1、单调有界原理的一个重要应用数学分析单调有界原理:复习回顾 M x m x有界的单调数列必有极限。 nx 1nx 1x 2x anx1nx 1x2xb关于银行复利的问题雅各布伯努利Jakob Bernoulli半年单独结算一次，那么利率降低到50%，一年利息的周期，将能获得更多的利息。引 例问题：我们的钱会无限增长下去，使我们变为百万富翁吗？考虑一年的定期存款，利率为100%，初始存款为1英镑。一年后的本息和为2英镑。现在每后的本息和为2.25英镑。如果将一年划分为四个季度，那么每个季度的利率为25%，我们发现1英镑的本金一年后增加到2.441 英镑，我们的钱在增加，而对于10000英镑的本金来
2、说，如果能进一步缩短计算季度 2.44141月 2.61304周 2.69260天 2.71457贩 贩1(1 )nna n= +1n =2a =21 1 11 (1 ) 2.252 2 21(1 )2+ + + = +2n =3a =31( 2.370371 )3+3n =分 析每 ？ 计算一次复利 本 息 之 和年 2.00000半年 2.25000四个月 2.37037数 据 表n越大, 1(1 )nn+ 的值也越大,（严格证明稍后给出）1(1 )nn+速度越来越慢,幅度也越来越小.n变大时, 的值递增的1(1 )nn+1(1 )nn+n证明：利用二项式定理 , 设 证明数列1(1 )
3、( 1, 2, ),nnx nn= + = L nx 极限存在 。1(1 )nnx n= +111! nn= +( 1) ( 1)!1nn n n nn n+ - 鬃1 1 2(1 )(1 )3! n n+ - - +鬃1 1 2 1(1 )(1 ) (1 )!nn n n n-+ - - 鬃0 1 1 n n n k n k k n nn n n na b C a C a b C a b C b- -+ = + + + + +( ) L L0 1 2k = , , , ,L1 2 1knn n n n kCk- - - += ( )( ) ( )!L1. 1 1 nn+( )3( 1)( 2
4、)3!1nn n n+ - - +鬃2( 1)21! nn n-+例12= 12!+ 1(1 )n-2. 有上界),2,1(1 nxx nn比较可知，1 1(1 )!n n+ -2(1 )n-1(1 )nn-L2nx 1 1(1 )2! n- 2(1 )n-1 1(1 )3! n 1 2nx + = +1 1(1 )2! 1n- +1 1 2(1 )(1 )3! 1 1n n+ - -+ + +L1 1 2(1 )(1 ) (1 )( 1)! 1 1 1nn n n n+ - - -+ + + +L正大 大1 1 2 1(1 )(1 ) (1 )! 1 1 1nn n n n-+ - - -+
5、 + +L大根据单调有界原理可知，数列 nx而且e 是无理数 , 其值为2.718281828459045L。记此极限为 e ,即极限存在。1 1 121 2 2 3 ( 1)n n + + + + 鬃 L1 1 1 1 12 (1 ) ( ) ( )2 2 3 1n n= + - + - + + -L13 n= -1lim(1 ) e,nn n+ = 其中e为自然对数之 ，1(1 )nnx n= +1 1 122! 3! !n + + + +L3.关于银行复利的计算雅各布伯努利Jakob Bernoulli考虑一年的定期存款，利率为100%，初始存款为1英镑。一年后的本息和为2英镑。现在每半
6、年单独结算一次，那么利率降低到50%，一年后的本息和为2.25英镑。如果将一年划分为四个季度，那么每个季度的利率为25%，我们发现1英镑的本金一年后增加到2.441 英镑，我们的钱在增加，而对于10000英镑的本金来说，如果能进一步缩短计算利息的周期，将能获得更多的利息。引 例问题：我们的钱会无限增长下去，使我们变为百万富翁吗？NO!极限 利用 1lim(1 ) ,nn en + =1lim(1 )n kn n+1lim(1 ) ,n kn n+： 其中 为 定的 数。ke=1 1lim(1 ) lim(1 )n kn nn n = + 此 中我们 利用 极限1lim(1 ) ,nnen+ =有 之 可能 用 个结 ， 1lim(1 ) .e+ =WW W1 1 1(1 ) (1 ) (1 )n k n kn n n+ = + 1 e=例2利用极限的四 算
