺栓施加预紧力，螺栓承受轴向拉力，将发生伸长变形。,PAR
26、T B 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图,工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆，例如：,由汽缸、活塞、连杆所组成的机构中，不仅连接汽缸缸体和汽缸盖的螺栓承受轴向拉力，带动活塞运动的连杆由于两端都是铰链约束，因而也是承受轴向载荷的杆件。,PART B 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图,工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆，例如：,PART B 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图,这些杆件所受的外力特征可以描述为：,作用在杆上的外力的合力作用线与杆的轴线重合,轴向拉伸,？,轴向拉伸与弯曲变形,PART B 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图,如何确定轴向拉伸（压缩）的内力和内力图？
27、,截面法,PART B 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图,FN 轴向力，简称轴力,FN 拉压杆件截面上分布内力系的合力，作用线与杆件的轴线重合，单位: kN,PART B 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图,FN 轴向力正负号规定及其他注意点,1、同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号,2、轴力以拉（效果）为正，压（效果）为负,符号为正,符号为负,3、如果杆件受到外力多于两个，则杆件的不同部分上的横截面有不同的轴力,PART B 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图,例题 2-2,试求直杆在外力作用下I-I II-II III-III截面的轴力,PART B 直杆轴向拉伸（
28、压缩）时的内力及内力图,解,取I-I截面左侧为自由体，进行受力分析，轴力预先设为正（拉）：,列平衡方程求 FN1,FN1 = 5kN 表明该轴力方向与预设方向相反，其效果为压,PART B 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图,同法求II截面上的内力,列平衡方程求 FN2,若取截面的右侧则:,注意:同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号,PART B 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图,同法求III截面上的内力,可取右侧计算较为简单。,将内力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示 内力图,将轴力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示 轴力图,PART B 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及
29、内力图,PART B 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图,课堂练习（时间 3分钟）,试画出下列直杆的轴力图,PART B 直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力图,你做对了吗？,PART C 直杆扭转时的 内力及内力图,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。 以扭转为主要变形的杆件称为轴。,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,工程实际中，有很多承受扭转的构件，例如,当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。,PART C 直杆扭转时的内力及
30、内力图,工程实际中，有很多承受扭转的构件，例如,传动轴将产生扭转,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,工程实际中，有很多承受扭转的构件，例如,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,工程中作用于轴上的外力矩往往不是直接给出的，而是给出轴所传递的功率(kW)和轴的转速(rpm),通过理论力学的知识可以求出外力矩:,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,受扭构件的内力矩如何？ 截面法,T 是外力矩,根据平衡，截面上有内力矩Mx扭矩,Mx,根据右手定则确定力矩矢的方向,力矩旋转方向,力矩矢方向,由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向,PART C 直杆扭转时的
31、内力及内力图,扭矩的正负号规定,按照右手螺旋法则，扭矩矢量的指向与截面外法线方向一致为正，反之为负。,截面,n,截面外法线,Mx,扭矩矢量,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,扭矩的计算及扭矩图的绘制,1、计算各外力矩的大小（已知功率和转速）；,2、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力矩矢；,3、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小；,4、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,例题2-3,某转动轴，转速n = 200 rpm,主动轮输入功率为PA = 200 kW,三个从动轮输出功率分别为PB = 90
32、 kW, PC = 50kW, PD = 60 kW1、计算1-1 2-2 3-3截面的扭矩；2、画出扭矩图,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,解,首先计算各个外力矩的大小,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,将外力矩转换为力矩矢量,取1-1截面左侧分析,将截面上的扭矩设为正,列方程,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,取2-2截面左侧分析,列方程,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,取3-3截面右侧分析,列方程,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,由上述计算得到扭矩值,画扭矩图,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,课堂练习（时间 3分钟）,试画出下面轴的扭矩图,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,PART C 直杆扭转时的内力及内力图,作业,P27 2-1 (a) (d)P27 2-2 (b)P27 2-3,第二章 构件的内力分析（上）,本部分完,谢谢听讲,
