1、构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为=A（其中 A 为常数）形式，根据等差数列的定义知 是等差数列，根(1)(fnf )(nf据等差数列的通项公式，先求出 的通项公式，再根据 与 ，从而求出 的通项)(nf )(fan公式。例 1 在数列 中， = ， = （ ） ，求数列 通项公式.na121na3nNn解析：由 an+1= 得，a n+1 an=3 an+1-3 an=0，两边同除以 a
2、n+1 an 得， ，3n nna13设 bn= ，则 bn+1- bn= ，根据等差数列的定义知，11数列b n是首相 b1=2，公差 d= 的等差数列，31根据等差数列的通项公式得 bn=2 （n-1）= n315数列通项公式为 an= 53评析：本例通过变形，将递推公式变形成为 形式，应用等差数列的通Aan1项公式，先求出 的通项公式，从而求出 的通项公式。na1na例 2 在数列a n中，S n 是其前 n 项和，且 Sn0，a 1=1，a n= (n2)，求 Sn 与 an。12S解析：当 n2 时，a n=Sn-Sn-1 代入 an= 得，S n-Sn-1= ，变形整理得 Sn-S
3、n-1= 1212nSnSn-1 两边除以 SnSn-1 得， - =2， 是首相为 1，公差为 2 的等差数列nS1n =1+2（n-1）=2n-1, S n= (n2),n=1 也适合，S n= (n1)n1 12 当 n2 时，a n=Sn-Sn-1= - =- ，n=1 不满足此式，1233842na n= 13842n评析：本例将所给条件变形成 ，先求出 的通项公式，再求Anff)(1( )(nf出原数列的通项公式，条件变形是难点。二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1 ） =Af（ n） （其中 A 为非零
4、常数）形式，根据等比数列的定义知 是等比数列，根据)(nf等比数列的通项公式，先求出 的通项公式，再根据 与 ，从而求出 的通项公式。)(nf )(fa例 3 在数列a n中，a 1=2， an=an-12(n2)，求数列a n通项公式。解析： a 1=2，a n=an-12(n2)0，两边同时取对数得，lg a n=2lg an-1 =2， 根据等比数列的定义知，数列lg an是首相为 lg2，公比为 2 的等比数lgn列，根据等比数列的通项公式得 lg an=2n-1lg2= 12lg数列通项公式为 an= 12评析：本例通过两边取对数，变形成 形式，构造等比数列 ，1lo2lnnalog
5、na先求出 的通项公式，从而求出 的通项公式。nloga例 4 在数列a n中，a 1=1， an+1=4an+3n+1，求数列a n通项公式。解析：设 an+1+A（n+1 ）+B=4（a n+An+B） ， （A、B 为待定系数） ，展开得an+1=4an+3An+3B-A，与已知比较系数得 1332BAa n+1+（n+1）+ =4（a n+n+ ） ，根据等比数列的定义知，3232数列a n+n+ 是首项为 ，公比为 q=3 的等比数列，a n+n+ = 3n-18 328数列通项公式为 an= 3n-1-n-332评析：待定系数法是构造数列的常用方法。例 5 在数列a n中，a 1=
6、1 ，a n+1an=4n ，求数列a n通项公式。解析：a n+1an=4n a nan-1=4 n-1 两式相除得 =4 ，1aa 1，a 3，a 5与 a 2，a 4 ，a 6 是首相分别为 a1，a 2 ，公比都是 4 的等比数列，又a 1=1，a n+1an=4n ，a 2=4a n= n24练习：1.已知数列 满足 ， ，求na321nna1解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘1n )(, )1(n之，即 13421naa n1432an又 ，解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘1na)1(,3,21nn)1(n之，即 13421na n432an1又 ，a
7、2. 数列a 满足 a =1，a = a +1（n2） ，求数列a 的通项公式。n1n1n解：由 a = a +1（n2）得 a 2= （a 2） ，而 a 2=1 2=1， 1n1数列 a 2是以 为公比，1 为首项的等比数列na 2=（ ） a =2（ ）2nn21n3. 数列 中， ，求数列 的通项公式。n na1213, n解：由 得 设n23,n )(112nkahk比较系数得 ，解得 或3khk， 3hk,若取 ，则有1,h)(12nnaa 是以 为公比，以 为首项的等比数列1na 21 1)3(n由逐差法可得 1221)()() aaan= 33(2n= =13)(n 11)3(
8、47)3(4 nn4. 设各项均为正数的数列 的前 n 项和为 ，对于任意正整数 n，都有等式：anS成立，求 的通项 an.nnSa2n解： ，41214n nnn S)(1， ， . 即 是以 2 为公差的0)( 0a21nan等差数列，且 .112a an（1）通过分解常数，可转化为特殊数列a +k的形式求解。一般地，形如 a =p n 1na +q（p1，pq0）型的递推式均可通过待定系数法对常数 q 分解法：设 a +k=p（an+k）与原式比较系数可得 pk k=q，即 k= ，从而得等比数列 a +k。n 1pn（2）通过分解系数，可转化为特殊数列 的形式求解。这种方法适用于na
9、型的递推式，通过对系数 p 的分解，可得等比数列 ：设nnqapa1 1na，比较系数得 ，可解得 。)(12khk qhk, kh,3、构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式.（1）构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.（2）构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.（3）构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种常用方法。（4）构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
