1、无锡市普通高中 2017 年秋学期高三期终调研考试试卷数学一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）1. 已知集合 ， ，若 ，则实数 _【答案】3【解析】 ,故 2. 若复数 （ ， 为虚数单位）是纯虚数，则实数 _【答案】6【解析】 为纯虚数，故 3. 某高中共有学生 2800 人，其中高一年级 960 人，高三年级 900 人，现采用分层抽样的方法，抽取 140 人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为_【答案】47【解析】由已知，高二年级人数为 ，采用分层抽样的方法 ，则抽取高二的人数为 .4. 已知 ，直线 ， ，则直线
2、 的概率为_【答案】【解析】由已知 ，若直线 与直线 垂直，则 ，使直线 的，故直线 的概率 5. 根据如图所示的伪代码，当输入 的值为 3 时，最后输出的 的值为_【答案】21【解析】由图中的伪代码逐步运算： ， ; 是， , ， ; 是， , ， ; 是， , ， ; 否，输出 。6. 直三棱柱 中，已知 ， ， ， ，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_【答案】【解析】是直三棱柱， ，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上， 是球的直径， ； ， ， ；故该球的表面积为 7. 已知变量 满足 ，目标函数 的最小值为 5，则 的值为_【答案】5【解析】如图 为满足条件的可行域，由
3、 得 ，当直线 过点 时 有最小值 5，此时 ，解得 坐标为 ，代入 得 .【点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：1.在坐标系中作出可行域；2.根据目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；3. 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从面确定最优解；4.求最值：将最解代入目标函数即可求最大值与最小值.8. 函数 的图像向右平移 个单位后，与函数 的图像重合，则 _【答案】【解析】平移后的函数的解析式为 ，此时图像与函数 的图像重合，故, 即 .9. 已知等比数列 满足 ，且 ， ， 成等差数列，则 的最大值为_【答案】1024【解析】由已知得 ； 当 或 时得最大
4、值 .【点睛】本题有以下几个关键之处：1.利用方程思想求得首项和公比，进而求得通项；2.利用转化化归思想将问题转化为二次函数最值问题；3.本题易错点是忽视 的取值是整数，而误取 .10. 过圆 内一点 作两条相互垂直的弦 和 ，且 ，则四边形的面积为_【答案】19【解析】根据题意画出上图，连接 ，过 作 ， ， 为 的中点， 为的中点，又 ， ，四边形 为正方形，由圆的方程得到圆心 ，半径 ， 【点睛】本题的关键点有以下：1.利用数形结合法作辅助线构造正方形 ；2.利用勾股定理求解.11. 已知双曲线 与椭圆 的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线 的左，右焦点， 为右支上任意一点，则 的
5、最小值为_【答案】8【解析】由已知 ， ， ； 又双曲线 与椭圆焦点重合，离心率互为倒数， ，则双曲线 ； 在右支上 ，根据双曲线的定义有 ， ，故 的最小值为 .【点睛】解答本题有 3 个关键步骤：1、利用双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数求出曲线方程；2、利用双曲线定义 求出 ；3、将 代入 整理后再利用基本不等式求出最小值.12. 在平行四边形 中， ， ， ， 为 的中点， 为平面 内一点，若 ，则 _【答案】6【解析】13. 已知函数 ， .若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】当 时， 在 恒成立在 为减函数 ，当 时 ；当 时，.综上 ，欲使 成立需： .【
6、点睛】本题的解题关键是利用导数工具和函数的单调性取得函数 ，再利用图像的对称原原理将问题转化为 ，从而求得正解.14. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】由已知可得 ，当 时， 要使得原命题成立需： ；当 时， 要使得原命题成立需： .综上 .二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图， 是菱形， 平面 ， ， .（1）求证： 平面 ；（2）求证： 平面 .【答案】 （1）见解析；（2）见解析.试题解析：（1）证明：因为 平面 ，所以 .因为 是菱形，所以 ，因为所以 平面 .（2）证明：设 ，取 中点
7、 ，连结 ，所以， 且 .因为 ， ，所以 且 ，从而四边形 是平行四边形， .因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，即 平面 .16. 在 中，角 的对边分别为 ， ， .（1）求 的值；（2）若 ，求 的周长.【答案】 （1） .（2）15.【解析】试题分析：（1）由三角形内角关系结合两角和与差公式有，所以根据已知条件求出 即可求出 . （2）根据正弦定理 结合 ，即可求出 的值，再利用余弦定理，求出 的值.试题解析：（1）因为 ，所以.在 中，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 .（2）根据正弦定理 ，所以 ，又 ，所以 ， .， .所以 的周长为 15.17. 如图，点 为某沿海城市
8、的高速公路出入口，直线 为海岸线， ， ，是以 为圆心，半径为 的圆弧型小路.该市拟修建一条从 通往海岸的观光专线 ，其中 为 上异于 的一点， 与 平行，设 .（1）证明：观光专线 的总长度随 的增大而减小；（2）已知新建道路 的单位成本是翻新道路 的单位成本的 2 倍.当 取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】 （1）见解析;（2） .【解析】试题分析：（1）利用扇形弧长公式求出 ，利用直角三角形边角关系求出，则总长为 ，求出 为减函数，命题得证.（2）设单位成本为 ，则总成本为 ， ，求出 ， 求出 ，分两区间 讨论 的单调性，以证明为极小值点.试题解析：（1）由题意，
9、 ，所以 ，又 ，所以观光专线的总长度， ，因为当 时， ，所以 在 上单调递减，即观光专线 的总长度随 的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为 ，则总成本 ， ，令 ，得 ，因为 ，所以 ，当 时， ，当 时， .所以，当 时， 最小.答：当 时，观光专线 的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低” 、 “用料最省” 、 “面积最大” 、 “效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.18. 已知椭圆 的离心率为 ， 分别为左，右焦点， 分别为左，右顶点，原点 到直线 的距离为 .设点 在第一象限，且 轴，连接 交椭圆于点 .（1）求椭圆 的方程；（2）若三角形 的面积等于四边形 的面积，求直线 的方程；（3）求过点 的圆方程（结果用 表示）.【答案】 （1） .（2） .（3） .【解析】试题分析：（1）由离心率为 ，得 ， ，利用 两点坐标可得 的方程为 ，由圆心到时直线的距离公式求得 ，则 .（2）设 ， ，由
