1、学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 专题一 三角函数专题【命题趋向】该专题的内容包括三角函数的图象与性质、平面向量、简单的三角恒等变换、解三角形高考在该部分的选择和填空题，一般有两个试题。一个试题是，如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查，会有一个与正余弦定理有关的题目，如果在解答题中涉及到了正、余弦定理，可能是一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的题目；一个试题是以考查平面向量为主的试题，这个试题的主要命题方向是（1）以平面向量基本定理、共线向量定理为主， （2）以数量积的运算为主；三角函数解答题的主要命题方向有
2、三个：（1）以三角函数的图象和性质为主体的解答题，往往和平面向量相结合；（2）以三角形中的三角恒等变换为主题，综合考查三角函数的性质等；（3）以实际应用题的形式考查正余弦定理、三角函数知识的实际应用【考点透析】该专题的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值） ，三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值） ，三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用【例题解析】题型 1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题例 1 若 是三角形的最小内角，则函数 的最大值是
3、（ xsincosincyxx）A B C D21212分析：三角形的最小内角是不大于 的，而 ，换元3sincosincoxx解决解析：由 ，令 而 ，得03xsinco2i(),4tx741212t又 ，得 ，sincox21sictx得 ，有 选择答案221()1tyt2()10yD点评：涉及到 与 的问题时，通常用换元解决sincoxsincx学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 解法二： ，1sincosinc2sinsin24yxxxx当 时， ，选 D。4xmax12例 2已知函数 ，且 2()sincosfxbx(0)8
4、,()126ff（1）求实数 ， 的值；（2）求函数 的最大值及取得最大值时 的值b)(f x分析：待定系数求 ， ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题a解析：函数 可化为 )(xf()sin2cosfxbx（1）由 ， 可得 ， ，所以08f 16f(0)8f3()126fab ， 4b3a（2） ，()sin24cos8sin(2)46fxxx故当 即 时，函数 取得最大值为 6k6kZf12点评：结论 是三角函数中的一个重要公式，它2sicssiabab在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函
5、数部分高考命题的重点内容题型 2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一例 3 （2009 年福建省理科数学高考样卷第 8 题）为得到函数 的图象，cos23yx只需将函数 的图象sin2yxA向左平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位51512C向左平移 个长度单位 D向右平移 个长度单位66学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决解析：函数 ，55cos2sin2sin2sin23361yxxxx故要将函数 的图象向左平移 个长度单位，选择
6、答案 Ain51例 4 （2008 高考江西文 10）函数 在区间 内的tansitansiyxx3(,)2图象是分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断解析：函数 结合选择支2ta,tsitansitansisinnxxyxx当 时当 时和一些特殊点，选择答案 D点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目题型 3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决例 5 （2008 高考山东卷理 5）已知 ，则 的值4cossin3657sin6是A B C D 2352354545分析：所求的 ，将已知条件分拆
7、整合后解决7sinsin()66xo32yA2-Bo32y-xo32yC- xo32yD-20090318学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 解析：C ，43344cossinsincossin652565 所以 7ini6点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的数 学思想和运算能力解题的关键是对 的分拆与整4cossin365合例 6（2008 高考浙江理 8）若 则 =cos2in5,taA B C D21 12分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路方法一： ，其中 ，即 ，5sin5s
8、in,cos51tan再由 知道 ，所以 ，i12kZ2k所以 sincostant2taninco2k 方法二：将已知式两端平方得 2 222cos4sin4i5sinsico0tatta方法三：令 ，和已知式平方相加得 ，故 ，sins 25t0即 ，故 ico0tn2方法四：我们可以认为点 在直线 上，co,siMxy学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 而点 又在单位圆 上，解方程组可得 ，M21xy52xy从而 这个解法和用方程组 求解实质上是一致tan2x22cosin5i1的 方法五： 只能是第三象限角，排除 CD ，这时
