1、1传感器与传感器技术计算题解题指导（供参考）第 1 章 传感器的一般特性1-5 某传感器给定精度为 2%FS，满度值为 50mV，零位值为 10mV，求可能出现的最大误差(以 mV 计)。当传感器使用在满量程的 1/2 和 1/8 时，计算可能产生的测量百分误差。由你的计算结果能得出什么结论? 解：满量程（FS ）为 5010=40(mV)可能出现的最大误差为：m40 2%=0.8(mV)当使用在 1/2 和 1/8 满量程时，其测量相对误差分别为： %410248.16.21-6 有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下面两个微分方程描述，试求这两个系统的时间常数和静态灵敏度 K。（1）
2、 Tydt510.30式中，y 为输出电压，V ；T 为输入温度，。（2） xt6.92.4.1式中，y输出电压，V；x输入压力，Pa。解：根据题给传感器微分方程，得(1) =30/3=10(s)，K=1.5105/3=0.5105(V/)；(2) =1.4/4.2=1/3(s)，K=9.6/4.2=2.29(V/Pa)。1-7 设用一个时间常数 =0.1s 的一阶传感器检测系统测量输入为 x(t)=sin4t+0.2sin40t 的信号，试求其输出 y(t)的表达式。设静态灵敏度 K=1。解 根据叠加性，输出 y(t)为 x1(t)=sin4t 和 x2(t)= 0.2sin40t 单独作用
3、时响应 y1(t)和y2(t)的叠加，即 y(t)= y1(t)+ y2(t)。由频率响应特性：2)8.214sin(93.0)1.04arctn(si4n)()(211ttKty)6.75si(. ).rt(si1)(2 tty所以y(t)= y1(t)+ y2(t)=0.93sin(4t21.8)0.049sin(40t75.96)1-8 试分析 传感器系统的频率响应特性。)d)CxBA解 传感器系统的时间常数 =A/B，灵敏度 K=C/B。所以，其频率响应为2)(1)(相频特性为 /arctn)(1-9 已知一热电偶的时间常数 =10s，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在 540至
4、 500之间接近正弦曲线波动，周期为 80s，静态灵敏度 K=1。试求该热电偶输出的最大值和最小值。以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。解：依题意，炉内温度变化规律可表示为x(t) =520+20sin(t)由周期 T=80s，则温度变化频率 f=1/T，其相应的圆频率 =2f=2/80=/40；温度传感器（热电偶）对炉内温度的响应 y(t)为y(t)=520+Bsin(t+)热电偶为一阶传感器，其响应的幅频特性为 78601401120 22.BA 因此，热电偶输出信号波动幅值为B=20 A()=20 0.786=15.7由此可得输出温度的最大值和最小值分别为y(t)| =520+B=52
5、0+15.7=535.7maxy(t)| =520B=520-15.7=504.3in输出信号的相位差 为()= arctan( )= arctan(2/8010)= 38.23相应的时间滞后为t = s4.823601-10 一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述，即 xydtydty 101032 .5.1. 式中，y 为输出电荷量，pC； x 为输入加速度，m/s 2。试求其固有振荡频率 n 和阻尼比。解: 由题给微分方程可得 srad/105./1025.31-11 某压力传感器的校准数据如表 1-5 所示，试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差，并计算迟滞和重复
