1、 1不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。注意 的变式应用。常用 (其中 )来解决有关根式不等式的问题。ab2222baRa,一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。1、已知 a,b,c 均为正数，求证： acbacba1121证明：a,b 均为正数， 0)(4)(4)(4 2 b同理 ，0)(142cbcb )(12caca三式相加，可得 012aa cbcb121二
2、、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。2、a、b、 ),0(c， 1cba，求证： 3122cba证： 222 )(3 22)()(3cba0)()()( 222acba3、设 、 、 是互不相等的正数，求证： )(44 cbacba证： 24b 2 24ac 244 acacba cab222同理： abc22 bca22 )(22ccb4、 知 a,b,c ，求证: R )(222 c2证明： )(22222)( babab即 ，两边开平方得22ba )(22同理可得 三式相加，得)(cb)(2ac222 ba5、 ),0(yx、
3、 且 1yx，证：9)1(yx。证：)(1 )(25)(2yxx9256、已知 .911, babaR求 证 ：策略:由于 的 背 后 隐 含说 明 ,42, Rab .41 ab着 一 个 不 等 式证明： 。1,abR.91 .9812 ba ab而三、分析法分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。7、已知 a、 b、 c为正数，求证：)3()2( abcab证：要证：)3()2( cab只需证： 32c即： 3cc 33abab成立 原不等式成立8、 ),0(ba、 且 1ba，求证 c。证： 3c3)(2即： 22c3 ba2 cb
4、2 ca2即 2)()(22 cabacb原命题成立四、换元法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。9、 1b，求证： 1)(12bab。证明：令 sina k sin 2k左 coisncoi 1)s( 1)(12bb10、 2yx，求证： 2yx证：由 12设 cos， in 2,)4sin(2sicoyx yx11、已知 abc,求证： .4caba证明：ab0, bc0, ac0 可设 ab=x, bc=y (x, y0) 则 ac= x + y, 原不等式转化为证明 即证 ，即证 原不等式成立（当yx41)1(yx42xy2
5、yx仅 x=y 当“=”成立）12、已知 1x y 2，求证： x xyy 3222证明：1x y 2，可设 x = rcos ，y = rsin ，其中 1r 2，0 222x xyy = r r sin = r (1 sin )， 1 sin ， r r (1 sin2 2113121) r ，而 r ， r 3 x xyy 33123213、已知 x 2xyy 2，求证：| xy | 2 10证明：x 2xyy = (xy) y ，可设 xy = rcos ，y = rsin ，其中 0r ，0 22 2| xy | =| xy2y | = | rcos 2rsin | = r| sin
6、( ractan )| 521r51014、解不等式 1524解：因为 =6，故可令 = sin ， cos ， 0， 22)1()5(xx561x62则原不等式化为 sin cos 所以 sin + cos6212由 0， 知 + cos 0，将上式两边平方并整理，得 48 cos2 +4 cos 2302解得 0cos 所以 x6cos 2 1 ，且 x1，故原不等式的解集是x|-1x468247. 124715、1 x 2x证明：1x 0，1x1，故可设 x = cos ，其中 0 则 x = cos = sin cos = sin( )， ，212cos124431 sin( ) ，即
7、1 x 421x五、增量代换法在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如 abc)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简16、已知 a，b R，且 ab = 1，求证：(a2) (b2) 225证明：a，b R，且 ab = 1，设 a = t，b= t， (t R)1则(a2) (b2) = ( t2) ( t2) = (t ) (t ) = 2t 22222252(a2) (b2) 5六、利用“1”的代换型17、.91 ,1 , cbacbaRcba求 证 ：且已 知策略：做“1”的代换。证明
8、： 1 9233cba.七、反证法反证法的思路是“假设 矛盾 肯定” ，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。18、若 p0，q0，p q = 2，求证：pq2证明：反证法3假设 pq2，则(pq) 8，即 p q 3pq (pq)8，p q = 2，pq (pq)23 3故 pq (pq)2 = p q = (pq)( p pqq )，又 p0，q0 pq0，322pqp pqq ，即(pq) 0，矛盾故假设 pq2 不成立，pq2219、已知 a、 b、 c（0，1），求证： ba)1(， c)(， a)1(，不能均大于 41。5证明：假设 ba
9、)1(， c)(， a)1(均大于 41 )(a， b均为正 242)1(ba同理 214)1()( cbc21)(ac 21( aba 3不正确 假设不成立 原命题正确20、已知 a,b,c（0，1） ，求证：（1a）b, （1b）c, （1c）a 不能同时大于 。41证明：假设三式同时大于 0a1 1a0 4 21)(2)1( baba21、 a、 b、 Rc， cba， cb， 0cb，求证： 、 、 c均为正数。证明：反证法：假设 、 、 不均为正数 又 a a、 b、 两负一正不妨设 0， ， 0c 又 c 0)(c同乘以 )(ba 2)()(bac即 0)(22bab，与已知 cb
10、a矛盾 假设不成立 、 、 c均为正数八、放缩法放缩时常用的方法有：1 去或加上一些项 2 分子或分母放大（或缩小）3 用函数单调性放缩 4 用已知不等式放缩22、已知 a、b、c、d 都是正数，求证：1 2cbadacbd证明： ， ，cbab ， ，dcbaddcaa将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1 2bdcabd23、*Nn，求证： 12312)1(2 nn 。6证明： )1(2121kkk)1(22kkk )1()3()(2 nn1n )1(2)3(2)1(2 nn )1(2n判别式法24、A、B、C 为 的内角， x、 y、 z为任意实数，求证： Ayzxcos22xyzco
