1、安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文1近似计算在数学分析中的应用作者：石结军 指导老师：张玮玮摘要 近似计算是一个比较特殊的解决问题的方法，它是解决数学中复杂繁琐问题的重要工具，是获得结果且影响极小的有力工具.在数学分析中，这种方法的运用尤为突出，如在定积分中的应用、微分中的应用、函数幂级数的应用等，其中函数幂级数中的应用主要体现在泰勒展开式中的应用.本文主要研究在数学分析中用具体实例来说明对这种方法的运用.关键词 近似计算 数学分析 微分 函数幂级数 定积分1 引言近似计算是一种对计算结果影响不大,但能大大简化计算的过程,被广泛用于各个领域.在数学分析中,本文从在微分中、在定
2、积分中、在求方程的解以及函数幂级数中的应用出发,然后分别简单介绍这几方面的一些有关内容及有关概念,并且针对近似计算在这些方面的应用列举出实例来加以解释说明这种方法的实用性,并且说明其与精确结果之间产生的误差.2 近似计算在数学分析中的应用1.1 在微分中的应用在科学和工程问题中遇到的数值问题往往很复杂,在许多情况下都不可能求出数值解的精确值,另一方面，在许多实际问题中,并不需要解的精确值,而仅仅需要获得解在若干点上的近似值即可.微分在近似计算中有很多应用,这里介绍微分在近似计算方面的一些应用.1.2.1 函数的近似计算由增量与微分关系 0()()()yfxodyxAA当 很小时，有 ，由此即得
3、xAd（8）000()fxfxfx或当 时有0x安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文2. （9）000fxffx注意到在点 的切线方程即为0,f000yfxfx（9 ）式的几何意义就是当 充分接近 时,可用切线近似替代曲线（ “以直代曲” ）.常用这x0种线性近似的思想来对复杂问题进行简化处理.设 分别是 ， ， ，和 ，令 ，则由（9）式可得这些函fxsinxtaln1xxe0数在原点附近的近似公式：； ；sitanx； .ln1x1e一般地，为求得 的近似值,可找一邻近于 的点 ,只要 和 易于计算,f x00fx0f由（9 ）式可求得 的近似值 .x例 1 求 的近似值.
4、0sin3解 由于 ，因此取 ， ，由0sico60Asinfx0,6x（9 ）式得到 0sin3icos60A1.542（ 的真值为 0.544639.）.0sin3例 2 设摆钟的周期为 1 秒,在冬季摆长至多缩短 0.01cm,试问此钟每天至少快几秒?解 设摆钟的周期 T 与摆长 L 的关系为 lTg安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文3其中 g 式重力加速度.已知钟摆周期为 1 秒, 故此摆原长为 02()gl当摆长最多缩短 0.01cm 时,摆长增量 ,它引起单摆周期的增量.1l0 20ldTllgA2(.1).2(98秒 ）这就是,加快约 0.0002 秒,因此每天
5、大约加快.6024.0=17.28（ 秒 ）1.2.2 误差估计由于测量仪器的精度,测量的条件和测量的方法等各种因素的影响,测得的数据往往带有误差, 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差,我们把它叫做间接测量误差.定义 如果某个量的精确值为 ,它的近似值为 ,则 叫做 的绝对误差.AaAa而绝对误差与 的比值 叫做 的相对误差.aa问题 在实际工作中,绝对误差与相对误差如何求得？设量 是由测量得到,量 由函数 经过计算得到.在测量时,由于存在测量误差，xy()fx实际测量得到的知识 的某一个近似值 ,因此由 算得的 也只是 的一000()fxy()yfx个近似值.若已知测量值 的误差限
6、为 （它与测量工具的精度有关）,通常把绝对误差限与0xx相对误差限简称为绝对误差与相对误差.即 0x则当 很小时，x安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文4 000()()()xyfxfxf10而相对误差限制为00()xxfy） 1例 3 设测得一球体的直径为 测量工具的精度为 .试求以此直径计算球体体42cm05cm积时所引起的误差.解 由直径 计算球体体积的函数式为d316Vd取 ，求得042,.05d，330018792.6Vdcm并由 两式得体积的绝对误差限和相对误差限分别为10、 22301=40.518.4Vd cA2003003.5716VddA例 4 设测得圆钢截
7、面直径 ,测量 的绝对误差限 .利用公式.DmD.05Dm,计算圆钢的截面面积时, 试估计面积误差.2AD解 我们把测量 时所产生的误差当做 的增量 ,则利用公式 计算 时24A所产生的误差就是函数 的对应增量 ,当 很小时,可以利用 近似的代替增量 ,即ADd.2dA安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文5由于 的绝对误差限 .DD0.5m0.5,D，2DAdA因此得出 的绝对误差限为A;260.354.712ADm的相对误差限约为.02.517634DA综合所述,通过用绝对误差来刻画一个近似值的精确程度是有局限性的,在很多场合中它是无法显示出近似值的精确程度.如测量 和 两个
