1、目 录摘要1关键词1Abstract1Key words1引言11正项级数相关概念21.1正项级数的定义21.2正项级数敛散性判别的充要条件22正项级数敛散性判别法22.1判别级数发散的简单方法22.2比较判别法32.2.1定理及其极限形式32.2.2活用比较判别法32.3柯西判别法42.3.1定理及其极限形式42.3.2 活用柯西判别法52.4达朗贝尔判别法52.4.1定理及其极限形式52.4.2活用达朗贝尔判别法62.5积分判别法62.5.1定理625.2 活用积分判别法62.6拉贝判别法62.6.1定理及其极限形式72.6.2活用拉贝判别法72.7其他判别法83判别方法的比较 93.1不
2、同方法的比较及应用103.2判别正项级数敛散性方法的总结11致谢12参考文献120正项级数敛散性判别法的比较及其应用数学与应用数学 xx指导教师 xx摘要：正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍.关键词：正项级数；收敛；方法；比较；应用Positive Series Convergence Criterion of Comparison and Its App
3、licationMathematics and Applied Mathematics LiQinglinTutor LiPingrunAbstract：Positive series is a series of important theoretical component and its convergence is the core issue of series theory .Although positive series convergence judgment methods more ,there still have to use the skills, summariz
4、ed convergence of positive series to determine some of the typical method to compare the different characteristics of these methods, summed up the typical positive series, according to the characteristics of different subject analysis to determine to choose suitable methods to judge, to maximize sav
5、ings in time and increase efficiency.Key words: positive series ; convergence; methods; compare；application引言 我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上往往只是对定理本身做一个证明，然后举几个简单应用的例子就好了，没有做过多的分析.但是,我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性.因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢，定理与定理之间会有些什么联系和区别呢，做
6、题目时如何才能更好得去运用这些定理呢? 这就是本文所要讨论的.1 正项级数相关概念1.1 正项级数的定义 如果级数 的各项都是非负实数，即 则称此级数为正项级1nx,12,nx1数1.2 正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理 1 正项级数 收敛 它的部分和数列 有上界.1nuns证明 由于 ,所以 是递增数列.而单调数列收敛的充要)2(0ii ns条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.例 级数 是正项级数。它的部分和数列的通项 221ln()1n，212 212llnllnln() 1n
7、k kks 所以正项级数 收敛。21l()1n2 正项级数敛散性判别法21 判别发散的简单方法由级数收敛的基本判别定理柯西收敛准则:级数 收敛1nu有 .,0NpnN pnu21取特殊的 ,可得推论:若级数 收敛,则 .1p1n0limn定理 2 该推论的逆否命题:若 ,则级数 发散.0linu1nu例 1 快速判断级数 的敛散性.125n解: 由于 ,从而根据定理 2可知,该级数发散.0lim2n如果 ,则可由该逆否命题直接可以判别出该级数发散;如果0linu2,则不能判断级数是否收敛,因为存在级数满足 的发散级数，0limnu 0limnu如 ；也存在级数满足 的收敛级数，如 .显然该逆否
8、命题只1n 0limnu12n使用于满足 的发散级数.0linu22 比较判别法221 定理及其极限形式 定理 3 (比较判别法) 有两个正项级数与 ,且 ,有 ,c是正常数.1nu1nvNn,ncvu1）若级数 收敛,则级数 也收敛;1n1n2）若级数 发散,则级数 也发散.1nu1nv比较判别法的极限形式 有两个正项级数 与 ,且 1nu)0(1nvkvunlim).0(k1）若级数 收敛,且 ,则级数 也收敛;1nvk01nu2）若级数 发散,且 ,则级数 也发散.1n 1n222 活用比较判别法 (1) 当所求级数的通项中出现关于 n的有理式时,比较对象常常选取 p-级数或调和级数.
