1、一类生物种群模型及其稳定性摘 要：本文讨论一类种群发展方程，建立了年龄依赖种群系统的连续模型，半离散模型和离散化模型，并由特征值简要讨论了它们的稳定性。关键词：种群模型，半离散，稳定性，特征值 引 言： 在自然界中生存的各种生物种群的发展受到各种影响，本文就年龄结构变化对单一生物种群的发展影响进行分析建模，结合1文，为讨论方便，我们假设在一稳定状态环境中生物的生存条件仅受年龄结构变化限制，由此得出以下几种模型。1、线性种群发展方程线性种群发展方程是分析、预测和定量控制的基础。在一稳定的状态环境中，用 r 表示年龄，t 表示时间，r, t 皆为连续变化量，用 表示 t 时刻年龄小于trF,r 的
2、种群总数。显然 且当 时， ，即 对rF,012r2,1trF,于固定的 t 为 r 的单调增函数，称 为种群函数。 表示 t 时刻种群函数，t,tNm 记为种群所能达到的最高年龄，则有 的定义，易知rF,0tm= 。当 r, t 都连续变化时， 是 r, t 的连续函数，假设 的tF,Nt, rF一阶偏导数 ， 都是一元连续函数。设 = ，r/,t/, trP,t/,称为种群按年龄分布函数简称种群密度函数，由 的单调性知trP, Fr且 。00,m设 为充分小的年龄空间， 0 时，则 t 时刻年龄在 r 和 +r 之间的种rr群总数为 ，另外有 = ， =trP,trF,rdtP0,tmF,
3、dtP0,=0dNt 时刻年龄在 和 （ ）之间的种群总数为1r21rttrtr21,2设 t 时刻年龄在 内平均单位时间内消亡总数为 ， 为, M;,P,同一时刻年龄在 内活着的种群数。r,定义(1.2)rtpMtrr,lim0称为相对消亡率函数，对于充分小的 及 ，由 t 到 ,t, rt年龄在 中消亡总数 为r, tr,tt,p,r即 =tMtt,p设 为充分小的时间区间，t 时刻在 之间的种群总数为 ，r, trp,过了 时间到达 时，在此期间消亡数为 ，而在此期间tt,p,t没消亡的种群到了 时变成了年龄在 中的种群，其总数rr为 ，用 表示年龄在 中的种群在 时rtrp, trg,
4、 , t,间内增长或消亡的种群总数，规定增生为正，消亡为负， 称为 t 时刻 r 岁trg,种群的增消率，由于 r 和 t 具有相同的量纲， 所以 ，于是有下式1dtr成立(1.3) trgtrptrtrprt , 变化为 trgtrtrptrtrtrtrp , 等式两边同除以 得到ttrgtprttprttrprp , 由于 ，令 得到t 0(1.4) trgtrtr , 这就是所求种群连续发展方程，这是一阶线性偏微分方程。取 可得初始条件 ， 可由统计数据给出。0t rpo0,o设边界条件为 ，若设 为 t 时刻消亡与增殖数之比，称为更新率tup,为种群增殖成活率，则在 t 时刻在 内消亡
5、数为)(t ),00,drtptr所以有(1.5) 0,dtrpttt由此可得(1.6)0,0, , drtprttptgttrtro这即为种群发展方程的连续模型，这是一阶线性偏微分方程系统。2、半离散种群发展方程当 t 连续 r 离散时的种群发展方程称为半离散模型。下面用半离散逼近法求半离散模型。给定区间 的一个分划,0m，记 ， ，rrn10 iir11,20n用 表示 t 年代满 岁但不满 岁的种群总数，则txi i i(2.1)1,iiri dp由于 tiotrpdtrtitrtx iriii ii , 1111 这里 ，从而0lm0ioi(2.2)titxrpii ,1其中 ,0,l
6、0toi 1,32n对（1）中第一个方程两边从 到 积分得ir1i=drptiiiirr11 1 ),(),(iiii rdtgtp即 )(),(,),(),() 11. tgdrtpttrptrtx irii ii 由（2）有)()(),1(),1()(. tgxttitiitxtx iiii 这里 ,1)()iiri dtgt ),(tti,max,nf1! trttriiii rr舍掉高阶项有(2.3)()(1)()(. tgxtitxtx iiii 当取年龄间隔为 1，即 时 ， 为ir )3.2(,1,mi(2.4) )()()()(. tgxttxtx iiiii 即 11.t i
7、iii对初始条件 做离散化处理)(,(0rpor记 则有,)0(10dxiii(2.5) )0(,(,121mxxX对于外界条件 有),0tup1),()(,()()( miimo drtprtdrtrttu 对右端应用积分中值定理有 )(),(),(11 txdrtptdrtpr iiiiii 所以有 即有,0txt(2.6)()()(10 txttxmii因此我们有半离散模型:(2.7) 10 121. )()()( 0,0,miiiiii txttxXtgtt引进向量和矩阵记号有X G Xtxttm121 tgttm121 0121mxA tttt m13200000 B00121 tt
8、t m则（2.7）即半离散模型可表示为(2.8)0)()()()(XtGtBtAdtX这是一阶线性常微分方程组。下面考虑半离散模型（2.8）在定常情况下的稳定性。 （定常情形指消亡率、成活率、增消率都不随时间变化） 。在一个相对安定的环境下，方程（2.8）可变为：(2.9)0)()(XtBAdt其中TmTmxXtxtxtX ),(,)(),()( 0,12010121 A= B 1200m 0012 m称为种群的增生率.A、B 都是 m-1 阶常数方阵，容易得出 A+ 的特征多项式B= )(det)(BA)1(mi I)1(1jmiji(2.10)对于 的增生率 称为种群临界增生率0cr由（2
