1、学号：本科生毕业论文（设计）开题报告题目：浅析微分中值定理在不等式证明中的应用 院 （系） 数学与统计系 专 业 班 级 数学与应用数学 09 级 1 班学 生 姓 名 指导教师（职称） 闫用杰 （讲师） 提 交 时 间 2013 年 6 月 安康学院 数学与统计 院（系） 数学与应用数学 专业 2013 届本科生毕业论文（设计）开题报告姓 名 学 号论文(设计)题目浅析微分中值定理在不等式证明中的应用选题的意义: 在高等数学中, 不等式的证明是数学学习中的重要内容之一,和一些应用题以及计算题相比，不等式的证明对于数学研究者来说一直是难点，主要在函数的构造上或者证明的思路上都有很大的难度。因此
2、在研究不等式证明的过程中，既是发展了学者的数学思维也培养了逻辑思维方面的能力。不等式证明的常用方法有:比较法、分析法、综合法、归纳法、特殊不等式法等。它反映了各变量之间很重要的一种关系,在解各类方程、有关函数的问题、三角证明、几何证明等许多方面都有广泛的应用。在不等式的初等证法中,往往需要较高的技巧。通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。微分学同样也是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，可以根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题。而对于整块微分学的学习，
3、我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。利用微分中值定理证明不等式可以增强解题的直观形象性,从而能起到化解难度、增加成功率等作用，对不等式的解题过程和解题思路，有了更加深刻的理解,分析问题和解决问题的能力会逐渐提高，提高了在做数学分析问题研究时的方便性。所以微分中值定理在不等式证明中的应用是非常广泛的，研究它也是非常有必要的。研究综述（前人的研究现状及进展情况,应不少于 1000 字）：人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了。1637 年著名法国数学家费马(Fermat) 在求最大值和最小值的方法中给出费马定理，在教科书中，
4、人们通常将它称为费马定理。1691 年法国数学家罗尔在方程的解法一文中给出多项式形式的罗尔定理。1797 年法国数学家拉格朗日在解析函数论一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西，他是数学分析严格化运动的推动者，他的三部巨著分析教程 、 无穷小计算教程概论(1823 年)、微分计算教程(1829 年)以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构， 他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。在无穷小计算教程概论中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在微分计算教程中将其推广为广义中值定理柯西定理，从而发现了最后一个微分中值定理。微分中值
5、定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。此外，在极值问题中有重要的实际应用。微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁。微分中值定理从诞生到现在的近 300 年间，对它的研究时有出现。特别是近十年来，有关微分中值定理问题的研究非常活跃，且已有丰富的成果。相比之下，对有关中值定理应用的研究尚不是很全面。由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容，而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用。当前, 微分中值定理证明不等式的运用
6、已经成为数学研究领域中一个被关注的研究课题，受到了学者的普遍重视。相较于初等数学中的常用数学方法，利用微分中值定理证明不等式可以增强解题的直观形象性，从而能起到化解难度、增加成功率等作用。对不等式的解题过程和解题思路，有了更加深刻的理解，分析问题和解决问题的能力会逐渐提高，在做数学分析问题研究时，游刃有余。蒙诗德在数学分析中证明不等式的常用方法文章中简单的介绍了利用柯西中值定理对不等式证明的方法。庞永锋和赵彦晖在利用微分中值定理证明不等式中系统的介绍了利用罗尔中值定理证明不等式的方法，在此文章中指出利用罗尔中值定理很难证明不等式，应该在利用罗尔中值定理的同时要综合利用其他的微分中值定理。拉格朗
7、日中值定理对若干不等式的证明以及其它特殊情形时的变换。柯西中值定理对不等式的证明应用，特别介绍了其特用情形。总之，通过查阅大量的资料和书籍，使我看到微分学的思想在证明问题中的重要性，以及严谨的逻辑性。尤其是在不等式的证明中，这种思想激发了我研究的兴趣，我的研究将着眼于微分中值定理在不等式证明中的应用，进而推广到研究在不等式的证明问题中微分中值定理的综合应用。研究内容（应不少于 800 字）：1、给出微分中值定理中罗尔中值定理，柯西中值定理，拉格朗日中值定理，以及泰勒中值定理的内容和它们应用的范围以及应该注意的问题。 2、分别对利用罗尔中值定理，柯西中值定理，拉格朗日中值定理以及泰勒中值定理对若
