1、关键词：数学期望方差协方差相关系数,第四章 随机变量的数字特征,问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；,1 数学期望,例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下： 评定他们的成绩好坏。,解：计算甲的平均成绩：,计算乙的平均成绩：,所以甲的成绩好于乙的成绩。,定义：定义：,数
2、学期望简称期望，又称均值。,例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。 解：,问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？,根据N的概率密度fmin(x),可得到E(N).,例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器 时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。,解：X的分布律为：,例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一
3、次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？,解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，,设Y表示一周内所获利润，则,例5：,例6：,10,几种重要分布的数学期望,例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进 行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截 面面积S的数学期望。,例8：,例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为：,数学期望的特性：,这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况,证明：,下面仅对连续型随机变量给予证明：,19,20,21,定义：定义：,数学期望简称期望，又称均值。,22,2 方差,设有一批灯泡寿命为：一
4、半约950小时，另一半约1050小时平均寿命为1000小时； 另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时平均寿命为1000小时；问题：哪批灯泡的质量更好？(质量更稳定),单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。,24,我们需要引进一个量来描述r.v.X的取值分散程度，即X的取值与E(X)的偏离程度,偏离的度量：,平均偏离：,绝对值（不好研究）,25,定义 设X是一随机变量，,为标准差或均方差。,存在，则称之为X的方差。记为D(X)或Var(X)，即,方差实际上是一个特殊的函数 g(X) =(X-E(X)2 的期望,对于离散型随机变量X，,
5、对于连续型随机变量X，,此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式(常用)：,例1：设随机变量X具有数学期望,例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为： 解：,例3： 解：,例4：,解：X的概率密度为：,例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为：,即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数,方差的性质：,证明：,34,X与Y 相互独立：已知EX=3；DX=1；EY=2；DY=3 。 E(X-2Y)；D(X-2Y) 。,解：由数学期望和方差的性质,例6：,例7： 解：,例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的
6、概率。,表1 几种常见分布的均值与方差,数学期望 方差,分布率或 密度函数,分布,40,几个与期望及方差有关的练习题,1、设X的数学期望E(X)=2,方差D(X)=4,则E(X2)= ；,2、设X B(n,p),已知E(X)=1.6 , D(X)=1.28,则 n= ; P= ;,3、设X P()，且P(X=1)=P(X=2),则E(X)= , D(X)= ;,3 协方差及相关系数,对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。 定义：,42,协方差的计算,证(2):,注: X,Y相互独立,协方差的性质：,44,证明4
7、)：利用,45,例1、设(X,Y)的分布律为：,求COV(X,Y).,46,47,易知:,E(X)=P E(Y)=P,48,例2：设(X,Y)的概率密度为：,49,X,Y,1,1,D,0,50,51,相关系数的性质,线性关系,52,证明（1）,53,54,相关系数的意义 相关系数是描述了X与Y线性相关程度,X,Y不相关(弱),X,Y相互独立(强),(没有线性关系）,(没有任何关系）,可能会有别的关系，如二次关系。,55,复习公式,56,实用的相关系数计算公式,例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知P(|X|=|Y| )=0,判断X和Y是否不相关？是否 不独立？,续,例 2,续,例3：设X,Y相互独立服从同一分布， 记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V是否一 定不相关，是否一定独立？,4 矩、协方差矩阵,显然，数学期望是一阶原点矩，方差是二阶中心矩，协方差是二阶混合中心矩。,65,n维正态变量具有以下四条重要性质：,66,课后思考题,1.,2.,3.,4.,5.,