9、直接从选择支入手验证，由于 计算麻烦，我们假定 ，不难由同角三角函数关系求出12tan2，检验符合已知条件，故选 B55sin,cos点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知，求 的值（人教 A 版必修 4 第三章复习题 B 组最1si,0,5tan后一题第一问） ”之类的题目 ，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的知识迁移能力题型 4 正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型例 7 （2008 高考湖南理 19）在一个特定时段内，以点 为中心的 海里以内海域被设E
10、7为警戒水域点 正北 海里处有一个雷达观测站 某时刻测得一艘匀速直线行驶E5A的船只位于点 北偏东 且与点 相距 海里的位置 ，经过 分钟又测得该A4A402B40船已行驶到点 北偏东 (其中 ， )且与点 相距 6sin9A海里的位置 103C（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时） ；（2）若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入警戒水域，并说明理由学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 分析：根据方位角画出图形，如图第一问实际上就是求 的长，在 中用余BCA弦定理即可解决；第二问本质上求是求点 到直线 的距离，即可以用平面解析
11、几E何的方法，也可以通过解三角形解决解析：（1）如图， ， ，402AB103A26,sin.由于 ，所以09 265cos().由余弦定理得 2cos10.BCABAC所以船的行驶速度为 （海里/小时） 1053（2）方法一 ： 如上面的图所示，以 为原点建立平面直角坐标系，A设点 的坐标分别是 ， 与 轴的交点为 ,BC12,BxyCBxD由题设有， ，1240xy，2cos3cos(5)3xADin10in420.yC所以过点 的直线 的斜率 ，直线 的方程为 ,Blkl240yx又点 到直线 的距离 ，所以船会进入警戒水0,5El|5|35714d域学而思教育学习改变命运 思考成就未来
12、！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 解法二： 如图所示，设直线 与 的延长线相交于点 在 中，由余弦AEBCQABC定理得，= = 22cosABC 224015013从而 29in1cos.10C在 中，由正弦定理得， ABQ 1042sin4(45)ABQC由于 ，所以点 位于点 和点 之间，540EAE且 1A过点 作 于点 ，则 为点 到直线 的距离PBCEPBC在 中，QRt 5sinsinsin(45)137.EAQA所以船会进入警戒水域学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 点评：本题以教材上所常用的
13、航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图 本题容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错题型 5 三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点例 8（2009 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第 18 题）已知向量， （ ） ，令 ，且 的周期为)1,(sin),2cos,( xbxa0baxf)()(xf(1)
14、求 的值；(2)写出 在 上的单调递增区间4ff2,分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数 的解析式求出来，再根据 的fx)(xf周期为 就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即可解析：(1) xxbaxf 2cossinco2)( x2cosin，)42sin(x 的周期为 ， ，)f1)4si()(xxf学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 12cosin)4(f(2) 由于 ，)4i(xx当 （ ）时， 单增， kk2Zfx即 （ ） ，x883x2, 在 上的单调递增区间为 f, 83点评：本题以平
15、面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质，这是近年来高考命题的一个热点例 9 （2009 江苏泰州期末 15 题）已知向量 ， ， ，且3sin,coa2sin,54cosb 3,2 b（1）求 的值；ta（2）求 的值cos3分析：根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通过这个等式探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问解析：（1） ， 而 ，ab03sin,coa，2sin,54cosb故 ，由于 ，2 26iin4cos0acos0，2tt0解得 ，或 ， ，4tan31tan23 2， tan0故 （舍去） 1t24t学而思教育
16、学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 （2） ， 3 2， 34（ ， ）由 ，求得 ， （舍去） 4tan1tan2tan ， 55sicos2， c3sin2325132510点评：本题以向量的垂直为依托，实质上考查的是三角恒等变换在解题要注意角的范围对解题结果的影响题型 6 三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是 ，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型例 10 （安徽省皖南八校 2009 届高三第二次联考理科数学 17 题）三角形的三内角 ，A， 所对边的长分别为 ， ， ，设向量 ，若BCabc(,)(,)mcabnabc，/mn（1）求角 的大小；（2）求 的取值范围siA分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角 就不是独立关系了，可以用,AC其中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题解析：（1） ， /,()()mncab 由余弦定理，得 2222,1cab1cos,23B（2） ， ,3ABCA222sinsin()sincossin33AA
