1、浅谈反证法袁庆数学与信息学院 数学与应用数学专业 2010 级 指导教师：高明摘 要：反证法是一种间接证法,是一种非常重要的数学方法，特 别是对于一些直接证明比较困难的问题来说，使用反证法去证明，将会变得非常简单，从而它也被称为“数学家最精良的武器之一” 。反证法主要是运用了一种逆向思维的逻辑进行解题，它是先提出一个与命题结论相反的假设。然后，从 这个假设出发经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，到达肯定原命题的一种方法。它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。本文主要论述了反证法概念，步骤、依据及分类，中学数学中何 时适合用反 证法，运用反证法应该注意的问题，反证法
2、在中学中最常用的证明的题型展示，反证法的综合思路分析。关键词：反证法；解题；矛盾；假设On the reductio ad absurdumYuan QingCollege of Mathematics and InformationMathematics and Applied Mathematics, Grade 2010Instructor:Gao MingAbstract：Reductio ad absurdum is an indirect proofs, is a very important mathematical methods, especially for some of
3、 the more difficult to prove a direct question, the use of reductio ad absurdum to prove, it will become very simple, so it is also called “Math one of the most sophisticated weapons home. “The main contradiction is to use a reverse thinking logic problem solving, and it is the first to propose a hy
4、pothetical proposition opposite conclusion. Then, after starting from this assumption correct reasoning, leading to conflicts, thereby negating the assumption is - 1 -certainly one way to reach the original proposition. It is different with the general method of proof, reductio ad absurdum reductio
5、ad absurdum can be divided into two kinds of normalization absurd contradiction and exhaustive. This article discusses the concept of reductio ad absurdum, steps, and classification based on secondary mathematics when it is appropriate to use reductio ad absurdum, it should be noted that the use of
6、reductio ad absurdum problem in a comprehensive idea of reductio ad absurdum of the most commonly used secondary questions show proof, reductio ad absurdum of the analysis. Key word: Reductio ad absurdum; Problem-solving; Contradiction; Hypothesis第一章 绪 论英国近代数学家哈代曾经这样说过：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取
7、得优势的让棋法，它还要高明，象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！”这就充分肯定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。反证法的核心是从求证结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了反证法的关键所在。出现矛盾的方式通常有：与公理定义矛盾；与已知条件或临时假设矛盾；与显然的事实矛盾；与显然的事实矛盾；自相矛盾等等；法国数学家 J阿达玛曾说过：“这种方法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。 ”这段话可以理解为：假设命题的结论不正确，并运用此判断，在正确的逻辑推证下导致逻辑矛盾，从而知该相反判断的错误性，进而知道判断本身的正确性。由此可知，
