1、角（基础）知识讲解【学习目标】1掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；6了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题【要点梳理】【高清课堂：角 397364 角的概念】要点一、角的概念1 角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边如图 1 所示，角的顶点是点 O，边是射线 OA、OB（2）定义二：
2、一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部如图 2 所示，射线 OA 绕它的端点 O 旋转到 OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置 OA 是角的始边，终止位置 OB 是角的终边要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关（2）平角与周角：如图 1 所示射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 和起始位置 OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图 2 所示继续旋转，OB 和 OA 重合时，所形成的角叫做周角2.角的表示法：角的几何符号用“”表示，角的表示法通常有以下四种：图 1 图 2要点诠释：用数字或小写
3、希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母3.角的画法（1）用三角板可以画出 30、45、60、90等特殊角（2）用量角器可以画出任意给定度数的角（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角要点二、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成 360 等份，每一份就是 1的角，1的 为 1 分，记作“1” ，1的 为 1 秒，记作“1” 这种以度、分、秒为单位6060的角的度量制，叫做角度制1 周角360，1 平角180，160，160要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从
4、高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于 60 时要向高一位进位2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种方法 1：度量比较法先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小方法 2：叠合比较法把其中的一个角移到另一个角上作比较如比较AOB 和AOB的大小： 如下图，由图（1）可得AOB AOB；由图(2)可得AOBAOB；由图(3)可得AOB AOB3.角的和、差关系如图所示，AOB 是1 与2 的和，记作：AOB 1+2；1 是AOB 与2的差，记作：1AOB- 2要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：对中(角的顶点与量角器的中心对
5、齐)；重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；读数(读出另一边所在线的度数)(2) 利用三角板除了可以做出 30、45、60、90外，根据角的和、差关系，还可以画出 15，75，105，120，135，150，165的角4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线如图所示，OC 是AOB 的角平分线，AOB 2AOC 2BOC ，AOCBOC = AOB12要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样要点三、余角和补角1.定义：一般地，如果两个角的和等于 90(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角类似地，如果
6、两个角的和等于 180(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角2性质：（1）同角（等角）的余角相等 （2）同角（等角）的补角相等要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关(2)一般地，锐角 的余角可以表示为(90-)，一个角 的补角可以表示为(180-) 显然一个锐角的补角比它的余角大 90。要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角例如，图中射线 OA 的方向是北偏东 60；射线 OB 的方向是南偏西 30这里的“北偏东 60”和“南偏西 30”表示方向的角，就叫做方位角要点诠释：（1）正东，正西
7、，正南，正北 4 个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准” ， “北偏东 60”一般不说成“东偏北 30”；（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线” ，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点 O 是观测点，所有方向线 (射线)都必须以 O 为端点要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有 12 个大格，把周角 12 等分、每个大格对应 30的角，分针 1 分钟转 6，时针每小时转 30，时针 1 分钟转 0.5，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题【典型例题】类型一、角的概念及表示1.下列语句正确的
8、是 ( ) A两条直线相交，组成的图形叫做角B两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角C两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角D过同一点的两条射线组成的图形叫做角【答案】C【解析】根据角的定义判断【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别举一反三：【变式】判断下列说法是否正确(1)两条射线组成的图形叫做角 ( )(2)平角是一条直线 ( )(3)周角是一条射线 ( )【答案】(1) (2) (3)2. 写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以 B 为顶点的角； (3)图中
9、共有几个角(小于 180). 【答案与解析】解：(1)能用一个字母表示的角A 、C(2)以 B 为顶点的角ABE 、ABC、CBE(3)图中共有 7 个角【总结升华】(1)顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示； (2)一般数角时不包括平角和大于平角的角类型二、角度制的换算3. (1)把 25.72用度、分、秒表示； (2)把 451230化成度（精确到百分位）【思路点拨】第(1)题中 25.72中含有两部分 25和 0.72，只要把 0.72化成分、秒即可第(2)题中，451230含有三部分 45，12和 30，其中 45已经是度，只要把 12和 30化成度即可【答案与解析】解：(1)0.