6、性误差；写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。 （最小二乘法线性拟合原理和方法见末尾附录）表 1-5 校 准 数 据 表输 出 值 (mV)第 一 次 循 环 第 二 次 循 环 第 三 次 循 环压 力(MPa)正 行 程 反 行 程 正 行 程 反 行 程 正 行 程 反 行 程0 -2.73 -2.71 -2.71 -2.68 -2.68 -2.690.02 0.56 0.66 0.61 0.68 0.64 0.690.04 3.96 4.06 3.99 4.09 4.03 4.110.06 7.40 7.49 7.43 7.53 7.45 7.520.08 10.88 10.95 1
7、0.89 10.93 10.94 10.990.10 14.42 14.42 14.47 14.47 14.46 14.46解 校验数据处理（求校验平均值）：输 出 值 (mV)第 一 次 循 环 第 二 次 循 环 第 三 次 循 环压 力(MPa)(设 为 x) 正 行 程 反 行 程 正 行 程 反 行 程 正 行 程 反 行 程校验平均值(设为 y)0 -2.73 -2.71 -2.71 -2.68 -2.68 -2.69 -2.700.02 0.56 0.66 0.61 0.68 0.64 0.69 0.640.04 3.96 4.06 3.99 4.09 4.03 4.11 4.0
8、40.06 7.40 7.49 7.43 7.53 7.45 7.52 7.470.08 10.88 10.95 10.89 10.93 10.94 10.99 10.930.10 14.42 14.42 14.47 14.47 14.46 14.46 14.45（1）端点连线法设直线方程为y=a0+kx，取端点（x 1，y 1）=（0，-2.70）和(x 6，y 6)=（0.10，14.45） 。则 a0 由 x=0 时的 y0 值确定，即4a0=y0kx=y1=-2.70 (mV)k 由直线的斜率确定，即（mV/MPa）5.7.)2(4516xyk拟合直线方程为y=2.70+171.5x求
9、非线性误差：压 力(MPa)校验平均值(mV)直线拟 合 值(mV)非线性误差(mV)最大非线性误差(mV)0 -2.70 -2.70 00.02 0.64 0.73 -0.090.04 4.04 4.16 -0.120.06 7.47 7.59 -0.120.08 10.93 11.02 -0.090.10 14.45 14.45 0-0.12所以，压力传感器的非线性误差为 %7.1)70.2(45.1L求 重 复 性 误 差 ：输 出 值 (mV)正 行 程 反 行 程压 力(MPa)1 2 3 不重复误差 1 2 3 不重复误差0 -2.73 -2.71 -2.68 0.05 -2.71
10、 -2.68 -2.69 0.030.02 0.56 0.61 0.64 0.08 0.66 0.68 0.69 0.030.04 3.96 3.99 4.03 0.07 4.06 4.09 4.11 0.050.06 7.40 7.43 7.45 0.05 7.49 7.53 7.52 0.040.08 10.88 10.89 10.94 0.06 10.95 10.93 10.99 0.040.10 14.42 14.47 14.46 0.05 14.42 14.47 14.46 0.05最大不重复误差为 0.08 mV，则重复性误差为 %.)7.2(5.R求 迟 滞 误 差 ：输 出 值
11、 (mV)第 一 次 循 环 第 二 次 循 环 第 三 次 循 环压 力(MPa)正 行 程 反 行 程 迟滞 正 行 程 反 行 程 迟滞 正 行 程 反 行 程 迟滞0 -2.73 -2.71 0.02 -2.71 -2.68 0.03 -2.68 -2.69 0.010.02 0.56 0.66 0.10 0.61 0.68 0.07 0.64 0.69 0.050.04 3.96 4.06 0.10 3.99 4.09 0.10 4.03 4.11 0.080.06 7.40 7.49 0.09 7.43 7.53 0.10 7.45 7.52 0.070.08 10.88 10.9