8、反证法的理论依据可概括成形式逻辑中的两个基本规律矛盾律和排中律。所谓“矛盾律”是说：在同一论证过程中两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的。而所谓“排中律”则是说：任何一个判断或者为真或者为假，二者必居其一。也就是说结论“p 真”与“非 p 真”中有且只有一个是正确的。由此可见，证明原命题的逆否命题只是反证法的一种具体形式。第二章 反证法综述1 反证法的概念及步骤1.1 反证法的概念- 2 -先提出于结论相反（相排斥）的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定义、题设、相矛盾的结果，这样就证明了于结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论必定成立，这种间接证明的方法叫反证法。
9、1.2 反证法的步骤用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤:（1）反设假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去。（2）归谬从题设和反设出发,通过推理和论证,最终推出矛盾。（3）结论说明待证命题结论的反面不能成立,再根据排中律（否定反面,肯定正面）,从而肯定欲证命题的结论 3。例 1.1.1 已知： 求证：直线 和 是异面直线。BaAa, ABa证明： 【提出假设】假设直线和 在同一平面内，ABa那么这个平面一定经过点 和直线 。B【推出矛盾】因为 ，经过点 和直a线 只能有一个平面a所以直线 与 应在平面 内A所以 ,这与已知 矛盾2 反证
10、法的逻辑依据及分类2.1 反证法的逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律” 。排中律是在同一思维过程中，两个矛盾的思想必有一个是真的 4。排中律常用公式排中律用公式表示为“A 或者非 A”，即“AA” 。意即真或 真。其中和 表示两个互相矛盾的概念或判断。- 3 -排中律要求人们思维有明确性，避免模柃两可。它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指明正确的思维不仅要求确定，不互相矛盾而且应该明确地表示肯定还是否定，不能模柃两可，不能含糊不清。排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也违反了矛盾律，所以两者是互相联系的。它们的区别在于：矛盾律指出两个互相矛盾的判断
11、，不能同真，必有一假；排中律则指出两个矛盾判断，不能同假，必有一真。排中律是反证法的逻辑基础，当直接证明某一判断的正确性有困难时，根据排中律，只要证明这一判断的矛盾判断是假就可以了。例如，要证明 a 不是有理数有困难时，只要证明 a 是有理数为假就可以了。2.2 反证法的分类按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。（1）若结论的反面只有一种情况,那么,反设单一,只须驳倒这种情形,便可达到反设的目的,这叫归谬反证法。例 2.2.1 已知 m 为整数,且 m2是偶数,求证:m 为偶数。分析:本题如果用直接法来证明的话,给人一种无从下手的感觉,题目给我们的已知条件是很简单
12、的,我们只能从反面去考虑它,由已知条件,我们知道,m 为整数,且 m2 是偶数,所以,我们只需证当 m 为奇数的时候 m2不是偶数就可以了。证明:假设 m 不是偶数,则 m 为奇数。设 m=2k+1(k 为整数),所以于是,m 2为奇数,这与已知条件 m2是偶数矛盾。故 m 为偶数。（2）若结论的反面不止一种情形,那么,要将各个反面情形一一驳倒,才能肯定原命题正确,这叫穷举反证法。3 中学数学中何时适合用反证法曾有数学家赞扬反证法是“数学家最精良的武器之一”,它在数学证题中确有奇效。应该指出的是,多数题目用直接法证明较为简捷。究竟什么类型的数学题可用这精良的武器去解决呢？对于“若 A 则 B”
13、一类的数学命题,一般都可以用反证法来加以证明,当然没有绝对的标准,但是遇到以下几类问题时不妨试一试。3.1 基本命题，即学科中的起始性命题此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条- 4 -件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。例 3.1.1：直线 与平面 相交于 ，过点 在平面 内引直线 、POOOA、 ， ，求证： 。OBCCBAP证明：假设 PO 不垂直平面 。作 并与平面 相交于 H，此时 H、O 不重合，连结 OH。H由 P 作 于 E， 于 F，P根据三垂线定理可知， ， 。AB因为 ，PO 是公共边，OBA所以 Rtt所以 FE
14、又 H所以 Ott所以 因此，OH 是 的平分线。AB同理可证，OH 是 的平分线。C但是，OB 和 OC 是两条不重合的 直线，OH 不可能同时是 和 的平分线，产生矛盾。O3.2 命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断例 3.2.1 已知 a、b、c、dR，且 ad-bc1，求证：。122dcba证明：假设 ，把 adbc1 代入前式得：2cdabc即（a+b） 2+（b+c） 2+（c+d） 2+（a-022bacd） 20 a 、b、c、dRa+bb+cc+da-d 0 abcd，从而 ad-bc0 与 ad-bc1 矛盾.故假设不成立，原命题成立.例 3.2.2 证明 2 不是方
