1、临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文13 届 分 类 号: 单位代码:10452临沂大学理学院毕 业 论 文 (设 计 )极 限 思 想 的 产 生 与 发 展姓 名 学 号 年 级 专 业 数学与应用数学 系 (院) 理学院 指导教师 2012 年 12 月 17 日临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文摘 要极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用无处不在，理解掌握并合理应用极限要思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行
2、探究，并对其在数学分析中的应用展开探索。关键词：极限思想；产生；发展；完善；应用临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文ABSTRACTLimit thought is the basic ideas of calculus in mathematical analysis, a series of limportant concepts, such as the continuity of a function, derivative and definite integral are defined with the help of limit thought. Limit thought
3、 application everywhere, understand and grasp and reasonable application of limit thought, can let us in the process of solving practical problems, can quickly find the methods to solve the problems, to enhance the actual effect. This paper focuses on the ultimate idea generation and development res
4、earch, and its applicationin inmathematical analysis explores.Key words: Limit thought；geneeration；development；perfection；application临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文目 录1.引言 .12. 极限思想的产生与发展 .12.1 极限思想的产生 .12.2 极限思想的发展 .22.3 极限思想的完善 .32.4 极限思想的概念 .53. 极限思想的应用 .53.1 极限思想在概念里的渗透 .63.2 极限思想在导数中的应用 .63.3 极限思想在积分中的应用
5、.74总结 .8致 谢 .9临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文01.引言极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数等等都是借助于极限来定义的。同时极限思想是微积分的基本思想，是微分与积分的基础, 贯穿整个微积分的内容。 理解并掌握好其中极限的重要思想, 可以让我们在解决实际问题的过程中, 能较快发现解决问题的方法, 提高实际效果。 2.极限思想的产生与发展2.1 极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。关于极限思想的起源,应追溯到公元前4
6、90年的古希腊的著名哲学家芝诺提出的阿基里斯悖论，阿基斯悖论的意思是说，古代神话中有一位跑得最快的人叫阿基里斯，他永远追不上爬得很慢的乌龟，阿基里斯的速度远大于乌龟，但乌龟比阿基里斯先行一段距离 AB，阿基里斯在 A 点起跑，乌龟在 B 点起跑。当阿基里斯跑到 B点时，乌龟已爬到 B1点；当阿基里斯跑到 B1点时，乌龟已爬到 B2点；当阿基里斯跑到 B2点时，乌龟已爬到 B3点如此继续下去，以至于阿基里斯永远也追不上乌龟。这样提出问题，其结论显然与我们的直觉相悖，并且不难用初等数学的方法求出追赶时间和路程，从而对芝诺的悖论给予反驳：阿基里斯一定能追上乌龟！然而芝诺把这样一个直觉上都不会产生怀疑
7、的简单问题与无限纠缠在一起，由于长期以来人们对与无限有关的极限概念缺乏深刻地认，因而不能用辩证的观点解答芝诺的疑难，这不仅给当时的数学家和哲学家提出了诘难，而且也使两千余年内的智者、哲人伤透了脑筋，使一代一代的数学家争论不休，以至于不得不把“无限”这个怪物排除在数学之外，直至19世纪，当反映变量无限变化的极限理论建立之后，才可用极限理论回答芝诺的挑战。这是极限思想的萌芽。在我国极限的观念,早在刘徽之前的春秋战国时代就已产生了。春秋战国时期，由于各种学说创形成了一个百家争鸣的局面，不止有唯心主义学说，也有朴素的唯物主义学说，还有不少关于逻辑学，物理学，天文发及数学的片断记载。在庄子天下篇里就记载
8、着惠施关于数学的一些论说，如：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。随着天数的增多,所剩下的木棒越来越短,截取量也越来越小,无限地接近于0,但永远不会临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文1等于0。这更是从直观上体现了极限思想。我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用。所谓“割圆术” 就是用半径为 R 的圆的内接正多边形的边数 n 一倍一倍地增多 多边形的面积 An 就越来越接近于圆的面积 。在有限次的过程中 用正多边形的面积来逼近圆的面积 只