12、5 0.07 10.89 10.93 0.04 10.94 10.99 0.050.10 14.42 14.42 0 14.47 14.47 0.0 14.46 14.46 0.0最大迟滞为 0.10mV，所以迟滞误差为5%58.01)7.2(45.10H（ 2） 最 小 二 乘 法设 直 线 方 程 为y=a0+kx数据处理如下表所示。序 号 1 2 3 4 5 6 x 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.3y 2.70 0.64 4.04 7.47 10.93 14.45 34.83x2 0 0.0004 0.0016 0.0036 0.0064 0.01 0.022
13、xy 0 0.0128 0.1616 0.4482 0.8744 1.445 2.942根 据 以 上 处 理 数 据 ， 可 得 直 线 方 程 系 数 分 别 为 ：mV)(7.204.86723.20 xnyyxa )MPa/V(5.173.0.849222 xnyyk所以，最小二乘法线性回归方程为y=2.77+171.5x求 非 线 性 误 差 ：压 力(MPa)校验平均值(mV)直线拟 合 值(mV)非线性误差(mV)最大非线性误差(mV)0 -2.70 -2.77 0.070.02 0.64 0.66 -0.020.04 4.04 4.09 -0.050.06 7.47 7.52
14、-0.050.08 10.93 10.95 -0.020.10 14.45 14.38 0.07-0.07所以，压力传感器的非线性误差为 %41.0)7.2(38.140L可见，最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误差小，所以最小二乘法拟合更合理。重复性误差R 和迟滞误差 H 是一致的。1-12 用 一 个 一 阶 传 感 器 系 统 测 量 100Hz 的 正 弦 信 号 时 ， 如 幅 值 误 差 限 制 在65%以 内 ， 则 其 时 间 常 数 应 取 多 少 ?若 用 该 系 统 测 试 50Hz 的 正 弦 信 号 ， 问 此 时 的幅 值 误 差 和 相 位 差 为 多 ？
15、解: 根据题意（取等号计算）%120526.195解出 =0.3287所以=0.523mss31052.102387./387.0当用该系统测试 50Hz 的正弦信号时，其幅值误差为%32.13.1 22 相位差为=arctan()=arctan(2500.523103)=9.31-13 一 只 二 阶 力 传 感 器 系 统 ， 已 知 其 固 有 频 率 f0=800Hz， 阻 尼 比 =0.14，现 用 它 作 工 作 频 率 f=400Hz 的 正 弦 变 化 的 外 力 测 试 时 ， 其 幅 值 比 A()和 相 位 角()各 为 多 少 ； 若 该 传 感 器 的 阻 尼 比 =
16、0.7 时 ， 其 A()和 ()又 将 如 何 变 化 ?解: 5.842fn所以，当 =0.14 时 2241nnA31.5.01.5.0226.084.arctn12arctn22 radn当 =0.7 时 975.0.745.0122A74375.0.12arctn2rad1-14 用 一 只 时 间 常 数 =0.318s 的 一 阶 传 感 器 去 测 量 周 期 分 别 为 1s、 2s 和 3s的 正 弦 信 号 ， 问 幅 值 相 对 误 差 为 多 少 ?解：由一阶传感器的动态误差公式 12=0.318s %2.51)38.0()(21)1( 21 radHzfsT 95.
17、022.6)(33)( 3rzfs1-15 已知某二阶传感器系统的固有频率 f0=10kHz，阻尼比=0.1，若要求传感器的输出幅 值 误 差 小 于 3%， 试 确 定 该 传 感 器 的 工 作 频 率 范 围 。解：由 f0=10kHz，根据二阶传感器误差公式，有 %nn 314112220691341 222 .nn 将=0.1 代入，整理得 45.96.10.183(035.27串nnkHzffo.18.1-16 设 有 两 只 力 传 感 器 均 可 作 为 二 阶 系 统 来 处 理 ， 其 固 有 振 荡 频 率 分 别 为800Hz 和 1.2kHz， 阻 尼 比 均 为 0