15、程 2x1=0 的根。证明：假设 2 是方程 2x1=0 的根，则 221 应等于 0，实际上221=5，结果与假设产生矛盾，故 2 不是方程 2x1=0 的根。例 3.2.3 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：a OPABCEF H- 5 -A，B，C 是三角形 ABC 的三个内角。求证：A，B，C 中不能有两个钝角。证明：假如A，B，C 中有两个钝角，不妨设A90 0,且B90 0，则A+B+C180 0。这与“三角形内角和为 1800”这一定理相矛盾。 故 A，B 均大于 900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。3.3 有关唯一性的问题例 3.3.1 求证：两条相交
16、直线只有一个交点。已知：如图，直线 a、b 相交于点 P,求证：a、b 只有一个交点。证明：假定 a，b 相交不只有一个交点 P，那么 a, b 至少有两个交点P、Q。于是直线 a 是由 P、Q 两点确定的直线，直线 b 也是由 P、Q 两点确定的直线，即由 P、Q 两点确定了两条直线 a, b。与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则 a, b 不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。例 3.3.2 求证过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。已知：点 p 直线 a。求证：过点 p 和直线 a 平行的直线 b 有且只有一条。证明：点 p a，点 p 和直线 a 确定一个平面 ，
17、在平面 内过点 p能作出一条直线与直线 a 平行(由平面几何知识知), 故直线 b 存在。假设过点 p还有一条直线 c 与 a 平行。 ab，bc，ac ，这与直线 b、c 共点 p 矛盾，故假设不成立，因此直线 b 唯一。故过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。3.4 命题结论是“至多”“至少”形式例 3.4.1 在半径为 的圆中，有半径等于 1 的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于 。证明：每个小圆的公共部分的面积都小于 ，而九个小圆共有 个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于 ，又大圆面积为 ，则九个小圆应占面积要大于 ，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面
18、积不少于 。例 3.4.2 已知下列三个方程：x 24ax4a3=0，x 2(a1)xa 2=0，x 22ax2a=0 至少有一个方程有实根，求实数 a 的取值范围 5。解：假设方程没有一个实根，则 16a24(34a)0 ,- 6 -(a1) 24a 20 , 4a 28a0 ,联立解得： a1三个方程至少有一个方程有实根时 ,a 的取值范围是aa 1,或 a 。例 3.4.3 求证一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0)最多有两个不相等的实根。证明：假设方程有三个不相等的实根 x1、x 2、x 3则： ax12+bx1+c=0 ax 22+bx2+c=0 ax 32+bx3+c=0 由
19、-式得：a(x 1+x2)+b=0 由-式得：a(x 1+x3)+b=0 由-式得：a(x 2-x3)=0因为 a0，所以 x2-x3=0，即 x2=x3，这与假设 x1x 2x 3 矛盾，所以原方程最多只有两个不相等的实根。3.5 命题结论涉及无限集或数目不确定的对象例 3.5.1 证明素数有无限多个。 证明:假设素数是有限个,则必有最大的素数。记此最大的素数为 p,n=(2 3 5 7p)+1n 被任一个素数除时它的余数必等于 1。即 n 除掉 1 与 n 外已无其他的约数。因此,n 是个素数且是比 p 大的数。但这是与 p 为最大的素数相矛盾的。命题成立。3.6 某些起始命题例 3.6.
20、1 在同一平面设有四条直线 a,b,c,d。若 a 与 b 相交,ca,db,则c 与 d 也相交。证明:假设 cd。因为 ac,所以 ad;又因为 bd,所以 ab。这与已知条件 a 与 b相交矛盾。故 c 与 d 也相交。3.7 难证的逆命题许多问题的证明,需要用反证法,但又不仅仅局限于反证法,常常要将反证法与其他数学方法联合使用,正面与反面同时考虑才能解决。3.8 命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时例 3.8.1 设 a、b 都是整数，a 2+b2 能被 3 整除，求证：a 和 b 都能被 3 整除.- 7 -证明：假设 a、b 不都能被 3 整除，分三种情况讨论：（
21、1）a、b 都不能被 3 整除，因 a 不能被 3 整除，故 a2不能被 3 整除，同理，b 2不能被 3 整除，所以 a2+b2也不能被 3 整除，矛盾.（2）a 能被 3 整除，b 不能被 3 整除，可得 a2能被 3 整除，b 2不能被 3 整除，故 a2+b2也不能被 3 整除，矛盾.同理可证第三种情况.由（1） （2） （3）得，原命题成立.例 3.8.2 证明素数有无限多个。证明:假设素数是有限个,则必有最大的素数。记此最大的素数为 p,作n=(2 3 5 7p)+1n 被任一个素数除时它的余数必等于 1。即 n 除掉 1 与 n 外已无其他的约数。因此,n 是个素数且是比 p 大
