1、 寒假课程高一数学1第六讲 函数与方程一、课标解读：1.了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；2.能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；3.根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；4.体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式 二、知识梳理：方程的根与函数的零点1.函数零点的概念：对于函数 把使 成立的实数 x叫做函 的零点.yfxD0fxyfxD2.函数零点的意义：函数 )(f的零点就是方程 )(f实数根，亦即函数 )(f的图象与 轴交点的横坐标.即方程 0x有实数根 函数 xfy的图象与 轴有交点
2、 函数 )(xfy有零点3.二次函数的零点：二次函数 )0(2acb时，方程 02cbxa有两不等实根，二次函数的图象与 x轴有两个交点，二次函数有两0个零点，方程 2有两相等实根，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点，方程 02cbxa无实根，二次函数的图象与 x轴无交点，二次函数无零点 0三、方法归纳：1、函数零点的求法：（1） （代数法）求方程 0)(xf的实数根；（2） （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 )(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点2、对于一元二次方程根的分布问题，可以利用一元二次方程和二次函数的关系，借助图象来处理.
3、 四、课堂例题精讲：寒假课程高一数学21.若函数 的两个零点是 2 和 3，则函数 的零点是_2fxab21gxba答案： 和13解析：由题意，得 ，解得 .20ab56ab ，令 ，很容易得到其零点为 和 .2651gxxgx1232.求函数 3)(f零点的个数为 .答案：3解析：因 332()2121()(1fxxx2)(1)xx，又 0显然有两个实数根，故 3f共三个零点.3.已知 的图象如图所示，今考虑 ，则方程1y 00f有三个实根；当 时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根） ；x当 时，恰有一实根；10当 时，恰有一实根；当 时，恰有一实根x则正确结论的编号为 .答案：解析： ，
4、，即 ，2310.590f10.f210f在 内有一个实根,由图中知，方程 在 上只有一个实根，所以 正确；fx,又 ，由图知 在 上没有实数根，所以不正确；0.1f0fx1,又 ， ，即 ，50.5.3650.1f0.51f所以 在 上必有一个实根，fx,又 ， 在 上也有一个实根0.fx0,. 在 上有两个实根，不正确；fx,1由 且 在 上是增函数， 在 上没有实根不正确f,0fx1,并且由此可知也正确4.若函数 （ 且 ）有两个零点，则实数 a 的取值范围是 .xfa01a答案： 1解析：设函数 (,xy且 ）和函数 yx，寒假课程高一数学3则由函数 （ 且 ）有两个零点，知xfa01
5、a函数 (0,xy且 ）与函数 yx有两个交点，1由图象可知当 时两函数只有一个交点，不符合，当 1a时，函数 ()xya的图象过点 ，0,1而直线 所过的点一定在点 的上方，所以一定有两个交点.,所以实数 a 的取值范围是 1.5.当关于 x的方程的根满足下列条件时，求实数 a的取值范围：（1）方程 2340的两根都小于 ；（2）方程 a至少有一个实根小于 1解析：（1）当 时， x满足题意 当 0时，设 2()34fax. 若要方程两根都小于 1，只要 239160423() 5aaf a即04a综上，方程的根都小于 1 时， 304a（2）设 2()fxa，若方程的两个实根都小于 ，1则
6、有 8022123()af即 3a若方程的两个根一个大于 ，另一个小于 1，则有 ()0f， 3a若方程的两个根中有一个等于 ，由根与系数关系知另一根必为 2， 12a， 3a 综上，方程至少有一实根小于 1时， 2a6.已知二次函数 2()fxbc和一次函数 ()gxb，其中 ac，且 (1)0f，（1）求证：两函数 、 ()g的图象交于不同两点 A、 B；（2）求线段 AB在 x轴上投影 1AB长度的取值范围寒假课程高一数学4解析：（1） (1)0fabc， abc， 0a， c由2yx即得 2()x，因为 2()40bac，所以两函数 ()fx、 g的图象必交于不同的两点；（2）设 1,
7、Axy， 2,B，则 21|AB 221)4ca 0abc， abc， a， 1|AB（ 23， ） 7.关于 x 的二次方程 在区间 上有解，求实数 m 的取值范围210xmx,2解析：设 ， ，f若 在区间 上有一解， ，则应有 ，0x,201f20f又 ，解得 .21f32若 在区间 上有两解，0x,则 ，即 ，解得120mf21403m312m由可知 .五、课堂训练：1.已知函数 有零点，则 a 的取值范围是_2xfea答案： ,ln解析：设 ， ，当两条曲线相切时，函数有零点，再通过图像即可得到答案 .xgehx2.设全集为 R，集合 |sin(2),642Ayx，集合 |RBa关于
8、 x 的方程 012ax的根一个在 上，另一个在 上. 求（ RA） （ RB）.0,11,解析：由 24xx即， 51,sin()13626xx，即 1|Ay， RA |y即寒假课程高一数学5又关于 x 的方程 012ax的根一个在 上，另一个在 上，0,11,2设函数 )(f，则满足0,2(1)50,fa即， 52a | 2RBa即（ RA）（ RB） 15| 22xx即3.设 1x与 2分别是实系数方程 20abc和 0abc的一个根，且 122,0xx ，求证：方程 0abxc有且仅有一根介于 1x和 2之间.解析：令 2(),f由题意可知 2210,0abcaxbc故 1122,bx
9、cabxc则 211() ,f x2223() ,aafxxcx因为 120,0x 2()0f，即方程 2abc有且仅有一根介于 1x和 2之间.4.已知函数 有且仅有一个零点，求 m 的取值范围，并求出该零点41xxfm解析： 有且仅有一个零点，即方程 仅有一个实根2210xx设 ，则 .20xt0t当 0 时，即 m240， ，2当 m2 时，t1；m2 时， t1（不合题意，舍去） ，2 x1 ，解得 x0 符合题意当 0 时，即 m2 或 m0 的解集是_寒假课程高一数学63.若函数 2()4fxa的零点个数为 3，则 a_.4.当关于 的方程的根满足下列条件时，求实数 的取值范围：
10、（1）方程 2270的两个根一个大于 2，另一个小于 2；（2）方程 (4)53xaa的两根都在区间 1,3上；（3）方程 22713x的一个根在区间 (0)上，另一根在区间 (1,2)上；5.已知 a 是实数，函数 f（x ）2ax 22x3a.如果函数 yf（x）在区间1，1 上有零点，求 a 的取值范围参考答案：1. 或6m22. x| 320，即（4x 22x6）02x 2x30，故解集为 x| 32x13. 答案：3解析：作出函数 24yx与函数 4y的图象，发现它们恰有 3个交点.4. 解析：（1）设 2()70fa，其图象为开口向上的抛物线若要其与 x轴的两个交点在点 (,)的两
11、侧，只需 (2)0f，即 24， 13a （2）设 2()(4)5fxax则方程两个根都在 1,3 上等价于：22(1)0340346()()02faaf 01a 寒假课程高一数学7（3）设 22()7(13)fxaxa，则方程一个根在 (0,)上，另一根在 (1,)上等价220(0)183aff12403a即a 或 34a5.解析：当 时， ()fx ，显然在 1,上没有零点， 所以 0a.令 24840aa， 解得 372a 当 37时， yfx恰有一个零点在 1,上； 当 0511af ，即 5a时， yfx在 1,上也恰有一个零点. 当 yx在 ,上有两个零点时， 则 208410af或 208410af解得 5a或 352.综上所求实数 的取值范围是 1a或 352.