9、例 1 判别级数 的敛散性.1)(n解: 因为 （分母缩小,分数放大）,又由于 收敛.则由此2)(12n比较判别法,原级数 也收敛.1)(n(2) 当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时,利用不等式选取适当的比较对象. 3例 2 判别级数 的敛散性.nn3si21分析: 考虑当 时, ,则 ,0xxi nnnn )32(3si2,3si 而 是公比 的收敛级数,故原级数收敛 .n)32(1132|q(3) 当所求级数的通项放大、缩小不方便时,可采用比较判别法的推论.例 3 判别级数 的敛散性 .124n解: 由于 ,又因为 是发散的,则原级数也发41limli 22nn 1n散.23 柯西判
10、别法(根值判别法)231 定理及其极限形式 定理 4 (柯西判别法) 有正项级数 ,存1nu)0(n在常数 .q1）若 ,有 ,则级数 收敛;Nn, 1qun1nu2）若存在无限个 n,有 ,则级数 发散.n1n证明 1）已知 有 或 .又已知几何级数,Nqunqu收敛,于是级数 收敛.2）已知存在无限个 n,有 或 )0(qn 1n 1nu,即 不趋近于 ,于是级数 发散.1nun)(01nu根值判别法的极限形式 有正项级数 ,若 ,则1nlunlim1）当 时,级数 收敛;l1nu2）当 时,级数 发散.l1n4232 活用柯西判别法 例 1 判别级数 的敛散性.nn)12(解: 由于 ,
11、根据柯西判别法的推lim)2(lilimnunn论,可得级数 收敛.nn)12(例 2 判别级数 的敛散性。1ln3解: 由于 ,所以根据柯西判别法的123lim2lilim0lnlnnu推论知,级数 发散.1ln3224 达朗贝尔判别法(比值判别法)241 定理及其极限形式 定理 5 (达朗贝尔判别法) 有正项级数,存在常数 .)0(1nuq1）若 ,有 ,则级数 收敛;Nn, 1qun1nu2）若 ,有 ,则级数 发散.,1n1n比值判别法的极限形式 有正项级数 ,且)0(1nu.lim1lun1）当 时,级数 收敛;l1nu2）当 时,级数 发散.l1n242 活用达朗贝尔判别法 例 1
12、 判别级数 的敛散性.1!n解: 由于 ,所以根1)(lim)(li!)(limli 11 ennunn5据达朗贝尔判别法的推论知,级数 收敛.1!n例 2 判别级数 的敛散性 .15n解: 由于 ,根据达朗贝尔判别法15)(lim5)1(limli nnunn的推论知,级数 发散 .15n25 积分判别法251 定理 (积分判别法) 设 为 上非负减函数,那么正项级数f1与反常积分同时收敛或同时发散. )(nf252 活用积分判别法 例 1 判别级数 的敛散性.13n解:将原级数 换成积分形式 ,由于13n dx13,即 收敛,根据积分20)(2(lim2113 pxdp dx13判别法可知
13、,级数 也收敛.13n例 2 证明调和级数 发散.1n解:将原级数 换成积分形式 ,由于 ,1n dx1 0ln11xd即 发散,根据积分判别法可知,调和级数 发散.dx1 1n26 拉贝判别法261 定理及其极限形式 (拉贝判别法) 有正项级数 ,存在1nu)0(n常数 .q61) 若 ,有 ,则级数 收敛；Nn, 1)1(qun1nu2) 若 ,有 ,则级数 发散., )(1n1n拉贝判别法极限形式 有正项级数 ,且极限存在,若1nu)0(n.)1(limlun1) 当 时,级数 收敛;l1nu2) 当 时,级数 发散.l1n262 活用拉贝判别法 例 1 讨论级数 当 时snn1)2(4
14、13 3,2的敛散性.解: 当 时,由于 ,1s )(1)2()(1 un所以根据拉贝判别法知,原级数是发散的.当 时,由于 ,2s )()(34)(1)( 22 nnn所以原级数是发散的.当 时,由于 ,3s )(23)2(718)2()1( 33 nun所以原级数收敛.27 其它判别法（一）阿贝尔判别法若数列 0na， nb，且 na为单调有界数列，级数 nb收敛，则级数nb收敛。（二）狄利克雷判别法若数列 n， n，且数列 n单调递减， lim0na，又级数 nb的部分和数列有界，则级数 nab收敛。（三）伯尔特昂（Bertrand）判别法7设 1niu是正项级数，且1ln(1)()nu
15、B，若 limnB，则（1）当 B1时，级数 1niu收敛；（2）当 BN，成立不等式 nk，则级数 1niu收敛；（2） 对所有 nN，成立不等式 ，则级数 ni发散。库默尔判别法的极限形式 设 1niu是正项级数， 1nc 是使级数1nc发散的正数列，设1nnkc， limnk（有限或无限）（1）当 0k时，级数 1iu收敛；（2）当 时，级数ni发散。注：使用库默尔判别法时，应注意选择恰当的 nc，当 1n时，可以推导出比式判别法；当 nc时，可以推导出拉贝判别法；当 l时，可以推导出伯尔特昂（Bertrand）判别法。（五）高斯判别法 设 1niu是正项级数，若12nnu， 与 为常数
16、， n为有界量，又 l，则（1）当 1,或 时，级数 1niu收敛；（2）当 ,或 时，级数ni发散。（六）厄耳玛可夫判别法 设 为单调递减的正值函数，若()limxef，则()fx（1）当 时，级数 1()nf收敛；8（2）当 1时，级数 1()nf发散。3 判别方法的比较31 不同方法的比较及应用 （一）当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。如： 0 01.23,111222npnpSnnn 取 若 令 ， 级 数 发 散（二）当级数表达式型如 ， 为任意函数、级数一般项如含有 或nu sin等三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数、P 级数、调和级cos数进行比较 、 不易算出或 、等此类无法判断级数nu1limnli 1limnu收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用比较判别法。例：（1） 级数收敛11na（2） 级数收敛2ln2lnlne比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。（三）当级数含有阶层、n 次幂，型如 !a或 n或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比式判别法。当通项含 n（ -1） 与 u的函数可以选用比式判别法的极限形式进行判断，例：（1） 121n nnxx10limxun所以级数收敛（2） 6724