9、能2R达到近似的程度。但可以想象 如果把这个过程无限次地继续下去 就能得到精确的圆面积，这是早期的极限思想。 古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧” ，他们避免明显地“取极限” ，而是借助于间接证法归谬法来完成了有关的证明。 到了 16 世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向” 。 2.2 极限思想的发展14 世纪末，欧洲开始有了资本主义的萌芽，到 15 世纪中期，随着封建制度的解体，欧洲的生产力得到了迅速的发展，
10、开始了“文艺复兴”时代。由于生产力的发展，也推动了科学技术的进步，当时，围绕着力学为中心，在天文学、物理学、地理学等方面都提出了大量的新问题，对这些问题的探究促进了相关学科的发展。如哥白尼“ 日心说”的诞生带来了一场自然科学的革命；由于对天体力学的研究，涌现出了一批科学家，如斯蒂文、伽利略、开普勒等等，他们在数学方面也做了大量的研究工作，为微积分的诞生奠定了基础，为极限思想和方法的发展及运用带来了机遇。极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相连的。16 世纪以后，欧洲处于资本主义的萌芽时期，生产力得到极大发展。生产和科学技术中发生了大量的变量问题，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变
11、力做功问题等初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学方法，突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进了极限思想的发展。众多数学家为解决上述问题做了不懈的努力，十七世纪下半叶，英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别总结前人工作，创立新的学科-数学分析。临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文2这个学科需要运用无线过程计算，即极限运算。思想分析的核心内容是微分学和积分学，而微分和积分的概念是通过极限来定义的，但这些概念在当时是含糊不清的，常常不能自圆其说。起 初 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 以 无 穷 小 概 念 为 基 础 建立 微 积
12、 分 ， 后 来 因 遇 到 了 逻 辑 困 难 ， 所 以 在 他 们 的 晚 期 都 不 同 程 度 地 接 受 了极 限 思 想 。 牛 顿 用 路 程 的 改 变 量 与 时 间 的 改 变 量 之 比 表 示 运 动stts/物 体 的 平 均 速 度 ， 让 无 限 趋 近 于 零 ， 得 到 物 体 的 瞬 时 速 度 ， 并 由 此 引 出s导 数 概 念 和 微 分 学 理 论 。 他 意 识 到 极 限 概 念 的 重 要 性 ， 试 图 以 极 限 概 念 作 为微 积 分 的 基 础 ， 他 说 ： “两 个 量 和 量 之 比 ， 如 果 在 有 限 时 间 内 不
13、断 趋 于 相 等 ，且 在 这 一 时 间 终 止 前 互 相 靠 近 ， 使 得 其 差 小 于 任 意 给 定 的 差 ， 则 最 终 就 成 为相 等 ”1。 但 牛 顿 的 极 限 观 念 也 是 建 立 在 几 何 直 观 上 的 ， 因 而 他 无 法 得 出 极 限的 严 格 表 述 。 牛 顿 所 运 用 的 极 限 概 念 ， 只 是 接 近 于 下 列 直 观 性 的 语 言 描 述 ：“如 果 当 n 无 限 增 大 时 ， n 无 限 地 接 近 于 常 数 A， 那 么 就 说 n 以 A 为 极 限 ”。这 种 描 述 性 语 言 ， 人 们 容 易 接 受 ，
14、现 代 一 些 初 等 的 微 积 分 读 物 中 还 经 常采 用 这 种 定 义 。 但 是 ， 这 种 定 义 过 于 直 观 ， 缺 乏 严 密 的 逻 辑 基 础 ， 与 数 学 上追 求 严 密 的 原 则 相 抵 触 ， 但他们的努力和成就为极限思想的进一步完善奠定了坚实的基础。2.3 极限思想的完善极 限 思 想 的 完 善 与 微 积 分 的 严 格 化 密 切 联 系 。 在 很 长 一 段 时 间 里 ， 微 积分 理 论 基 础 的 问 题 ， 许 多 人 都 曾 尝 试 解 决 ， 但 都 未 能 如 愿 以 偿 。 这 是 因 为 数学 的 研 究 对 象 已 从
15、常 量 扩 展 到 变 量 ， 而 人 们 对 变 量 数 学 特 有 的 规 律 还 不 十 分清 楚 ； 对 变 量 数 学 和 常 量 数 学 的 区 别 和 联 系 还 缺 乏 了 解 ； 对 有 限 和 无 限 的 对立 统 一 关 系 还 不 明 确 。 这 样 ， 人 们 使 用 习 惯 了 的 处 理 常 量 数 学 的 传 统 思 想 方法 ， 就 不 能 适 应 变 量 数 学 的 新 需 要 ， 仅 用 旧 的 概 念 说 明 不 了 这 种 “零 ”与“非 零 ”相 互 转 化 的 辩 证 关 系 。到 了 18 世 纪 ， 罗 宾 斯 、 达 朗 贝 尔 与 罗 依
16、里 埃 等 人 先 后 明 确 地 表 示 必 须将 极 限 作 为 微 积 分 的 基 础 概 念 ， 并 且 都 对 极 限 作 出 过 各 自 的 定 义 。 其 中 达 朗临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文3贝 尔 的 定 义 是 ： “一 个 量 是 另 一 个 量 的 极 限 ， 假 如 第 二 个 量 比 任 意 给 定 的 值更 为 接 近 第 一 个 量 ”， 它 接 近 于 极 限 的 正 确 定 义 ； 然 而 ， 这 些 人 的 定 义 都 无法 摆 脱 对 几 何 直 观 的 依 赖 。 事 情 也 只 能 如 此 ， 因 为 19 世 纪 以 前 的 算 术
