1、12007 年河海大学线性代数试卷-12007 年 11 月一填空题（每小题 3 分，共 15 分）1设 ，则 24 。097486521AA2设 为三阶方阵，且 ，则 500 。|723|1*3设 是 阶矩阵， 的秩 ，则齐次线性方程组 AnmA),()(nrmr的基础解系所含解向量的个数是 n-r 。x4设 3 阶方阵 的特征值是 1，2，3，则 的伴随矩阵 的特征值是 *62A38，22，18 。5设二次型 ，则二次型 的系数矩3212321321 45),( xxxxf f阵为 502二选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1设 是 3 3 矩阵，且 ，又 ，A2Ar504321B则
2、 （ B ） 。rTA1 ； B. 2 ； C. 3 ； D. 不确定2. 设向量组 线性无关, 则下列向量组中线性无关的是( D )。31,A ；1322,B ；231 C ；321321321 5, D 3设 是 3 阶方阵，且 ， 是 的伴随矩阵，则（ A ） 。AA*A ； B. ； *C. ； D1 T*4设 ，则 （ C ） 。1121 nDn nA ； B ；! 2)(C ； D )(nn5设 都是 阶方阵，且 与 相似,则（ D ） 。, ABA ； B 与 有相同的特征值和特征向量；EC 与 都相似于一个对角矩阵； BD对任意常数 , 与 相似tt三计算题（共 54 分） 1
3、 （本题 8 分）计算行列式： 。641279384D解：D 4= = = = =126327015863271582406122 （本题 10 分）设 为 3 阶方阵，已知 ，并且 满足：BA, 1052ABA,，求矩阵 。1*EBAA*=|A|A-1 （A *） -1=|1B=（A *） -1（E+A -1）A -1= （E+A -1）A -1|= （A+E -1）A -1= （E+A -1）|1|1|A|= =3 A-1= =10521052 10325B=31 09152031503（本题 14 分）设方程组 , 试问 分别为何值时2321321(1)方程组有唯一解；(2)方程组无解；
4、(3)方程组有无穷多解,并求出通解表示式。解： 2112322101 )1()2(102（1） -2 且 1 时，方程组有唯一解。（2） =-2 时，方程组无解。（3） =1 时，有无量多解，通解：3231x4 （本题 12 分）求矩阵 特征值与特征向量。12A解(1) 0)5(5931 2- - 22 AE5,1特 征 值 为当 =-5 时 0 12 2 0-4 2- 4- - 2 4- AI特征向量可取为 1=（-1，-1，1）当 =1 时30 1- 2 - AI取特征向量为 2=（1，1，0） ， 3=（1，1，0） ，593:,122 )(1, 或即 为的 特 征 值 为则 的 特 征
5、 值 为则的 特 征 值设 iiiAE5 （本题 14 分）设 , , , , )4,(1)210(2)1470,3()105,2(1)求向量组 的一组极大线性无关组；32,(2)求一组与向量组 的极大线性无关组等价的单位正交向量组。41,（1） 01232031425730取 即为 的极大无关组。1,3,（2） ， )4,21(1 )24,1,2(1)16,873(),(7),30(,12256982则 即为单位正交向量组。21,四证明题（共 10 分）1 （本题 5 分）设 线性无关， 线性相关，s,21 ,21s证明： 可由 唯一地线性表示。 s,21因为 1， 2， 线性相关，所以在一
6、组不全为 0 的数 1， m， ，使得： 1 1+ 2 2+ m m+=0下证 0，假设 =0，则 1， 2， m不全为 0，且 1 1+ 2 2+ m m+=0于是向量组 1， 2， m线性相关，与已知矛盾，因此 0从而： ，即 由 1， 2， m线性表示)()(下证表示法的唯一性若 可由 1， 2， m线性表示为两种形式=k 1 1+ k2 2+km m=u 1 1+ u2 2+um m两式相减得：（k 1-u1） 1+（k m-um） m=0 1， m线性无关，k 1=u1(i=1,2,m)故表示法唯一2 （本题 5 分）设 方阵 满足：(1) ；(2) ；(3) ，nAAT20A证明： 是正定矩阵。A证：A T=A，即 A 为实对矩阵A 2-A=0 2-=0设 为 A 的任一特征根（-1）=0 00即 =1A 的特征根全大于 0故 A 为正定阵