9、.10）易推得=cr 121321 12)()()( mmm 由文2的方法可证明下述结论引理 2.1: 0 是 A+ 的代数单特征值Bcr引理 2.2:当 时,A+ 有且只有一个正特征值,且此特征值的代数重数为 1r引理 2.3 当 时， A+ 的每个特征值都有负实部；且 A+ 的每cr B个非零特征值也具有负实部。从引理 2.1、引理 2.2、引理 2.3 易得定理 2.1：对于系统（2.9） ，如果 ， 那么系统是不稳定的；如果cr，那么系统是渐近稳定的，即对任意初始值 ，系统（2.9）的解cr0 0X随时间 t 的增加指数衰减到零的；如果 ，那么系统0)()XetBA cr稳定。上述结果
10、与文3中连续型方程的稳定性一致。3、离散种群发展方程为便于数值计算以利于统计分析，在定量计算中，为了用计算机求解种群发展方程，必须把 r 和 t 同时离散化。离散后的 r 和 t 我们 取整数值以年度为单位，将连续种群方程变成一个差分方程组，这即为种群发展过程的离散模型。离散模型不但适合于计算机计算、模拟和数据处理，而且又与传统的统计方法相一致。下面我们在半离散模型的基础上建立离散模型。对 r 离散，由半离散模型有 ，记,)()1drtptxiii为种群状态向量。)(,)(21txtxtXm再对 t 离散，单位取年，由(1.3)有p（r+ ）r, trgtrptrtrp ),(),(),(消去
11、 ，令 ，上式两边对 r 从 i 到 积分，得到1t 1(3.1)dtgtrxtiiiiii 11 ),(),()(对等式右边第一项应用积分中值定理，有 )(,),(,),(11 txdrtptdrtpr iiiii 这里 满足,ti),(max)()inf11 trtrirr 定义 为 t 年代 i 岁按年龄消亡率，则（3.1）为,i)()()(1 tgxtxt iiiii 或 (3.2)1,20,mtiiii 这里 1),()iii drtgt对于初始条件 p(r,0)= 作离散化处理，记 , )(0rp 1,32,)(10midrpxii 有(3.3)0201,)(XxXm对于边界条件，
12、p(0,t) 表示 t 时刻单位时间内种群的新增生数，取 ，则1tp(0,t)就是 t-1 年到 t 年新增生种种群数，由p(0,t)= = mdrprt0),()( 1),()(mii drtprt )()(1txtimi有 (3.4)()(),(1txttii（3.4）的实际意义是这样的， 表示 t 年代 I 岁种群的消亡数，tii表示消亡后 I 岁种群的消亡数， 表示消亡后 I 岁种)()(txtii )()(txii群的增殖更新数， 为成活率，则 表示 t 年代 I)(1)(0tttii岁种群的增生数。因此即 为 t 年代各年龄种群增生数。)(1xttimii如对于森林系统， 表示 t
13、 年 i 龄级林木采消率， 为 t 年代林木更新)(ti)(t率即林木更新棵数与采消棵数之比， 表示成活率，即 。因)(t )(10此 表示 t 年代 i 龄级林木采伐棵数，则 表示 t 年代 i 龄级)(txii )()(txtii林木更新增殖数， 表示 t 年代 i 龄级林木增值成活数，)()(txtii表示 t 年代各龄级林木增植成活总棵数。)()(1txtimii于是得到离散种群方程组（时间与林龄同步纯林离散模型）：)()()(10txttxmi ii001 tgtt (3.5)()()(112xx)()() 11tgttt mmm（3.5）是一个以年度为时间间隔的查分方程组，引进向量
14、和矩阵符号： TmtxtxtX)(,)(21G(t)= gg,0H0101002tttt m B0021 ttt则（3.5）可表示成 )()()()1( tGBttXHt 这里 H(t)称为种群状态转移阵，B(t)称为种群消亡阵 ,G(t)称为干扰向量，加上初始条件可得完整的种群发展离散模型)()()()1( tttt (3.6)0X（3.6）是一个离散的双线性系统， 是控制量，通过改变 来达)(t )(t到控制种群状态的目的。对于离散系统（3.6） ，由文23，可得到与半离散情形一致的稳定性结果。 参考文献： 1. 姜启元. 数学建模 2. 宋 健. 于景元, 人口控制论. 1985 ,19
15、0-2013. Wang Dingjiang , The Stability of Forest evolution systems and the Critieal Proliferation rate of forest ,Applied Functional Analysis. 1995.Vol2.235-2384. Song jian etal.Scientia sinica (seriesA) (2)1996.113-123 5. Pazy A. Semigroups of Linear operators and applications to partial differenti
16、al equations. Spinger-verlay New Yor ,1983A Class of Bio -population Model and Its stabilityAbstract: In this paper , We study a class of poplution evlution equations, the continuous model and semidiscrete models and discrete models of the population systems with age-dependent isestablisbed . We also discussed its stability .Key words : population model; semidiscrete; stability; eigenvalue