22、的数。但这是与 p 为最大的素数相矛盾的。命题成立。总之，反证法证明问题均是两面性的问题，即一个问题只有正反两个方面的结论，若否定了其中一个方面，就能肯定另一个方面。证明的方法不是直接地证明，而是首先假设问题的反面，然后根据假设进行推理、论证，从而得到与事实或条件不相符合的结论，从而证明原命题的正确性 ！对于“若 p 则 q”型的数学命题，一般都能用反证法证明，但难易程度会有所不同。因此，尽管反证法是一种重要的证明命题的方法，也不能把所有的命题都用反证法来证明。在证明命题时，要首先使用直接证法，若有困难时再使用反证法。4 运用反证法应该注意的问题运用反证法证明命题的第一步是：假设命题的结论不成
23、立，即假设结论的反面成立。在这一步骤中，必须注意正确的“否定结论” ，这是正确运用反证法的前提，否则，如果错误地“否定结论” ，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。在否定命题的结论之前，首先要弄清命题的结论是什么，当命题的结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做出否定。这时必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是命题的结论。- 8 -现将一些常用词的否定形式列表如下：原结论词 假设词 原结论词 假设词是 不是 存在 不存在都是 不都是 至少有 n 个 至多有 n1 个大（小）于 不大
24、（小）于 至多有一个 至少有两个运用反证法证明命题的第二步是：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾。在这一步骤中，整个推理过程必须准确无误，这样导致的矛盾才是有效的。对于一个用反证法证明的命题，能够推出什么样的矛盾结果，事先一般很难估计到，也没有一个机械的标准，有时甚至是捉摸不定的。一般总是在命题的相关领域里考虑。例如，立体几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等。对于“若 p 则 q”型的数学命题，一般都能用反证法证明，但难易程度会有所不同。因此，尽管反证法是一种重要的证明命题的方法，也不能把所有的命题都用反证法来证明。在证明命题时，要首先使用直接证法，若有困难时再使用反证法。5 在中学数学
25、中常用的反证法思想的题型分析5.1 结论本身以否定形式出现的一类命题例例 5.1.1 设 a,b,c,d 为自然数,且满足条件 n2abcd(n+1)2,n 是大于 1 的自然数。试证:adbc分析:题中 a,b,c,d 四个数均不是具体的数,所以我们想办法减少未知量的个数,再对他们进行巧妙的变形,使之成为我们可利用的资源5.2 有关结论是以“至多”或“至少”的形式出现的一类命题例例 5.2.1 设ABC 不是正三角形,则A,B,C 在之中至少有一个大于60。分析:同学们在做这类题的时候反设容易出错,由题目我们知道,至少有一个内角不小于 60的意思是:A,B,C 中,有一个不小于 60,或者有
26、 2 个不小于 60,或者有 3 个不小于 60。那么,它的反面当然是有 0 个不小于 60,即A,B,C 都小于 60。证明:假设A,B,C 都是不大于 60的角,则A60,从而A+B+C180- 9 -要使上式的等号成立,只能是A=B=C=60于是,依题设ABC 不是正三角形,从而推出A+B+C180这是与三角形的三个内角的和为 180相矛盾。因此命题成立。5.3 关于存在性、唯一性的命题例例 5.3.1 两条直线相交,只有一个交点。已知:a,b 为相交两直线。分析：此题是要证明两直线相交，则两直线一定有一个交点，直接证明不好证，但从反面如果能说明两直线有不只一个交点则得证求证:a,b 只
27、有一个交点。证明:假定两直线 a 与 b 不止有一个交点,则至少交于两点。设这两个交点为A、B 两点。这就是说,经过 A、B 两点可以作两条直线 a、b,这和公理“ 经过两点有且只有一条直线” 相矛盾。故原命题成立。两直线相交,只有一个交点。5.4 结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题例例 5.4.1 在ABC 中,若 tgA、tgB、tgC 成等比数列,求证:ABC 为锐角三角形 5 。分析:从题目给我们的已知条件,我们没法计算出A,B,C 都是小于 90度的角,所以我们只能从别的方面入手,因为 tgA、tgB、tgC 成等比数列,所以我们不妨从这方面进行考虑。5.5 无穷性命题例5.5.1求证： 是无理数 。2分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的， “无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设 是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件” ，使得能方2便地将 表示为一个分数。6 结论反证法的用处很大,它不仅应用在初等数学中,还大量应用在高等数学中,应用反证法要注意以下几点:推理过程必须完全正确。
