1、贝叶斯统计习题1. 设 是一批产品的不合格率，从中抽取 8 个产品进行检验，发现 3 个不合格品，假如先验分布为 （1） U0,1:（ ）（2） 2-=,，（ ）其中参数 ，证明： 的后验分布仍为 Pareto 分布。0,解：样本联合分布为： 1(),0npxx0/,110 01()()/,max,nn nxp x因此 的后验分布的核为 ，仍表现为 Pareto 分布密度函数的核1/n即 11(),()0,x即得证。3 设 是来自指数分布的一个样本，指数分布的密度函数为12,nx，-(|)=,0xpe（1） 证明：伽玛分布 是参数 的共轭先验分布。(,)Ga（2） 若从先验信息得知，先验均值为
2、 0.0002，先验标准差为 0.0001，确定其超参数。,解： 11 1()1()()()(),.nixnxnnxpxeeeGanx 样 本 的 似 然 函 数 ：参 数 的 后 验 分 布服 从 伽 马 分 布 220.()4,20.14. 设一批产品的不合格品率为 ，检查是一个接一个的进行，直到发现第一个不合格品停止检查，若设 X 为发现第一个不合格品是已经检查的产品数，则 X 服从几何分布，其分布列为 -1(=|),=2xPx假如 只能以相同的概率取三个值 1/4, 2/4, 3/4，现只获得一个观察值 ，求 的最大后 =3x验估计 。MD解： 的先验分布为在 给定的条件下，X=3 的
3、条件概率为联合概率为X=3 的无条件概率为的后验分布为5。设 是来自如下指数分布的一个观察值，x-()|=e,xp取柯西分布作为 的先验分布，即21,-,，（ ）求 的后验均值和后验方差。解： 的先验分布为：100/,()令 101max,nx可得后验分布为：111()/,()0,n则 的后验期望估计为： ，Ex后验方差为： .21()()nVar7. 设 x 服从伽玛分布 ， 的分布为倒伽玛分布 ，1,2nG(,)IGa（1） 证明：在给定 x 的条件下， 的后验分布为倒伽玛分布 。+,)2nx（2） 求 的后验均值与后验方差。解：由 可以得出1(,)(,)2nxaIa21(),0(nxpe
4、(1)(),（1） 的后验分布为： 2(1)2()()xnxpe即为倒伽玛分布 的核。,2nIGa所以 的后验分布为()（2）后验均值为 22()1xEn后验方差为2()()xVarx8. 对正态分布 作观察，获得三个观察值：2，3，5，若 的先验分布为 ，(,1)N (3,1)N求 的 0.95 可信区间。9. 设某电子元件的失效时间 X 服从指数分布，其密度函数为-1(|)=exp/,若未知参数 的先验分布为倒伽玛分布 。计算该种元件在时间 200 之前(1,0.)IGa失效的边缘密度。解： 2 302202021exp,0.10.,0.1.exp.1,.10.95p xmxpddpxdd
5、x解 ： 依 题 意则该 元 件 在 时 间 之 前 失 效 的 概 率 :10. 设 相互独立，且 。若 是来自伽玛分布12,nX ,=1,iiXPn: 12,n的一个样本，找出对 的联合边缘密度。Ga12=(,)nx解：1 1011:!,!iii ii iiixiiii xiiii iiixnni xi ipempdeed解 依 题 意11. 某厂准备一年后生产一种新产品，如今有三个方案供选择：改建本厂原有生产线（ ）,从国外引进一条自动化生产线（ ） ；与兄弟厂协助组织“一条龙”生产线（ ） 。1a2a 3a厂长预计一年后市场对此产品的需求量大致可分为三种：较高（ ） ；一般（ ） ；较
6、低（12） 。假设其收益矩阵为（单位：万元） ，3 709840=25-3Q假设厂长根据自己对一年后市场需求量是高，中，低，给出的主观概率分别为0.6,0.3，0.1。求在悲观准则，乐观准则，和先验期望准则下的最优行动。解：悲观准则下：首先行动 ， ， 的最小收益分别为-200，-800 ，-30,。然后选出其1a23中最大的收益为-30 ，从而最优行动为 3a乐观准则下：首先行动 ， ， 的最大收益分别为 700，980，400,。然后选出其中123最大的收益为 980，从而最优行动为 。2先验期望准则下：各行动的先验期望收益为从而最优行动为 。1a12. 某水果店准备购进一批苹果投放市场，
7、市场需求量和采购量都在 500 至 2000 公斤之间，已知其收益函数为 ，假设 的先验分布为 0.8-3,50.9(,)4.2aaQa上的均匀分布，该店应购进多少苹果可使先验期望收益最大？50,2解：先验期望收益为当 a=1343 时，先验期望达到最大，故应购进 1343 公斤苹果。 13. 设某决策问题的收益函数为 ，若 服从 上的均匀分128+0,=,-5aQa0,1布，（1） 求该决策问题的损失函数。（2） 在先验期望损失最小的原则下寻求最优行动。解： 012121212121210620180566,3,5,5349.QaaLaLadL当 时 ， ， 则 在 和 处 的 损 失 函
8、数 为当 时 ， ， 则 在 和 处 的 损 失 函 数 为服 从 上 的 均 匀 分 布最 优 行 动 是14. 一位卖花姑娘每晚购进鲜花第二天去卖，假设每束花的购进价格为 1 元，售价为 6 元，若当天卖不掉，因枯萎而不能再卖。根据经验一天至少能卖 5 束鲜花，最多能卖 10 束鲜花。（1） 写出状态集和行动集。（2） 写出收益函数。（3） 在折中准则下，对乐观系数 的不同值，讨论卖花姑娘前一天应购进几束鲜花为好。解：12345612345615,6789,105,6789,102,500987234500aQaQHA状 态 集 行 动 集收 益 函 数收 益 矩 阵按 折 中 准 则 ：
9、 12345616max,1min,568205106QaHa当 时 ， 选 择 ， 每 天 摘 朵 鲜 花当 时 ， 选 择 ， 每 天 摘 朵 鲜 花 .15. 在二行动决策问题中，收益函数为 12-+5,=,18aQa若 ，计算先验 EVPI。2(10,4)N:解： 0216bm12212000,4,56, .83*.2*541NNEmatDLDVPIt最 优 行 动 为16. 在二行动决策问题中，收益函数为 12-+5,=,180aQa若 ，对 ，分别计算先验 EVPI。2(10,)N:=4,321解： 0003*0.47*53=0.642.8912.8911*=.0745*=0.3572NNEVPILttEVPILt，