11、s2s。证明：构造函数，判别式法令 )csscos2()(2 CxyBzAyzyxf )cos(2CyBzx 为开口向上的抛物线)cs(4)cso(422yzyzosinsi22 Az)sincs(2cs2 CByzCByyBz inssisi422zC0)in42无论 y、 z为何值， 0 Rx 0)(xf 命题真九、构造函数法构造函数法证明不等式 24 设 0a、b、c2，求证：4ab c abc2ab2bc2ca2证明：视 a 为自变量，构造一次函数 = 4ab c abc2ab2bc2ca = (bc2b2c4)(af2a(b c 2bc)，由 0a2，知 表示一条线段又 = b c
12、2bc = (bc) 0， = b2 )0(f22)(fc 4b4c8 = (b2) (c2) 0，22可见上述线段在横轴及其上方， 0，即 4ab c abc2ab2bc2ca)(af2构造向量法证明不等式 根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系 | | |，就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化应用这一方法证明一些具有mn和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握25、 设 a、bR ，且 ab =1，求证：(a2) (b2) 225证明：构造向量 = (a2，b2)， = (1，1)设 和 的夹角为 ，其中 0 nmn7| | = ，| | = ， =
13、 | | |cos = m22)()(ban2mn22)()(bacos ；2另一方面， = (a2)1(b2)1 = ab4 = 5，而 0|cosn|1，所以 5，从而(a2) (b2) 22)()(ba 225构造解析几何模型证明不等式 如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决 26、设 a0，b0，ab = 1，求证： 2 12ab2证明：所证不等式变形为： 2这可认为是点 A( )到直线 xy = 1a2b0 的距离但因( ) ( ) = 4
14、，故点 A 在圆 x y = 4 (x0，y0)上如图所示，ADBC，半径12a21b22AOAD，即有： 2，所以 2 1ab21实数绝对值的定义: |a|= 这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。 2最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若 a0 时，则 |x|a xa。 注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x| 可看作是数轴上的动点 P(x)到原点的距离。 3常用的同解变形 |f(x)|g(x) f(x)g(x)；|f(x)|g(x)| f2(x)g2(x)。 4三角形不等式: |a|-|b|ab|a|+|b|。 yxxy = 02ABDCO8高中数
15、学复习专题讲座 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t/.jt/.j hp:/.xjktygcow126:/.jt /.jm/.j htp:/.xjkygco126t:/.j t/w.jt/.j头 hp:/.xjktygcom126:/.jt /.jw/.j关于不等式证明的常用方法高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本节着重培养考生数学式的变形能力，逻辑
16、思维能力以及分析问题和解决问题的能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 重难点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 不等式证明常用的方法有 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)比较法证不等式有作差(商 )、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/w
17、xjkygco 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 不等式证明还有一些常用的方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法 等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 换元法主要有
18、三角代换，均值代换 两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 放缩法 是不等式证明中最重要的变形方法 之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑 反证法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 凡是含有“至少” “惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点
19、头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 证明不等式 (nN *)3命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题是一个与自然数 n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等 头htp:
20、/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 此题易出现下列放缩错误 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 23nnn 个这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题证法一采用数学归纳法从 n=k 到 n=k+1 的过渡采用了放缩法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 证法二先放缩，后裂项，有
