1、安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 1 页 共 10 页广义 Vandermonde 行列式作者：袁敏 指导老师：舒阿秀摘要 Vandermonde 行列式是行列式的一种特殊形式，而广义 Vandermonde 行列式是Vandermonde 行列式的一种推广形式，在实际应用中占有十分重要的地位，如在 Hermite 插值问题适定性证明等问题中都可以用到它. 本文主要在 Vandermonde 行列式基础上介绍广义Vandermonde 行列式及其性质、计算与应用，并在此基础 上加以适当推广，介 绍增次广义Vandermonde 矩阵的含义和一些相关性质.关键词 Vande
2、rmonde 行列式 广义 Vandermonde 行列式 增次广义 Vandermonde 矩阵1 引言在高等代数中，行列式是一个极其重要的概念，而 Vandermonde 行列式又是行列式的一种特殊形式，目前许多文献都对它进行了广泛的研究并得到了许多丰富的成果. 本文主要在Vandermonde 行列式的基础上对广义 Vandermonde 行列式及其性质、应用等进行一些归纳和讨论.1.1 Vandermonde 行列式的定义称形如(1.1)123211123.nnnnDaa的行列式为 级范德蒙德（Vandermonde）行列式.n1.2 性质任意的 级范德蒙德行列式等于 这 个数的所有可
3、能的差(2)12,na ij的乘积. 用连乘号，这个结果可以简写成(1jin123211123.().nijjinnnnaa由这个结果立即得出，Vandermonde 行列式为零的充分必要条件是 这 个12,na数中至少有两个相等.安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 2 页 共 10 页2 广义 Vandermonde 行列式2.1 定义设 维向量 ,它对 的一阶导数为m21(;)(1,.,)mF（2.1）20(m同样可以定义 对 的 阶导数 ，显然，当 时，(;)k();kFk是零向量，令();kFm（2.2）(1)(,)1F!,(;)2.F,!ddmmFd考虑如下的 V
4、andermonde 型的 阶矩阵12(.)td（2.3）121212F(;)(,.;,.;).(;)tttdVm这里 .,idNt显然，当 时， 是 阶方阵.当 在12td1212(,.;,.;)ttVdmi（2.3）式中不出现时，约定 ，这里仍写成0i（2.4）1211212(,.,.;,.,.;);)itittVddm显然，行列式 是通常的 Vandermonde 行列式121(,.,.;tt安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 3 页 共 10 页211212 12.(,.) ().nn ijjinnnV的一种推广，即当 时，有12.1tdd.121212(,.;,.
5、;)(,.)tt tVmV以下称 为广义 Vandermonde 行列式.1212(,.;,.;)tt2.2 性质定理 设 ，则有1212,.,.t tdddm且1212(,.;,.;)ttVm1 223 341. .2.()()t tt d ddt （2.5）证明 将 的第 列各乘以 ，然后分1212(,.;,.;)ttVm1,2.,1()别加到第 列，并按第 1 行展开得到一个 阶行列式，设为 ，也m mV即 1212(,.;,.;)ttVd（ 是 阶）1111 2231 22212113 1().(. .00.)()()(. mddmCCC2221312111 122. .00.().
