1、关于数项级数敛散性的判别法摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（DAlembert）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化.关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法1 引言设数项级数 nnaa21的 n 项部分和为:+12nSa 1nia若 n 项部分和数列 收敛,即存在一个实数 S,使nS.limnS则称这个级数是收敛的，否则
2、我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称 S 为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于 是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy)收敛准则,可lin得到级数的柯西(Cauchy)收敛准则 :1数项级数 收敛 ,对 有1na0,N,pN.12nnpaa2 正项级数敛散性判别法设数项级数 为正项级数( 0).则级数的 n 项部分和数列 单调递增,由数列的单调有1nananS界公理,有定理 2.1 正项级数 收敛 它的部分和数列 有上界.1 1nunS1由定理 2.1 可推得定理 2.2 ：设两个正项级数 和 ,存在常数 c 及正整数 N，当 nN 时有2 1nu1nv0c ,则n（i）若级数
3、收敛，则级数 也收敛；1nu1nv（ii）若级数 发散，则级数 也发散.1n1n一般常及其极限形式:定理 2.2（比较判别法的极限形式） ：设 和 是两个正项级数且有21nu1nvlimn，（i）若 0 ，则两个级数同时敛散；（ii）若0，级数 收敛，则级数 也收敛；1nv1nu（iii）若 ，级数 发散，则级数 也发散.1n1n由比较判别法可推得:定理 2.3（达朗贝尔判别法也称比值判别法，DAlembert） ：设 是一个正项级数，31nu则有（i）若存在 0q及自然数 N，使当 nN 时有 q，则级数 收敛；1nu1nu（ii）若存在自然数 N，使当 nN 时有 ，则级数 发散.1n1n
4、定理 2.3（达朗贝尔判别法也称比值判别法的极限形式） ：设 是一个正项级数，31nu2（i）若 r，则级数 收敛；limn1u1nu（ii）若 r则级数 发散.lin11n定理 2.4（柯西判别法也称根式判别法） ：设 是一个正项级数，则有41nu（i）若存在 0q及自然数 N，使当 nN 时有 q，则级数 收敛；n1nu（ii）若存在自然数列的子列 ，使得 ，则级数 发散.innu1n定理 2.4（根式判别法的极限形式） ：设 是一个正项级数，51n（i） r，则级数 收敛；lmnu1nu（ii） r，则级数 发散.lin 1n注意：在比值判别法和根式判别法的极限形式中，对 r=1 的情形
5、都未论及.实际上，当=1 或 =1 时，无法使用这两个判别法来判别敛散性.如级数 和 ，都limn1ulinu 1n21n有，1limli1nn，22()lili11nn， .limn2lin但前者发散而后者收敛.3此外，定理 2.3 和定理 2.4 中关于收敛的条件 q和 q也不能放宽到1nunu， .例如，对调和级数 ，有1nunu1n= ， = ，1nunu1但级数却是发散的.对于严格正项级数,比较判别法、比式判别法及根式判别法用上（下）极限形式更为方便.定理 2.52设 为严格正项级数.1na10若 是收敛的严格正项级数,使 ,则级数 收敛.nb nbalim1na20若 为发散的严格
6、正项级数,使 ,(可取 ,则级数 发散.1n 0lin)1n定理 2.62设 为严格正项级数.1na10若 ,则级数 收敛.limqn1na20若 ,则级数 发散.li1an1n定理 2.72设 为正项级数,且 ,则1n qanlim10 当 时,级数 收敛.q1na20 当 时,级数 发散.1n我们知道,广义调和级数(p-级数) 当 时收敛,而当 时发散.因此,取 p-级1np1p数作为比较的标准,可得到较比式判别法更为精细而又应用方便的判别法,即4定理 2.8（拉阿贝判别法，Raabe） ：设 是正项级数并记31nu1,nnuR（i）若存在 及自然数 ，使当 n 时有 则级数 收敛；1qN
7、,nRq1n（ii）若存在自然数 ，使当 n 时有 则级数 发散.1,n1nu定理 2.8（拉阿贝判别法的极限形式） ：设 是正项级数且有 ，81nrun1lim则 (1)当 时,级数 收敛；1r1nu(2)当 时，则级数 发散.1n考虑到级数与无穷积分的关系,可得定理 2.9（积分判别法） 4：设函数 在区间 上非负且递减，()fx),1， ，则级数 收敛的充分必要条件是极限 存在.)(nfu1,2 1nuxdtf1)(lim证：由于 ,知 单调递增.因此0xfxdtfF)()(极限 存在 在 有界.xx tf1lim)(li F),(充分性)设 存在,则存在 ,使xdt)(0MMdtfxx