10、720.726043.2，0.20.26012，所以 25.72254312(2) ，13.561.50.26所以 45123045.21【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行， “越级”化单位容易出错举一反三：【变式】 (1)把 26.29转化为度、分、秒表示的形式；(2)把 332436转化成度表示的形式【答案】解： (1)26.2926+0.2926+0.296026+17.426+17+0.4602617+24 261724(2)33243633+24+36 33+24+0.616033+24.633+24 .6 33.41提示：在角度的和、差运算中应
11、先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后再进行计算。类型三、角的比较与运算4.不用量角器，比较图 1 和图 2 中角的大小(用“”连接)【思路点拨】图 1 中两角、 均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图中的 向 平移，让 与 始边重合，观察终边的位置来比较角的大小图2 中的三个角按角的分类，1 为锐角，2 为直角，3 为钝角，因此按照各自的范围就可以将它们的大小比较出来【答案与解析】解：(1)如图所示，将 平移使 的始边与 的始边重合，发现 落在 内部，因此(2)由图可知1 是锐角，190，2 是直角，即290，3 是钝角，即 903180，因此321【总结升华】本例给出的两题是在不
12、用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角直角钝角平角周角来比较大小举一反三：【变式】已知AOB(如图所示)，画一个角等于这个角【答案】作法：(1)以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 C、D ；(2)画一条射线 OA，以点 O为圆心，OC 长为半径画弧 l，交 OA于点C；(3)以点 C为圆心，CD 长为半径画弧，交弧 l 于点 D；(4)过点 D画射线 OB，则A O B AOB 5. 如图所示，已知 OC 平分BOD，且BOC20，OB 是AOD 的平分线，求AOD 的度数【答案与
13、解析】解：因为 OC 平分BOD，且BOC20，所以BOD2BOC=22040又 OB 是AOD 的平分线，所以AOD2BOD 24080【总结升华】应用角的平分线的定义时根据两点：若 OB 是AOC 的平分线，则AOBBOC AOC；AOC 2AOB2BOC，在解题时要学会灵活应1用【高清课堂：角 397364 角的有关计算例 3】举一反三：【变式】已知：如图，OM 是AOB 的平分线，ON 是BOC 的平分线，AOC=80，求：MON. 【答案】解：OM 平分AOB，ON 平分COB，MOB= AOB ，BON= BOC.(角平分线的定义)1212MON=MOB+BON= AOB+ BOC
14、= (AOB+BOC)= AOC= 80=40 .12即MON=40.类型四、余角和补角【高清课堂：角 397364 角的有关计算例 1】6. 已知角 的余角比角 的补角的 还少 20，求角 的余角.13【答案与解析】解:由题意可得：角 的余角为(90- ),补角为(180 -)，于是得：90-= （180-）-20，解得： =751390-=90-75=15答：角 的余角为 15 .【总结升华】此题的关键是掌握互为余角、补角的定义，然后根据题中的关键语句列出方程或代数式，求出相应角的度数.类型五、方位角7. A 看 B 的方向是北偏东 30，那么 B 看 A 的方向是( ) A南偏东 60
15、B南偏西 60C南偏东 30 D南偏西 30【答案】D【解析】依题意画出示意图由图可知，图中1 即表示从 A 看 B 的北偏东 30，2 是从 B 看 A 的方位角由此可确定从 B 看 A 是南偏西 30【总结升华】从本例的分析与结果来看，从 A 看 B 与从 B 看 A 正好是一对对立的观察过程，其方向是一种“相反”的对应关系方位角的确定首先以什么点为基点（即人站在此处观察）要弄清楚，再由正南或正北到视线夹角测量出来举一反三：【变式】小王从家出发向南偏东 30的方向走了 1000 米到达小军家，此时小王家在小军家的_方向【答案】北偏西 30类型六、钟表上有关夹角问题8.计算： 4 时 15
16、分时针与分针的夹角.【答案与解析】解法一：如图（1） ，设 4 时 15 分时针与分针的夹角为(注：夹角指小于 180的角)，时针转过的角度为：304+0.515，分针转过的角度为：615，所以304+0.515-61537.5解法二：如图（1） ，AOC30130， BOC0.5157.5所以AOB37.5即 4 时 15 分时针与分针的夹角为 37.5【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解，比如解法一；第二种方法直接根据图形求夹角，如解法二举一反三：【变式】2 时 48 分时针与分针的夹角【答案】解法 1：如图(2)，设 2 时 48 分时针与分针的夹角为，所以360-(486-230-480.5)360-204 156解法 2：如图(2)BOD304120，COD2612，AOB480.524，所以AOCBOD+ COD+AOB156即 2 时 48 分时针与分针的夹角为 156