6、.()().ttttmddmttttt ddmC1V安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 4 页 共 10 页显然 的第一行是 维向量 ，1V1m1(;)F的第二行是 ，1 32121(0,.mC的第三行是 ，1 43121,.)的第 行是 .1Vd11122(0,.,.)ddmC从而知 的前 行是 ，又易知 是 的第 行各元素的公因子，11;)F21V1d故第 行可变成（将 提到行列式的外边相乘）：1d2.222;1(,.)()mmF再把第 行乘以 加到第 行上去，得第 行为1d1d1d 0002123212113212,(),(),.(),.(mmmCCCcc它也有公因子
7、 ，也提到行列式外边相乘，这时，第 行变成 211d.113222(0,.)(;)mCF再把第 行乘以 加到第 行，于是第 行变成为1d1d1d， 212221324343 143110,(),(),.().,)mmC它也有公因子 ，可提到行列式外边相乘，这时，第 行变为 ，21() 12d2(;)!F这样一直进行到第 行（共 次）为 ，而提出到行列式外12d2d2()2;)(!dFm面的因子为 ，21()同理，可依次得到 的其余 行，最后得出V12md安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 5 页 共 10 页12112112122F(;)().(;)(),.,.;1)iit
8、dii ttdi t ti mVVd即有（2.6）211212(,.;,.;)(,.,.;1)tttdd t tVmdm反复用（2.6）式即得（2.5）式： 12112121223312 123(,.;,.;)V(,.;).=,.;,.()().()ii ji ttttdi t titi tti ddt t di j ti j m .于是定理得证.2.3 应用在 Hermite 插值问题适定性的证明中将用到广义 Vandermonde 行列式，下面我们将介绍这个应用.首先，我们陈述一下 Hermite 插值问题.对 ,设 是第 个插值结1,2.()iszixRi点,且 个结点互异；设 是关于第
9、 个结点的插值重度，记 为关于第 个结sixz()kiy点 阶导数的任意给定参数 ，确定满足条件：k(0,1.)ik()(),.1;,.)knii ipxys的一元 次多项式 ，其中 ，且称上条件为 Hermite 插值条件；称满n01,siZ足 Hermite 插值条件的一元 次多项式 为 Hermit 插值多项式.()npx现在我们给出 Hermite 插值问题的直观性证明 .定理 2.11 Hermit 插值多项式是存在唯一的.证明 记一元多项式 为 ，其中 为()npx01).nncxc(0,1.)icn待定系数，利用上 Hermite 插值条件可得如下关于待定系数 的方程组01,.n
10、安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 6 页 共 10 页1()1. ,!0,.;,kkknki iiiCcxCxcys显然上方程组的系数矩阵为广义 Vandermonde 矩阵 ，利用定理 2.1 由插值结点互异知，广V义 Vandermonde 行列式不等于 0，从而上方程组的解存在且唯一.定理 2.2 Hermit 插值多项式可表为 111,.,.()/,.nsn sxxpxVyV其中 .()(0)(1)1(,.);,.,)!iTsiiiiyy s 证明 参见文献 1.另外，在图书流通管理中可应用广义范德蒙德（Vandermonde）行列式的纵向思维过程；关于 WJ-A
11、VE5 数字特技机在电视节目制作过程中的使用可应用广义范德蒙德（Vandermonde ）行列式的统计运算功能；目前许多行业，如饲料工业上的应用、肉碱在畜禽水产养殖上的应用、计算机应用基础课程教学模式的探讨、计算机辅助教学课件的应用分析等等，都在利用数学模拟计算方法包括广义范德蒙德（Vandermonde）行列式在内的一系列的基础数学理论，以精确的理论数据进行可维护的实践操作. 另外上定理可将控制论中许多关于 的计算得到简化.iAe3 增次广义 Vandermonde 行列式3.1 定义对于第 2 节中给出的广义范德蒙德行列式的定义（2.4） ，若去掉 1212(,.;,tVd的第 列， ，而
12、在末尾增加诸 次数顺序为.;td)m1,.rk1.,1rkmi的列，则所得矩阵称为增 次广义 Vandermonde 矩阵，记为,.111(,.;,.;,.)ttrVdk安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 7 页 共 10 页11 11222 11 1133222. . .0. . . . .rrrrkkkkmrdrmCCC11 2222223311 1 1. .0.rrrrkkkkrdmrC112223311 1 21. . . .0. .rrrrttkkkkrtttttttdmrCC 3.2 性质Laplace 定理的引理 行列式 的任一 阶子式 与它的代数余子式 的乘
13、积 中DkMAM的每一项都是 的一项，而且符号一致.定理 3.1 . （3.1）11111(,;,.;)(,.;,.;)tt ttkVdmkVdm证明 是 的按最后一行展开11,.;,.;tt 11,.;,.;tt式中项 的系数 ，而kt()mk.1322 13411 122 111212(,.;,.;)()()()()(.,.;,.;)()ttt ii dddt t tdddt tt titdtt tiVm 再由韦达定理知 中 的系数为 ，所以1()itdti1kt()1mkk.1(1)11,.;,.;(,.;,.)(kmktt ttVVd化简即得（3.1）式.推论 3.1 .11111(,