8、干不等式的证明的特例。1罗尔中值定理 如果函数 f(x)满足：1）在闭区间a,b上连续； 2）在开区间(a,b)内可导； 3）在区间端点处的函数值相等，即 f(a)=f(b)， 那么：在(a,b)内至少有一点 (ab)，使得 f()=0.利用罗尔中值定理不是很容易证明不等式，所以在利用罗尔中值定理证明不等式的同时要与其他的中值定理相结合。2柯西中值定理 如果函数 f(x)及 F(x)满足：1)在闭区间a,b上连续； 2)在开区间(a,b)内可导； 3)对任一 x(a,b)，F(x)0 那么在(a,b) 内至少有一点 ，使等式f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f()/F()成立柯西中值定理
9、是研究两个函数的变量关系的定理，它相对于拉格朗日中值定理有一定的限制性，因此在此举例说明它们针对不等式的证明的区别和应用的范围。3拉格朗日中值定理如果函数 f(x) 满足：1)在闭区间a,b上连续； 2)在开区间(a,b)内可导。 那么：在(a,b)内至少有一点 (ab)，使等式 f(b)-f(a)=f()(b-a) 成立。介绍拉格朗日中值定理的几种其他特殊形式以及各种形式对不等式的证明方法。把拉格朗日中值定理和数学归纳法联系起来证明不等式的几种方法。4泰勒中值定理1 带有拉格朗日型余项的泰勒公式：若函数 f在a,b上存在直至 n 阶的连续导函数，在（a，b）内存在（n+1）阶导数，则对任意给
10、定的 0,xab，至少存在一点 (,)abx，使得() (1)2 (1)0000 0()()()!nnnfffff xx+=+-+-形如(1)(1)0!nnfx+-的余项称为拉格朗日型余项2 带有佩亚诺型余项的泰勒公式：若函数 f在点 0x存在直至 n 阶导数，则有 0()()nnfxTxo=+-，即()2000 000()() ()!nnffffx xo=+-+- +-形如 0nxo-的余项称为佩亚诺（Peano）型余项介绍带拉格朗日余项的泰勒公式和带佩亚诺型余项的泰勒公式，以及针对于一个不等式的不同证明方法。在此基础上说明泰勒中值定理在不等式的证明中的应用。5微分中值定理对不等式的证明根据
11、不同的不等式题型，选择合理的微分中值定理，或者将多种微分中值定理相结合进而证明不等式。采用完成论文的条件及拟采用的研究方法和技术路线（途径）：1、要完成论文, 首先是要理解论文的标题， 分析自己在开始写作时要从哪方面着手； 其次， 搞清楚自己选题的意义， 为什么要用这个题目； 最后， 查阅大量的文献，分析这方面的知识前人是怎么研究的， 在这基础上我该怎样深入探究。2、研究方法：1归纳总结法：通过现阶段利用微分中值定理对不等式的证明中存在的问题的归纳总结，探究出在不等式的证明中微分中值定理的综合应用，得出自己的理论。2思维方法:它主要包括归纳演绎、类比推理、抽象概括、思辨想象、分析综合等，本文主
12、要通过归纳演绎和类比推理的方法， 讨论微分中值定理在不等式证明中的应用。3文献研究法：本论文通过研究大量的文献， 进一步研究利用微分中值定理在不等式的证明中的应用。基本上解决不等式证明中所存在的问题。 3、技术路线：1几种微分中值定理的的内容；2分别利用微分中值定理证明不等式；3在前人的研究基础上提出综合利用微分中值定理证明不等式的方法。4 总结前期准备情况:通过平时积累，查阅书籍及网络资料为选题做了充分的前期准备。并且通过数学分析和大量的前人的论文选定选题。通过查阅资料，上网查询为论文搜索相关知识并了解该方面研究及发展的情况。研究工作进度安排及各阶段预期达到的目标：2012-02-20201
13、2-10-20 为论文做前期准备2012-10-202012-12-20 完成论文选题2012-12-202013-01-10 完成论文开题报告，拟定论文提纲2013-01-102013-03-20 完成论文初稿2013-03-202013-04-10 指导老师修改论文初稿2013-04-102013-04-20 完成论文第二稿，指导老师审阅2013-04-212013-04-30 论文定稿2013-05-012013-05-15 论文答辩主要参考文献：1数学分析第三版 华东师范大学数学系 高等教育出版社2庞永锋 赵彦晖 利用微分中值定理证明不等式 西安建筑科技大学 2009 年 9 月3杨纯
14、富 不等式证明的微分法 渝西学院 2002 年 9 月4李昌杰 应用微分中值定理证明不等式5赵京之 导数在证明不等式中的应用 绥化学院 2010 年6郑叔雄 数学分析中某些不等式的证明 盘锦师范专科学 1994 年第 1 7 卷第 l 期7陈晓萌 泰勒公式在不等式证明中的应用 淮坊高等专科学校 2000 年 4 月8蒙诗德 数学分析中证明不等式的常用方法 玉林师范学院 2009 年 9 月9刘淑珍 数学分析中不等式的常用方法浅探 绍兴文理学院 2002 年10魏全顺 微分在不等式证明中的应用 湖南省第一师范学校 2006 年 3 月指导教师意见：（对本课题的深度、广度及工作量的意见和对论文（设计）结果的预测）签 名： 年 月 日教研室主任意见：签 名： 年 月 日
