1、 收搞日期：通信作者：温振庶（1984-） ，男，讲师，博士，主要从事微分方程与动力系统的研究; 通信方式：E-mail:、联系电话 :13665969663.基金项目：国家自然科学基金（11326163） ，华侨大学科研启动费(12BS223)耦合的修正变系数 KdV 方程的非线性波解温振庶（华侨大学 数学科学学院，福建 泉州 362021）摘要：在本文中，我们研究了一个带变系数的耦合的修正 KdV 方程的非线性波解，利用 F-展开法获得了它的多种非线性波解，这些解包括孤立波解，扭波解（反扭波解） ，爆破解和周期爆破解.人们已经知道，修正 KdV 方程具有扭波解（反扭波解） ，而对于 KdV
2、 方程，却未得到.事实上，我们发现，这个结果也可以拓展到带变系数的耦合的修正 KdV 方程和带变系数的耦合的 KdV 方程.关键词：耦合的修正 KdV 方程；变系数；F-展开法；扭波解（反扭波解） ；孤立波解中图分类号：O175.29 文献标识码：ANonlinear Wave Solutions for a Coupled Modified KdV Equation with Variable CoefficientsAbstract: In this paper, we study a coupled modified KdV equation with variable coeffici
3、ents and obtain multifarious explicit nonlinear wave solutions, which include solitary wave solutions, kink (or antikink) wave solutions, blow-up solutions and periodic blow-up solutions, via exploiting F-expansion method. One has known that modified KdV equation possesses kink (or antikink) wave so
4、lutions, while, for KdV equation, kink (or antikink) wave solutions have not been obtained. In fact, we find that this result can also be extended to the coupled KdV and modified KdV equation with variable coefficients.Key words: Coupled modified KdV equation; Variable coefficients; F-expansion meth
5、od; Kink (or antikink) wave solutions; Solitary wave solutions1. 引言自从著名的 KdV 方程 1(1),06xtu被引入后，它及其变体得到了人们的广泛关注.KdV 方程(1)首先被推广为修正KdV(mKdV)方程 2,3(2),2xta进一步为高阶 KdV 方程 4(3),0xntu甚至为耦合的 KdV 方程 5(4) .02)(2,5431 xxxxt vvvuu最近，带变系数的非线性微分方程 6,7引起了人们的广泛关注. 例如，文献6研究了如下的带变系数的 KdV 方程(5).0)()(xxt utu文献8进一步把方程(5)
6、拓展成如下的带变系数的修正 KdV 方程(6),)()(2xxxt tt且文献9通过一些新的变换进一步研究过方程(6).此外，文献10引入了如下的一个带变系数的耦合的 KdV 方程(7),0)()( ,)(xxt xvtuvut其中 和 满足一定的条件.)(,)(tt从把 KdV 方程(1)拓展成 mKdV 方程(2)的角度来看，我们考虑把方程(7)拓展成如下的带变系数的耦合的修正 KdV 方程(8),0)()( ,)(22xxt xvtuvut其中 和 都是仅关于变量 的函数，并且假定它们满足下面的条件)(,)(t(9),(),()(,03tttt 其中 和 都是常数.本文的目的是研究方程(
7、8)的非线性波解.首先，我们将 F-展开法应用于方程(8)，并获得了方程(8)的各种 Jacobian 椭圆函数形式的解.然后，通过取 Jacobian 椭圆函数的极限，获得了它的各种形式的非线性波解，这些解包括孤立波解，扭波解（反扭波解） ，爆破解和周期爆破解等等.分析发现，带变系数的耦合的修正 KdV 方程(8)的大部分解形式上都跟带变系数的耦合的 KdV 方程(7)的解类似，但是，方程(8)具有扭波解（反扭波解） ，而对于方程(7)，却未获得，这种情形与 mKdV 方程和 KdV 方程的情形相类似.2. 应用 F-展开法求解方程(8)在这一节中，我们利用 F-展开法的思想来获得方程(8)