21、的放矢，直达目标 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 证法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)当 n 等于 1 时，不等式左端等于 1，右端等于 2，所以不等式成立 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (2)假设 n=k(k 1)时，不等式成立，即 1+ 2 ，k132,121)(1)(23kkk则当 n=k+1 时，不等式成立 头htp:/w.xjkygcom126t
22、:/.j 9综合(1)、(2)得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 当 nN *时，都有 1+ 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j n312另从 k 到 k+1 时的证明还有下列证法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco ,1121212: .,0),()(1)(2 kkkkkk又 如 .证法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 对任意 kN *，都有 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 证法三 头htp:/w.xjkygc
23、om126t126.hp:/wxjkygco 设 f(n)=.2)1(2)3(2)1(2321, nnn 因 此),1(2n那么对任意 kN * 都有 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 01)()1(2)(11)()1( 2kkkkfff(k+1)f( k)因此，对任意 nN * 都有 f(n)f (n1)f(1)=10， .21321例 2 求使 a (x0，y0) 恒成立的 a 的最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j yx命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题考查不等式证明、求最值
24、函数思想、以及学生逻辑分析能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 该题实质是给定条件求最值的题目，所求 a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把 a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题解法三利用三角换元后确定 a 的取值范围，此时我们习惯是将 x、y 与 cos 、sin 来对应进行换元，
25、即令 =cos ， =sin (0 )，这样也得 asin +cos ，但是这种换元是错误的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 其原y2因是 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)缩小了 x、y 的范围 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (2)这样换元相当于本题又增加了 “x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典
26、型，即若参数 a 满足不等关系，af (x)，则 amin=f(x)max 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 若 af(x) ，则 amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由于 a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp
27、:/wxjkygco 10x+y+2 a 2(x+y)，即 2 ( a21)(x+y)， x，y0，x +y2 ， 当且仅当 x=y 时， 中有等号成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 比较、得 a 的最小值满足 a21=1，a 2=2，a= (因 a0) ，a 的最小值是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j yxyu )(2x0，y0，x +y2 (当 x=y 时“= ”成立)， 1， 的最大值是 1 头htp:/w.xjky
28、gcom126t:/.j 2x从而可知，u 的最大值为 ，又由已知，得 au，a 的最小值为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法三 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y0，原不等式可化为 +1a ，xy设 =tan ， (0， ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j yxtan +1a 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 即 tan +1ase ctnasin +cos = sin( + )， 4又sin( + )的最大值为 1(此时 = ) 头htp:/w.xjkygcom126t
29、:/.j 4由式可知 a 的最小值为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 3 已知 a0， b0，且 a+b=1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (a+ )(b+ ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 45证法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (分析综合法）欲证原式，即证 4(ab)2+4(a2+b2)25ab+4 0，即证 4(ab)233(ab)+80，即证 ab 或 ab8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4a0，b0，a+b=1 ，ab8 不可能成立1=a+b2 ，ab ，从而得证 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1证法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (均值代换法)设 a= +t1，b= +t2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