8、1)(,级数 的部分和1nu )2(121 nffuuSnnndtfdtftff 1321 ()()(.Mn即部分和数列有上界.所以级数 收敛.1nu(必要性)设正项级数 收敛,则它的部分和有上界,即存在 有1n Nn,05.从而对 ,令 ,则MSn)1x1xn nx dtfdtftfdtftf 1322111 )()()( .MSn1)故极限 存在.xtf1)(lim由此我们得到两个重要的结论6：（1） 级数 收敛p1pn1;（2）级数 收敛2lpn.证：两个结论的证法是类似的，所以下面只证明结论（1）在 p 级数一般项中，把 n 换为 x，得到函数=()f1).px我们知道，这个函数的广义
9、积分收敛 因此根据正项级数的广义积分判定法，结.论（1）成立.还是以 p-级数为比较标准,可得定理 2.10（阶的估计法） ：设 为正项级数 ,即 与 当31nupnOu1)(nup1是同阶无穷小.则n(1)当 时,级数 收敛；1p1nu(2)当 时,级数 发散.1n把比较判别法和比式判别法结合,又可得定理 2.11（比值比较判别法） ：设级数 和 都是正项级数且存在自然数 N，使当7 1nu1nvnN 时有6,1nuv则有（i） 若 收敛，则 也收敛；1nv1nu（ii） 若 发散，则 也发散.1nu1nv证：当 nN 时，由已知有.12121nNnNnNuvv 由此可得 ,.Nnnnuv再
10、由比较判别法即知定理结论成立.较比式判别法更为精细的判别法是定理 2.12 ：设 是正项级数且满足3（ 高 斯 判 别 法 ， Gaus） 1nu1 1,llnnvo则有（i） 若 或者 ， 或者 ，则级数 收敛；1u1,uv1nu（ii） 若 或者 ， 或者 ，则级数 发散.1,1n定理 2.12 ：设 是正项级数且满足9（ 高 斯 推 论 ） 1nu211,nOn则有7（i）若 或 ， ，则级数 收敛；11u1nu（ii）若 或 ， ，则级数 发散.1n3 一般项级数敛散性判别法 我们经常遇到一些级数，它们并不是都为非负，如交错级数等，对于这一类的级数我们不能再套用上述的正项级数的判别法来
11、判断它们的敛散性了.根据柯西收敛原理，级数 收敛的充分必要条件是：对任给的 ，存在 ，只要1nu0N，对任意正整数 ，有nNp12.nnpu在研究一般项级数的判别法前我引进绝对收敛与条件收敛的概念.定义 ：若级数 收敛，则称级数 是绝对收敛的；若级数 收敛，但级数41nu1n 1nu发散，则称级数 是条件收敛的.1nu1n由柯西收敛准则,有定理 3.1 若级数 收敛,则级数 收敛.41|nu1nu要判别级数 敛散性,可用上述介绍的正项级数敛散性的判别方法去判断.1|n定理 3.2 :对级数 用 表示级数 的部分和,即6（ 分 部 求 和 判 别 法 ） 1,nupnA1nu.1nk如果极限 存
12、在,那么下面两个级数有相同的收敛性:limnAp1,nup11().nnAp这个判别法的特点是:把因子 分离出来,求出部分和 ,再研究级数,2n nA8的收敛性(前提是极限 存在.)11()nnAplimnAp证明：先分析级数 的部分和.为此分析乘积 ;用增减项的办法,可以看出,1nup kup.1111()()kkkkkkAAAp由此得到.111()()kkkkkupp让 k 从 1 变到 n,对等式的各项求和,.1101()(,)nnkkkAAp这个等式可以改写为.111()nnkkkupp(这叫做阿贝尔分部求和公式.)现在令 ,考察极限 .由阿贝尔分部求和公式可以看出:因为极限n1lim
13、nkup存在,所以limnAp存在 存在.1linkup11li()nkkAp这个结论的级数语言是:收敛.111()knnnupp收 敛这样就证明完成了证明.对于最特殊的变号级数交错级数,有定理 3.3 :对于交错级数,如果一般项的绝对值组成的数列单调递减趋向10（ 莱 布 尼 兹 判 别 法 ）于 0(当 n ),那么交错级数收敛.对于一般项级数,则有9定理 3.4 : 对级数 用 表示级数 的部分和,即10（ 狄 利 克 雷 判 别 法 ） 1,nupnA1nu.1nk如果 是有界数列,并且数列 单调递减趋向于 0,那么级数 收敛.nAnp1,nup证明: 由条件可知, =0.因此根据分部求和判别法, 下面两个级数有相同的收敛性:limnA1,nup11().nnAp以下只需验证:后一个级数是绝对收敛的.实际上,数列 是有界的,不妨设 .n ()nA这样一来,.11()()nnnApp另外, 111111()lim()li()nnk nnp因此根据控制收敛判别法,级数 收敛.11()nnAp定理 3.5(阿贝尔 Aebel 判别法) 4设数列 单调有界,级数 收敛,则级数 收敛.na1nb1nba
