1、 高考数学中不等式问题的深度解析摘要 : 文中就不等式的基础知识、证明方法等,在高考数学中的灵活运用的研究。首先,正确认识不等式的应用在中学数学中的重要性;其次,必须熟练掌握不等式的性质、不等式的解法、均值不等式为基础,与函数、方程等知识相结合;其次,注意运用分类讨论思想、函数思想、数形结合来解决遇到的问题;最后,在参考大量文献的基础上,先用不等式基本性质的运用,到不等式组解集的确定法,再到不等式证明方法的运用,以及函数求解不等式问题,总结出不等式证明的方法和技巧。关键词: 不等式 线性规划 均值不等式 数形结合 不等式的基础知识1.1 不等式的概念:用不等号(,?,?,)表示不等关系的式子叫
2、做不等式。用“”或“”连接的不等式,叫做严格不等式;用“?”或“?”连接的不等式,叫做非严格不等式。1.2 不等式的基本性质(1)(对称性) (2)(传递性) (3)(可加性) (4)(5)(可乘性) (6)(7)(8)1.3基本不等式(均值不等式) 重要不等式:如果,那么(当且仅当时取“”)。基本不等式:如果,那么(当且仅当时取“”)。 这里 ,我们称分别为正数的算术平均数和几何平均数。因而基本不等式又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数。同时,我们也经常称不等式为均值不等式。1.4 基本不等式与最值设是正数,则有若若即“和定积最大,积定和最小” 。1.5 二元一次不等式(组
3、)表示平面区域 (1)在平面直角坐标系中,直线将平面内所有的点分成三类:在直线上和直线两侧的两个半平面内。其中一个半平面内的点的坐标适合不等式,即直线划分平面所称的两个平面内的点的坐标,分别满足不等式与。因此,如同前面所学平面内的直线可以视为二元一次方程的几何表示。(2)由于对在直线同意侧的所在点,实数的符号相同,所以判断不等式所表示的平面区域,可在直线的某一侧的半平面选取一个特殊点,如选原点或坐标轴上的点来验证的符号的正负,当时,常选用原点(0,0)来判断。1.6 不等式组的解集的确定分别求出不等式组中各个不等式的解,然后利用数轴来确定解集,即“同大取大,同小取小,一大一小两边找” 。由两个
4、以上的不等式组成的不等式组也可以类推。 1.7 线性规划问题 (1)目标函数:在一定条件下要求最大值或最小值问题的函数叫做目标函数,目标函数是关于变量的一次解析式,又叫做线性目标函数。 (2)约束条件:在线性规划中,变量必须要满足的条件叫做约束条件,用关于变量是一次不等式方程表示的条件叫做线性约束条件。 (3)可行解:在线性规划中,满足线性约束条件的解叫做可行解。 (4)可行域 :在线性规划中,由所有线性可行解组成的集合叫做可行域。 (5)线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题。 (6)最优解:可行解中使目标函数取得最大值或最小值的解叫做最优解。 (7
5、)如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值,最优解一般就是多边形的某个顶点。确定最优解的常用方法:将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点便是最优解。2. 证明不等式的常用方法2.1比较法比较法包括:(1)作差比较法;(2)作商比较法。2.2综合法证明不等式时,从命题的已知条件出发,利用公理、定理、法则等,逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法,它是由因导果的方法。 综合法是“由因导果”,即由已知条件出发,推导出所要证明的不等式成立。2.3分析法分析法是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知” 。2.4反证法反证法的实质是从否定结论出发,通
6、过逻辑推导,导出与已知条件或公理货某些性质相矛盾的结论,从而肯定远不等式成立。2.5放缩法在证明不等式时,有时需要将所需要证明的不等式的值适当地放大或缩小,使它由繁化简,以达到证明的目的。2.6数学归纳法数学归纳法可用来证明一些与正整数有关的不等式,即先证明当取第一个值(例如 1)时不等式成立,然后假设当时不等式成立,并证明当时不等式也成立,由此证明了这个不等式成立。3.不等式中的数学思想3.1分类讨论思想3.2函数思想3.3数形结合思想4.真题分析【例 1 全国卷】若,则() ABCD 解析 故选 C。(运用做差比较法来比较代数式的大小)【例 2 2011年上海理科卷】不等式的解为_。解析
7、解得。(运用不等式的性质)【例 3 2011年上海理科卷】若则下列不等式中,恒成立的是() A B C D 解析 D (考查基本不等式及其变形)【例 4 山东卷】函数的图象恒过定点 A,若点 A在直上,其中,则的最小值为_。解析 函数过定点(-2,-1),即 A(-2,-1), 故最小值为 8.【例 5 福建卷】若实数满足则的取值范围是()A. B CD 解析 画出实数满足表示的平面区域 ,如图所示 ,则目标函数表示平面区域内的点与原点连线的斜率,则。【例 6 山东卷】不等式的解集为_。解析 方法一:原不等式等价于不等式组或 或不等式无解,由得,由得,综上可得所以原不等式得解集为。方法二:原不
8、等式即为答案为 【例 7陕西卷】已知函数(I)证明:(II)求不等式得解集。解析 (I)当所以(II)由(I)可知,当时,的解集为;当时,的解集为;当时,的解集为。综上,不等式的解集为。【例 8四川卷】某运输公司有 12名驾驶员和 19名工人,有 8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为 6吨的乙型卡车.某天需运往地至少 72吨的货物,派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配 2名工人,运送一次可得利润 450元;派用的每辆乙型卡车虚配 1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数,可得最大利润( )(A)4650元 (B)4700 元 (C)4
9、900 元? (D)5000 元解析 设派甲、乙各辆,则利润,得约束条件画出可行域在的点代入目标函数可得.故答案选 C。【例 9安徽理科卷】(I)设,证明(II),证明.分析 本题考查不等式的基本性质、对数函数的性质和对数换地公式等基本知识,考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力。证明:(I)由于,所以将上式中的右式减去左式,得既然,所以,从而所要证明的不等式成立。 (II)设,由对数的换底公式得, 于是,所要证明的不等式即为, 其中, 故由(I)可知所要证明的不等式成立。【例 10福建理科卷】某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格(单位:元/千克)满足关系式
10、,其中,为常数。已知销售价格为 5元/千克时,每日可售出该商品 11千克。(I)求的值;(II)若该商品的成本为 3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大。分析本题考查函数、倒数等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归思想等。解析 (I)因为时,所以 (II)由(I)可知,该商品每日的销售量,所以商场每日销售该商品所获得的利润 从而,当 于是,当变化时,的变化情况如下表:4+ 0 -单调递增 极大值 42 单调递减5.参考文献:1陈国玉.不等式基本性质的运用J.中学生数学,2012,02.2陈鸿斌.一个不等式的推广J.中学数学,2011,01.3 潘俊歌.不等式组解集的确定法J.中学生数理化(教与学), 2009,01.4 尹建堂,郭学刚.二元一次不等式组的平面区域的应用J.中学数学,2002,12.5 黄晓华.不等式证明方法初探J.科技信息科学教研,2007,31.6 邓霞.构造函数求解不等式问题J.中学生数学,2003,07.7 杨帆.浅谈不等式证明方法的综合运用J.科教文汇中旬刊),2008,08.8 张爱武.论不等式证明的方法和技巧J.宿州教育学院学报,2004,02.
