1、 2012 届 本 科 毕 业 论 文圆锥曲线的性质及推广运用学 院 ： 数学科学学院 专 业 班 级 ： 数 学 与 应 用 数 学 08-1 班学 生 姓 名 ： 赵晓静指 导 教 师 ： 侯传燕 答 辩 日 期 ： 2012 年 4 月 20 日 新疆师范大学教务处 新疆师范大学 2012 届本科毕业论文0目 录1 引言 .42 圆锥曲线的分类，性质及应用 .52.1 圆锥曲线的分类 .52.2 圆锥曲线的性质 .52.3 圆锥曲线在生活中的应用 .83 圆锥曲线性质的推广应用 .93.1 利用圆锥曲线性质求解圆锥曲线的最值 .93.2 直线与圆锥曲线的位置关系的实际应用 .113.3
2、数学问题在圆锥曲线中的推广 .12参考文献： .14致 谢 .14新疆师范大学 2012 届本科毕业论文1圆锥曲线的性质及推广应用摘要：本文首先探究圆锥曲线在解析几何下的分类，总结了三类非退化圆锥曲线的性质及应用，主要利用平面解析几何的知识及数形结合思想，对圆锥曲线的基本性质及推广性质进行了总结和证明，并将它在日常生活中的应用和在解题中的应用做了简要说明。关键词：圆锥曲线；性质；推广；应用The nature and Promote application of the conic sectionsAbstracts: This article first explore the conic
3、sections in the classification analytic geometry. Summarizes the three types of a degenerate conic sections of the nature and application. Chief use of flat analytic geometry knowledge and combining ideas with. On the conic sections of the basic nature and promotional nature of the review and verifi
4、cation. And put it in our daily lives and in the solution of the application of the application of a brief explanation.Key words: The conic sections；Nature；Promote；Application；新疆师范大学 2012 届本科毕业论文2圆锥曲线的性质及推广应用引言圆锥曲线是解析几何的重要内容，是用代数方法来研究几何问题，它处于代数与几何的交汇处。圆锥曲线的性质及推广是其中的热点问题之一。圆 锥 曲 线 包 括 椭 圆 、 抛 物 线 、 双
5、 曲 线 和 圆 ， 通 过 直 角 坐 标 系 ， 它 们 又 与 二次 方 程 对 应 ， 所 以 ， 圆 锥 曲 线 又 叫 做 二 次 曲 线 。 圆 锥 曲 线 一 直 是 几 何 学 研 究 的重 要 课 题 之 一 ， 在 我 们 的 实 际 生 活 中 也 存 在 着 许 许 多 多 的 圆 锥 曲 线 。 研究圆锥曲线的分类和性质，有利于开阔学生的解题思路，沟通知识间的横向联系，培养学生的直觉思维和逻辑推理能力，而且能较高观点的理解圆锥曲线的定义。通过圆锥曲线的定义，基本性质，数形结合及巧设参数等方法加以解决。 我 们 生 活 的 地 球 每 时 每 刻 都 在 环 绕 太
6、阳 的 椭 圆 轨 迹 上 运 行 ， 太 阳 系 其 他 行星 也 如 此 ， 太 阳 则 位 于 椭 圆 的 一 个 焦 点 上 。 如 果 这 些 行 星 运 行 速 度 增 大 到 某 种程 度 ， 它 们 就 会 沿 抛 物 线 或 双 曲 线 运 行 。 人 类 发 射 人 造 地 球 卫 星 或 人 造 行 星 就要 遵 照 这 个 原 理 。 相 对 于 一 个 物 体 ， 按 万 有 引 力 定 律 受 它 吸 引 的 另 一 物 体 的 运动 ， 不 可 能 有 任 何 其 他 的 轨 道 了 。 因 而 ， 圆 锥 曲 线 在 这 种 意 义 上 讲 ， 它 构 成 了我
7、 们 宇 宙 的 基 本 形 式 。本文通过探讨圆锥曲线在解析几何下的分类及其性质，重点研究圆锥曲线的性质及推广应用。新疆师范大学 2012 届本科毕业论文32 圆锥曲线的分类，性质及应用2.1. 圆锥曲线的分类在（平面）直角坐标系中，设二次曲线的方程为 022 313211 ayxayxa记则我们称 是二次曲线的不变量， 为二次曲线的半不变量。321,I 1K由不变量给出二次曲线的分类：I 椭圆型： 02 椭圆 ， I31I 虚椭圆（无轨迹） ， 2031I 一点 ，23II 双曲型： 0I 双曲线 ，23 一对相交直线 ， IIII 抛物型： 2I 抛物线 ，03 一对平行直线 ， ，20
8、I1K 一对虚平行直线（无轨迹） ， ，203I1 一对重合直线 ， ，2I31当二次方程的图形是一点或直线的情形时，称二次曲线是退化的。因此从上述二次曲线的分类可知， 的符号判别了曲线的类型，而 或 就判别了曲2 03I3I线的非退化或退化的情形。椭圆，双曲线和抛物线这三种曲线统称为圆锥曲线。2.2.圆锥曲线的性质2212I21I 32311321aI3231aaK新疆师范大学 2012 届本科毕业论文42.2.1 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程x2y表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围
