1、柯西- 黎曼方程的应用刘兵军在复变函数中，柯西-黎曼方程具有很强的应用性。利用柯西 -黎曼方程判断一个复变函数的解析性，是非常简单的。而利用解析性的定义来判断一个复变函数的解析性就非常麻烦。已知一解析函数的实部（或虚部） ，利用柯西-黎曼方程还可以还可以求出此函数的虚部（或实部） ，从而得到函数的表达式。定理一 设函数 定义在区域 内，则 在 内一点 可),(),()yxivuzfD)(zfiyx导的充要条件是 和 在点 可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程,(yxv， 。ux定理二 设函数 定义在区域 内，则 在 内解析的充要条),(),()yivuzfD)(zf件是： 和 在 内可微，并且满
2、足柯西-黎曼方程),(yxu,(vD， 。xvy利用定理一可以判断函数在一点的可导性，而利用定理二可以判断函数在一个区域内的可导性，即解析性。定义一 如果实二元函数 在区域 内满足 ，则称 为在区),(yxD022yx),(yx域 内的调和函数。D定理三 任何在区域 内解析的函数，其实部和虚部均为 内的调和函数，且满足柯西-D黎曼方程 ， 。yvxuxv以下通过例题讲述柯西-黎曼方程的应用方法。例 1 判断下列函数在何处可导，在何处解析：（1） ； （2） ； （3） 。zw)sin(co)yezfx)Re(zw解 （1） ， ， ， ， ，xuyv1u0xv1y，柯西-黎曼方程不满足，故 在
3、复平面内处处不可导且处处不解析。yz（2） ， ，yeuxcosyevxsin， ， ， ，xuxivyexsinvyexcos， 。yvxux柯西-黎曼方程成立，故 在复平面内处处解析。)sin(co)yezfx（3） yixzw2)Re(， ， ， ， ，2uvu0yxvx，柯西-黎曼方程不满足，故 在复平面内处处不解析。yxzw仅当 时， ， ，柯西-黎曼方程成立，故函数0yvxuxv仅在 时可导，但在复平面内处处不解析。izw2)Re(0z例 2 设函数 ，问常数 取何值时，)(22ydxcbyaxf dcba,在复平面内处处解析？)(z解 ， ，22yxu22yxcv， ， ， ，a
4、xbdyxv2由 ， 得 ， yvuxvcbyax2故当 ， ， ， 时，函数在复平面内处处解析。2a1bcd例 3 已知函数 ，求 ，使得 解析。yx3),(2),(v ),(),()yxivuzf解 由于 解析， 和 满足柯西-黎曼方程。),(),()xiuzfu，由 ，两边对 积分得yx3232yv，再由 得 ，其中)(32xyxv )(22/xyxvyu c为常数。故 。ccv32例 4 已知函数 ，求函数 ，使得 解析。2),(yx),(yxu),(),()yxivuzf解 由于 解析， 和 满足柯西-黎曼方程。),(),()ivuzf v， ，2)(yxv2)(yx由 得u2)(，dyxy2)(),( 2)(yx)(2xgyx再由 得 ，vu)(/2g2)(故 ， ， 。0)(/xgc)ivuzf cyx2zcyxi12以上例题展示了柯西-黎曼方程的各种应用方法，类似例题很多，但通过对这些例题解的学习，有助于我们掌握柯西-黎曼方程的各种应用方法，把握其解题规律。