14、.;,.;)(,.;,.;)(.)tt tt tdmd 推论 3.2 当 时，有：2t安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 8 页 共 10 页，1 11(,.;,.;)(,.)t tkVmkV且仅当 时，有kt.1 11(,.;,.;)(.)()t tijjitt 推论 3.3 若 ，则 的秩为 .()ij1212(,.;,.;)ttVdm推论 3.4 若 ，则 的秩为 .,0ijk,;ttk推论 3.5 若 时， 的秩为 .12().)ij t1(.,.;)tVtm推论 3.6 若 时, 的秩,(.)0ij tid 1(,.;)ttd为 .m定理 3.2 .1212112
15、1(,.;,.;)(,.;,.;)()tt ttkkVmkd证明 设 按最后两行展开后，1121,.,;,.,;tttd1212211kkkktttttttt的系数为 ，则12,kD1212112 ,(,.;,.;)(mktt kVdkD从而.1121 112111(,.,;,.,;)(,.;,.;)()(jittt ttt ddt ttti j Vmd 注意到 ,展开式中 的系数分别为 ；1()it dti 12,ktt 111 22(),()mkmkk而 展开式中 的系数分别为 ，于是21()jtdj21,ktt 22211(),()mkmkk安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕
16、业论文第 9 页 共 10 页中 的系数是1121(,.,;,.,;2)tttVdm12,ktt.212()(mkkk12121()()mkmkk由 Laplace 定理的引理知： 12121212121(,.;,.;)(,.;,.;)()( ktt ttmkkkVdVd 化简上式即得定理成立.推论 3.7 若 ，则 的秩为1212(),ijkk11(,.;,.;)ttdm.m3.3 计算例 1 计算 .234623524234623523460111xxxVyyyzzz解 .6232(x,yzu;3,2;7)()()()yxyuxyuz是 的按最后一行展开式中 项系数 ，得V, 56+7（
17、-1）632()()()(.yxzyxyz例 2 计算 .2367256452367256236710111xxVyyyzzz解 623213(x,yzuv;3,2;8)()()()()yxyuxyuzvx21vzv是 的按最后两行展开中 项系数V(x,yzuv;3,21;8)45454uuv安庆师范学院数学与计算科学学院 2008 届毕业论文第 10 页 共 10 页，得 中 的系数为 ， 的系5678(1)321()()uxyuz43,234(1),54,v数为 ，所以 .254, 6 53(Vxzy结 束 语本文主要在 Vandermonde 行列式的基础上对广义 Vandermonde
18、 行列式的概念、性质及其应用等加以归纳和讨论，并在此基础上适当推广，讨论了增次广义 Vandermonde 行列式的含义、性质与计算. 由于广义 Vandermonde 行列式的应用较为广泛，目前在这方面的研究已经取得了丰硕的成果，对此本文不再深入讨论.参考文献1 盛中平. 林正华 , 广义 Vandermonde 行列式及其应用J ，高等学校计算数学学报，3（1996） ，217-225.2 邱建霞. 吴康，广义 Vandermonde 行列式的再推广J，西华师范大学学报( 自然科学版)，25：3（2004） ，328-332.3 王向东,，广义 Vandermonde 行列式J，佛山科学技
19、术学院报，19：1（2001） ，1-4.4 邱建霞，增次广义 Vandermonde 行列式J，大学数学，21：3（2005） ，85-90.5 邱建霞，增次广义 Vandermonde 行列式的计算J，高等数学研究，9：1（2006） ，19-21.6 普丰山. 陈军，广义 Vandermonde 行列式及其应用J，河南科学，24：5（2006） ，26-28.7 SEYMOURL Inpschut. Schaums outline of Theory and problems of Linear Algebra M. McGraw 2 Hill Book Company, 1968Gen
20、eralized Vandermonde DeterminantAuthor: Yuan Min Supervisor: Shu AxiuAbstract: Vandermonde determinant is a special determinant, and generalized Vandermonde determinant is promotion of Vandermonde determinant which is important in practical application. For instance, it can be used to solve the ques
21、tion of qualitative property of Hermit interpolation. In this paper , we introduced the property , calculation and application of generalized Vandermonde determinant, extended appropriately ,and introduced the definition and property of generalized additional involution Vandermonde matrixesKey words: Vandermonde determinant; generalized Vandermonde determinant; generalized additional involution Vandermonde matrixes