9、是_（答：12mx）)3,(,(（2）双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；x2y（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。2.2.2 椭圆的性质定义 1 平 面 内 与 两 定 点 F 、 F 的 距 离 的 和 等 于 常 数 2a(2a| F F |)的 动 点12 12P 的 轨 迹 叫 做 椭 圆 。 即 ： PF + PF =2a。定义 2 椭 圆 的 第 二 定 义 ， 准 线 方 程 及 离 心 率 。动 点 M(x,y)与 定 点 F(-c,0)的 距 离 和 它 到 定 直 线 L: x=- 的 距 离 的 比 是 常 数c2，
10、(ac0)时 ,M 点 的 轨 迹 即 为 椭 圆 。 即 到 定 点 距 离 与 到 定 直 线 的 距 离 的 比 等于 定 值 e (0c0)时，M点的轨迹即为双曲线。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值e (01时为双曲线。标准方程有四种形式，参数 的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）： 其中 为抛物线上新疆师范大学 2012 届本科毕业论文6定理 1 抛物线的过焦点的所有弦中，以抛物线的通经为最短。定理 2 设 AB 是抛物线 的长为 m 的动弦，则)0(2axy(1) 当 （通径长）时， AB的中点M到 x轴的距离的最小值为 ；am1 am412
11、(2) 当 （通径长）时， AB 的中点 M 到 轴的距离的最小值为 。2定理 3 抛物线焦点弦：设过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于A（x ,y ）,B(x ,y )两点 ，直线 OA 与 OB 的斜率分别为 k ,k ，直线 l 的倾斜角122 12为 ，则有 ， ， ， ， ， 。2.3.圆锥曲线在生活中的应用随着新课程理念的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产实际中的应用为背景的应用问题已经进入了我们的教材，并且越来越受到重视利用椭圆、双曲线、抛物新疆师范大学 2012 届本科毕业论文7线可以有效地解决数学、物理及生活实际中的许多问题下面举例说明圆锥曲线在实际生活中的应用2.3.1 生活
12、中的椭圆：油罐车的横截面。圆柱形的容器在同样容器的要求下，它的表面积最小也就是容器所用的材料最少，在装入物品后尤其是液体，对罐内壁各部分的受力大小情况也比较平均，而在高度和宽度（即车的允许高度和车的宽度）都有限制的情况下，其横截面作成椭圆形就可以达到既节省了罐体材料，也保证了容积，由利用了有限的“空间”和保证了罐体的稳定性。2.3.2 双曲线的应用：火电厂及核电站的冷却塔冷却塔从底部到中部直径变小，是将蒸汽抽到塔内，防止底部逸出，而上部直径变大，可以降低上升到顶部热气的流动速度，从而降低抽力，使蒸汽尽可能的留在塔内，提高冷却回收率。2.3.3 抛物线的应用：美丽的赵州桥采用抛物线的结构使得赵州
13、桥用料精简，结构稳定坚固，赵州桥距离现在 1400 多年，经历了 10 次水灾，8 次战乱，和多次地震，著名桥梁专家茅以升说过：先不管桥的内部结构，仅就他能够存在 1400 多年就说明了一切。探照灯截面由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面，他也有一条轴，即抛物线的轴，在这个轴上有一个奇妙的焦点，任何一条过焦点的直线反射出来以后，都将成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。3. 圆锥曲线的性质及推广应用3.1 利用圆锥曲线性质求解圆锥曲线的最值例4 设AB为过椭圆 中心的弦,)0(12bayax焦点 ,求 的最大面积。)0(,cFFAB分析： 利用割
14、补法，将 分割为 与FOA，再根据圆锥曲线的性质，求得其最值。OB解： 设 ，则由椭圆的对称性得 ，1,yxA1,yx则BOFFBFSS（由椭圆的性质知112yy bcyOFSAB1，且 时等式成立）所以 的最大面积为 。b1b反思：当整体面积不好求时，可将其划分为能直接求解的若干个面积之和。新疆师范大学 2012 届本科毕业论文8例5 已知双曲线 的右焦点为 ,点 .1692yxF)2,9(A试在双曲线上求一点 ,使 的值最小 ,并求这MA53个最小值。分析：由条件得该双曲线的离心率 ，与 互为倒数，3e设 为点 到对应准线的距离,可得 ,d MFd5把问题转化为求 的最小值.dMA解： 如
15、图， 为右准线, 作 于N,作 于 。l lNlA 由题意得 。由双曲线的第二定义有 ，所以35e F53AFA当且仅当M是直线 与双曲线右支的交点，即点 M为点 时， 2,3取最小值 。53故 的最小值为 。FA5369反思：利用圆锥曲线的性质，找出所求问题和已知条件之间的关系进行变形，转化为已知距离进行求解。例6 已知椭圆 的右顶点为 ，过 的焦点且垂直)0(1:21bayxC)0,1(A1C长轴的弦长为1.（1） 求椭圆 的方程1（2） 设点P在抛物线 上， 在点P处的切线与 交于点M,N.)(:22Rhxy2C1当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值。分析：本题主要考察椭圆、抛物线的几何性质，直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。xy 图6OMNAP