8、的非线性波解，过程如下.对方程(8)作替换 ，得到)(),(),(txgvfu(10).0)()()( ,3232tftt f假定 和 可以展开成如下的关于 的有限幂级数(fgF(11),0,)(),(0mmiiatxf(12),0,)(),(0nniibFtxg其中 和 是待确定的常数，且 满足一阶常微分方程ma,21nb,21(13).)(4202q由(13)，得到(14).6,2434FqF把(11)和(12)代入(10)中，并考虑到关系式(14)，根据 与 （或者,2gff与 ）之间的齐次平衡，得到 ，也就是说，(11)和(12)可以表示成gf2 1nm(15),0)(),(0aFtx
9、f(16).,1bg把(15)和(16)代入(10)中，并利用关系式(13)与(14)，得到(17) ,0)(6)( )()(2)()( 24123131 2101013020 Ftqatbta Ftbtat .0)(6)()( 24121210201 tqtbtbtb (18)从(15)和(16)消去 ，并令 的系数为零，得到F)2,(k(19).0)(6)(,2, )()(,0,0)() 41210213121 433210210 2131tqbtatttbatbtatqt方程组(19)在条件(9)下的解如下(20),0(21).,61421abqa此外，有(22),)()(023cdqt
10、t其中 是任意常数.c把(20)和(21)代入(15)和(16)，得到方程(8)的一般形式的解(23),(),(6)(,(42 fgtxvFftxu 其中 和 满足 .4q04注 1 对于(11)和(12)，我们也尝试过更一般的表达式，即令然而,0,)(),(0,)(),( 21212121 nniimmii bFbtxgaFatxf 得到了同样的表达式(15)和(16).3. 方程(8)的非线性波解根据 F-展开法与方程(13)，如果 和 分别取一些特殊的值， 可以通过20,q4 )(Jacobian 椭圆函数来表示，这些结果列在表 1 中. 从表 1 的最后两列，即当 Jacobian 椭
11、圆函数的模量(modulus ) 或者 时， 的极限 ,获得了方程(8)的多种形式的非k)(F线性波解，这些结果放在如下的定理中.定理 1：方程(8)有各种形式的非线性波解，且解的显式表达式如下：(1) 孤立波解(24),(),(sec6),( 11421 txutvtxhqtxu 其中 在(22)可给出， .,42(2) 扭波解（反扭波解）(25),(),(tanh(6),( 22422 txutvtxqtxu 其中 在(22)可给出， .1,42(3) 爆破解(26),(),(coth(6),( 33423 txutvtxqtxu 其中 在(22)可给出， ，以及1,42(27),(),(
12、cs),( 4444 txtvtxtx其中 在(22)可给出， .,42q(4) 周期爆破解(28),(),(tan(6),( 55425 txutvtxtxu 其中 在(22)可给出， ，1,42q(29) ),(),(cot(6),( 66426 txutvtxqtxu 其中 在(22)可给出， ，1,42(30),(),(sec(),( 7747 txtvtxtx其中 在(22)可给出， ，以及,42q(31),(),(cs(6),( 8848 txutvtxtxu 其中 在(22)可给出， .1,42证明:由(23)和表 1，我们很容易证明定理 1.注 2 由定理 1，方程(8)具有扭
13、波解（反扭波解）(25),而方程(7)却未找到这样的解 10，类似的结果也在 KdV 方程和 mKdV 方程中出现.表 1 常微分方程 的解 及在相应的 的特殊值下 的4202)(FqF)(420,q)(F极限. 0q2q4 k0limk1li121kdncs, cos,in,tah2k22 e1k1dn1hsc2k2cnds,1e,s1,ot212k2k1cn csh1 do2k2cns tansi1)(kdssih21k2ksnccotcs)( sds4. 结束语本文利用 F-展开法获得了一个带变系数的耦合的修正 KdV 方程,即方程(8)的多种非线性波解.这些解包括孤立波解，扭波解（反扭
14、波解） ，爆破解和周期爆破解. 文献3利用微分方程定性理论与动力系统分支方法 11-17研究 KdV 方程和 mKdV 方程，并发现 mKdV 方程具有扭波解（反扭波解） ，而 KdV 方程却未找到.因此，进一步核查方程(8)的解和方程(7)的解，我们发现，虽然它们的大部分解是相同类型的，但同样的，方程(8)具有扭波解（反扭波解）,而方程(7)却未找到这样的解.参考文献 (References)：1 Korteweg D, de Vries D. Xli. on the change of form of long waves advancing in a rectangular canal,
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