18、.4。 今 欲 测 量 频 率 为 400Hz 正 弦 变 化 的 外 力 ， 应选 用 哪 一 只 ?并 计 算 将 产 生 多 少 幅 度 相 对 误 差 和 相 位 差 。解：由题意知 3/12/5.8n则其动态误差 4.0814122nn%6.175.04.5.0122=7.76%13.3222 相位差 212n11 5.04ta/ ta9.749.0rd= 0.29(rad)= 16.62123/t第 2 章 电阻应变式传感器2-5 一应变片的电阻 R0=120，K =2.05，用作应变为 800m/m 的传感元件。(1) 求R 与 R/R；(2)若电源电压 Ui=3V，求其惠斯通测
19、量电桥的非平衡输出电压 Uo。解：由 K= ，得/ 36104.1085.2m则R=1.64103R=1.64103 120=0.197其输出电压为=1.23(mV)VUi 30 2.64.42-6 一试件的轴向应变 x=0.0015，表示多大的微应变() ？该试件的轴向相对伸长率为百分之几?解： x =0.0015=150010-6 =1500() 由于x =l/l所以l/l=x =0.0015=0.15%2-7 假设惠斯通直流电桥的桥臂 1 是一个 120的金属电阻应变片（K=2.00，检测用） ，桥臂 1 的相邻桥臂 3 是用于补偿的同型号批次的应变片，桥臂 2 和桥臂 4 是120的固
20、定电阻。流过应变片的最大电流为 30mA。9（1）画出该电桥电路，并计算最大直流供桥电压。（2）若检测应变片粘贴在钢梁（弹性模量 E=2.11011N/m2）上，而电桥由 5V 电源供电，试问当外加负荷=70kg/cm 2 时，电桥的输出电压是多少？（3）假定校准电阻与桥臂 1 上未加负荷的应变片并联，试计算为了产生与钢梁加载相同输出电压所需的校准电阻值。解 （1）电桥电路如图所示；最大供桥电压Uim=30mA(120+120)=7200mV=7.2V（2） =70kg/cm2=686N/cm2=6.86106N/m2，则=/E=6.86106/2.11011=3.27105=32.7 ()电
21、桥输出为 mVVKio2 5108. 108.7.345（3）为了使输出电压相同，只要应变 对应的电阻变化相同即可（这里取负应变对应电阻减少输出相同负电压） 。 解题 2-7 图应变 对应的电阻变化为 551 104.627.3KRR=6.54105R1=6.54105120=7.85103并联电阻 RPRP/R1=1207.85103=119.99215()RP=1834.275k1834k2-8 如果将 120 的应变片贴在柱形弹性试件上，该试件的截面积 S=0.510-4m2，材料弹性模量 E=2101lN/m2。若由 5104N 的拉力引起应变片电阻变化为 1.2，求该应变片的灵敏系数
22、 K。解：应变片电阻的相对变化为 01.1.R柱形弹性试件的应变为 ；5.25.014SEF应变片的灵敏系数为 ./K2-10 以阻值 R=120，灵敏系数 K=2.0 的电阻应变片与阻值 120 的固定电阻组成电桥，供桥电压为 3V，并假定负载电阻为无穷大，当应变片的应变为 2 和2000 时，分别求出单臂、双臂差动电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。解：依题意10单臂： 20)V(103.246io kU差动： )(.36io灵敏度： 差 动 ）单 臂 ）(2/4ioKUu可见，差动工作时，传感器及其测量的灵敏度加倍。2-11 在材料为钢的实心圆柱试件上，沿轴线和圆周方向各贴一片电阻
23、为 120 的金属应变片 R1 和 R2，把这两应变片接人差动电桥(参看习题图 2-11)。若钢的泊松比=0.285，应变片的灵敏系数 K=2，电桥的电源电压 Ui=2V，当试件受轴向拉伸时，测得应变片 R1 的电阻变化值R=0.48 ，试求电桥的输出电压 Uo；若柱体直径d=10mm，材料的弹性模量 E=21011N/m2，求其所受拉力大小。习题图 2-11 差动电桥电路解：由R 1/R1=K1，则 02.1/48./1KR2= 1= 0.2850.002= 0.00057所以电桥输出电压为 mV57.2)(0. )0421oUi当柱体直径 d=10mm 时，由 ，得ESF1)N(04.3410231F