8、长度,若它们的绝对误差都是 ,10m1cm显然前者测量结果比后者的精确.由此可见，决定一个量的近似值的精确度，除了要看绝对误差的大小外,还要考虑该量本身的大小, 即相对误差.在微分中，许多解决实际问题时需要用到近似计算来替代那些较为复杂繁琐的过程，以至于更好的解决问题.1.2 定积分的近似计算利用牛顿-莱布尼茨公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于被积函数的原函数能够求得的情形.如果这点办不到或者不容易办到，这就要考虑近似计算的方法。在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式（只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值） ，这时只能采用近似方法去计算相应的定积分.其实，根据
9、定积分的定义,每一个积分和都可看做是定积分的一个近似值,例如 1()()()1i iinnbfxdfxfxa或在几何意义上,这时用一系列小矩形面积来近似小曲边梯形面积的结果.所以把这个近似算法称为矩形法.不过，只有当积分区间被分割的很细很细时，矩形法才有一定的精确度.如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似替代被积函数,那么可以在期望获得比矩形法效果好得多的近似计算公式.下面的梯形法和抛物线法就是这一想法的产物.1.3.1 梯形法将积分区间 作 等分，分点依次为,abn安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文6，012,nibaaxxn相应的被积函数值记为 012,y,(
10、),01,2)niifx 并记曲线 上相应的点为()yfx012P,(P,)0,12)niixyn将曲线上每一段弧 用弦 来替代，这使得每个小区间 上的曲边梯形换成A1i1i 1,ix了真正的梯形，其面积为 1,01,22iiyxn于是，各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值,即 1(),2iibyfxdxa亦即 0121()( )2nbyyafxdan称此近似式为定积分的梯形法公式.例 5 用梯形法近似计算 （将积分区间十等分）.20sixd解 将 区间 等分,则1,210.iyi则由公式有 20110.6937.2dx安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文7例 6 用梯形
11、法计算下面定积分（取 ）,并计算相对误差10n20dxI解 0,10,1abnfx.,iiihhyfx101120 2nydx.78539678相对误差： 60.045.3011.3.2 抛物线法将积分区间 作 等分，分点依次为,ab2n01 2,i nbabaxxixn 对应函数值为 012y, ,01,2,niiyfx 曲线上相应点为 012P,0,12,niixymn 现把区间 上的曲线段 用通过三点 的抛物02,xyf 012,PxyP线 21yxpx来近似代替,然后求函数 从 到 的定积分1p02安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文822 321 2002000()(
12、x)()()()xPddxxxx 22020246 由于 ，代入上式整理后得021x2 22201 0 10()()()4()6xPdxxx 201201246bayyn同样也有 42342()()6xbaPdyn2221()(4)6nnnxbadyy将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值: 2 221()()(4)611ni iiibxbafdPdyyanii即 021321242()4()()6nnnbafxdyyyya 这就是抛物线法公式,也称为辛卜生（Simpson）公式对于例 6 用抛物线法解有 1013924820 4 0.7569823dxyyyy 用准确值 12010.
13、7539164dxarctg 与上述近似值比较,梯形法的结果有三位有效数字是准确的,抛物线法的结果则有六位有安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文9效数字是准确的,由此可见, 在解决定积分中一些相对复杂的问题时可采用近似计算这种方法来求解问题,能大大简化计算过程并且误差较小.而近似计算这种方法,抛物线法明显优于梯形法.1.3 方程的近似解在实际应用中，常常求方程 0fx的解, 而方程求解的方法主要有两种:解析法和数值法.解析法得到结果是精确的,然而并不是所有的方程的根都能通过这种方法而求得.形如 10nnnyaxa的代数方程，当 时,一般不存在求解公式.因此对于一般方程，我们需要
14、寻求其他的解法.5n如牛顿切线法:设 为 上的二阶可导函数,满足fab0,0.fxfabAA牛顿切线法的基本思想是构造一收敛点列 ,使其极限 恰好是方程的解.因此nxlimn当 充分大时， 可作为 的近似值.下面分四种情形进行讨论.nnx设 从而有 并设 .10,.ff0,fafb0f101x,2,.nnfxa 2因为 ，所以 为 上的严格凸函数，由定理有ff,b,.fxfafxab3设 则 在点 的切线与 轴的交点为,xayf安庆师范学院数学与计算科学学院 2015 届毕业论文10010.fafxx由 式可知 .310fx以 代替 重复上述步骤可将 在点 的切线与 轴交点为1,xb,ayfx1x12fx其中 2012, .fxaxb如此继续上述过程可得如 式确定的点列 ,显然 严格递增且有上界，故可设nxn由于 和 连续，对 式取极限,得lim.nxcf2.fc因而有由 严格单调，可知方程的解唯一，从而 .f c最后估计以 作为 的近似值的误差,由中值定理nx,nnnnfxffx因而 nnfx记 则,min,xabf.nnfxxm同样地有