17、和 几何 概 念 大 部 分 都 是 建 立 在 几 何 量 的 概 念 上 面 的 。首 先 用 极 限 概 念 给 出 导 数 正 确 定 义 的 是 捷 克 数 学 家 波 尔 查 诺 ， 他 把 函 数f 的 导 数 定 义 为 差 商 y x 的 极 限 f（x） ， 他 强 调 指 出 f（x）不 是两 个 零 的 商 。 2 波 尔 查 诺 的 思 想 是 有 价 值 的 ， 但 关 于 极 限 的 本 质 他 仍 未 说 清楚 。到 了 19 世 纪 ， 数 学 陷 入 了 巨 大 的 矛 盾 之 中 ， 一 方 面 ， 数 学 在 描 述 和 预测 物 理 现 象 方 面 取
18、 得 巨 大 成 就 ， 另 一 方 面 ， 由 于 大 量 的 数 学 结 构 没 有 逻 辑 基础 ， 因 此 不 能 保 证 数 学 是 正 确 无 误 的 。 在 德 国 数 学 家 的 倡 导 下 ， 数 学 界 对 数学 进 行 了 一 场 批 判 性 的 检 查 运 动 ， 对 一 些 理 论 进 行 了 严 密 的 定 义 和 严 格 的 证明 。 法 国 数 学 家 柯 西 在 前 人 工 作 的 基 础 上 ， 比 较 完 整 地 阐 述 了 极 限 概 念 及 其理 论 ， 他 在 分 析 教 程 中 指 出 ： “当 一 个 变 量 逐 次 所 取 的 值 无 限 趋
19、于 一 个定 值 ， 最 终 使 变 量 的 值 和 该 定 值 之 差 要 多 小 就 多 小 ， 这 个 定 值 就 叫 做 所 有 其他 值 的 极 限 值 ， 特 别 地 ， 当 一 个 变 量 的 数 值 （ 绝 对 值 ） 无 限 地 减 小 使 之 收 敛到 极 限 0， 就 说 这 个 变 量 成 为 无 穷 小 ”。为 了 排 除 极 限 概 念 中 的 直 观 痕 迹 ， 维 尔 斯 特 拉 斯 提 出 了 极 限 的 静 态 的 定义 ， 给 微 积 分 提 供 了 严 格 的 理 论 基 础 。 所 谓 n A， 就 是 指 ： “如 果 对 任 何 0， 总 存 在
20、自 然 数 N， 使 得 当 n N 时 ， 不 等 式 n A 恒 成 立 ”。这 个 定 义 ， 借 助 不 等 式 ， 通 过 和 N 之 间 的 关 系 ， 定 量 地 、 具 体 地 刻划 了 两 个 “无 限 过 程 ”之 间 的 联 系 。 因 此 ， 这 样 的 定 义 是 严 格 的 ， 可 以 作 为科 学 论 证 的 基 础 ， 至 今 仍 在 数 学 分 析 书 籍 中 使 用 。 在 该 定 义 中 ， 涉 及 到 的 仅仅 是 数 及 其 大 小 关 系 ， 此 外 只 是 给 定 、 存 在 、 任 取 等 词 语 ， 已 经 摆 脱 了“趋 近 ”一 词 ， 不
21、 再 求 助 于 运 动 的 直 观 。在 此 之 后 ， 魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于十九世纪的七十年代各自建立了完整的实数临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文4体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”的极限来定义无理数。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来了严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础这项重要而困难的工作
22、就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成，极限理论的完善使微积分有了坚实的基础。柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于十九世纪的七十年代各自建立了完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”的极限来定义无理数。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来了严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础这项重要而困难的工作就这样经过许多
23、杰出学者的努力而胜利完成，极限理论的完善使微积分有了坚实的基础。2.4 极限思想的概念极限是指无限趋近于一个固定的数值。极限可分为数列极限和函数极限。定义 1 设 为数列，a 为定数，若对任给的正数 ，总存在正整数 N，n使得当 nN 时有| -a|0， 存 在 正 数 ， 使 得 当 时 有 ，0x临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文5Axf）（则 称 函 数 f 当 x 趋 于 时 以 A 为 极 限 ， 记 作0或xflimn）（ ）（）（ 0xxf3 极限思想在数学分析中的应用2.1 极限思想在概念里的渗透极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念都离
24、不开极限，在几乎所有的数学分析著作中都是先介绍函数理论和极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、极数的敛散性，重积分和曲线积分与曲面积分的概念.（1） 如以函数 在点 连续的定义.记 称为自变量 （在点 ）()yfx0 0xx0的增量或改变量，设 ，相应的函数 （在点 ）的增量记为0y，可见，函数 在点 连续等价00()()(yfxfxfx()yfx0于 ，是当自变量 得增量 时，函数值得增量 趋于零时的极限.0limx （2）函数 在点 导数的定义.设函数 在点 的某邻域内有定义，()yfx0 ()yfx0若极限 存在，则称函数 在点 处可导，令 ，00lixff00x，则可写为 ，所以，0()(yffx00()(limlixxfxfy0f导数是函数增量 与自变量增量 之比 的极限.y（3） 函数 在区间 上的定积分的定义。设 是定义在 上的一个()f,abf,ab函数， 是一个确定的实数，若对认给的正数 ，总存在某一正数 ，使对 的任何分J 割 ，以及在其上任意选取的点集 ，只要 ，就有 ，则TiT1niiifxJ称函数 为在 上的定积分，记 。是当分割细度趋于零时，积分和式f,ab()baJfxd的极限 .1()niifx
