1、xyo )(xfy0xabniix 1第六章 定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分 6.1 定积分的概念与性质1. 定积分的定义我们先来研究两个实际问题例 1 计算曲边梯形的面积设 为闭区间 上的连续函数，且 由曲线 ，直线)(xfy,ba0)(xf )(xfy及 轴所围成的平面图形(图 61)称为 在 上的曲边梯形，试求bax , ,ba这曲边梯
2、形的面积 图 61我们先来分析计算会遇到的困难由于曲边梯形的高 是随 而变化的，所以)(xf不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积但我们可以用平行于 轴的y直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图 61 所示在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法下面我们分三步进行具体讨论：1nt2t1 t0tao b(1) 分割 在 中任意插入 个分点,ba1nbxxn210把 分成 个子区间 ， ，
3、 ，每个子区间的长度为,ban,11iiix)2,( (2) 近似求和 在每个子区间 上任取一点 ，作和式,1iix),2( ni(1.1)inif1)(3) 取极限 当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小) 时，和式(1.1) 的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作 A)因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有Axfini1)(例 2 求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，其速度 是时间 的连续函数 试求该物体从时刻vt)(tv到时刻 一段时间内所经过的路程 atbt s因为 是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程但我们仍可以用)(v类似于计算曲边梯形面积的方法与
4、步骤来解决所述问题(1) 用分点 btttan1210把时间区间 任意分成 个子区间(图 62)：,bn， ， ,10t,2t,1nt每个子区间的长度为 ( )1ii ,图 62(2) 在每个子区间 ( )上任取一点 ，作和式,1itn,iinitv1)(3) 当分点的个数无限地增加，最长的子区间的长度趋于零时就有stvini1)(以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限” ，或者说都转化为具有特定结构的和式(1.1)的极限问题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质
5、量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念定义 6.1.1 设函数 在 上有定义，在 内任取 个分点)(xf,ba),(ba1nxan1210把 分成 个子区间 ， ， ，每个子区间的长度为,ban,x,1在每个子区间 上任取一点 (称为1iiix)2,( iix),2( n i介点)，作和式 ，并记 如果不论对 怎样划分成子区间，inixf1ini1ma,ba也不论在子区间 上怎样取介点 ，只要当 时，和式(1.1)总趋于确定的值,iii0，则称这极限值 为函数 在区间 上的定积分，记作 ，即II)(xf,babadx
6、f)(1.2)iniba xfIdf 10)(lm其中 称为被积函数， 称为积分变量， 称为积分区间， 分别称为积分)(xf x,baba ,的下限和上限关于定积分的定义，再强调说明几点：(1) 区间 划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或 的大小来确定因为,ba n尽管 很大，但每一个子区间的长度却不一定都很小所以在求和式的极限时，必须n要求最长的子区间的长度 ，这时必然有 0n(2) 定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限，它不同于第二oy x)(xfy章讲述的函数极限尽管和式(1.1)随着区间的不同划分及介点的不同选取而不断变化着，但当 时却都以唯一确定的值为极限只有这时，
7、我们才说定积分存在0(3) 从定义可以推出定积分(1.2)存在的必要条件是被积函数 在 上有)(xf,ba界因为如果不然，当把 任意划分成 个子区间后， 至少在其中某一个子,ban)(xf区间上无界于是适当选取介点 ，能使 的绝对值任意地大，也就是能使和式i)(if(1.1)的绝对值任意大，从而不可能趋于某个确定的值(4) 由定义可知，当 在区间 上的定积分存在时，它的值只与被积函数)(xf,ba以及积分区间 有关，而与积分变量 无关，所以定积分的值不会因积分变)(xf ,bax量的改变而改变，即有bababa dufdtfxf )()()(5) 我们仅对 的情形定义了积分 ，为了今后使用方便
8、，对 与xba的情况作如下补充规定：ba当 时，规定 ；0)(badxf当 时，规定 abdxf)(根据定积分的定义，我们说：例 1 中 在 上的曲边梯形的面积就是曲线,ba的纵坐标 从 到 的定积分)(xfabbadxfA)(它就是定积分的几何意义注意到若 ，则由 及 可知00)(ifix这时曲边梯形位于 轴的下方，我们就认为它的面积是负的因此当badxf0)( x在区间 上的值有正有负时，定积分 的值就是各个曲边梯形面积的,bbadxf)(代数和，如图 63 所示图 63例 2 中物体从时刻 到时刻 所经过的路程就是速度 在时间区间 上的定ab)(tv,ba积分adtvs )(对应于导数的
9、力学意义，我们也说它是定积分的力学意义当 在区间 上的定积分存在时，就称 在 上可积，说明(3)表明：)(xf,ba)(xf,ba在 上可积的必要条件是 在 上有界下面是函数可积的两个充分条f, )(xf,ba件，证明从略定理 6.1.1(1) 若 在 上连续，则 在 上可积)(xf,ba)(xf,ba(2) 若 在 上有界，且只有有限个间断点，则 在 上可积)(xf,ba2. 定积分的基本性质定理 6.1.2 (积分的线性性质)(1) 若 在 上可积， 为常数，则 在 上可积，且xf,bak)(xkf,ba(1.3) badfdxf)()(2) 若 ， 在 上可积，则 在 上也可积，且)(x
10、fg, )(xg, (1.4)bababa xfxf )()(证 根据定义，有 baniiiniiiba dxfkxfkxkfdxkf )()(lm)(l)( 1010 所以(1.3)式成立类似可证(1.4) 式成立定理 6.1.2 的更一般的结论是bajjnjbanjj dxfkdxfk )( )(11其中 在 上可积， 为常数)(xfj ,2 ,j ),21 n定理 6.1.3 (积分对区间的可加性) 设 是可积函数，则)(xf(1.5)bccaba dxfxfdxf )()()(对 任何顺序都成立cba ,证 先考虑 的情形由于 在 上可积，所以不论将区间 如bc )(xf,ba,ba何
11、划分，介点 如何选取，和式的极限总是存在的因此，我们把 始终作为一个分i c点，并将和式分成两部分：，iii xfxfxf 21)()()( 其中 分别为区间 与 上的和式令最长的小区间的长度 ，上21, ,ca,b 0式两边取极限，即得(1.5)式对于其它顺序，例如 ，有 ，cbbaca dxfxfdxf )()()(所以cbcaba fff )()()(cdxx(1.5)式仍成立定理 6.1.4 (积分的不等式性质) 若 ， 在 上可积，且 ，)(fg,ba)(xgf则 (1.6)babadxxf)()(证 ba fgdxg)(ini iixf10)(lm由假设知 ，且 ，所以上式右边的极
12、限值为非负，)(iifg0i ),21( n从而有babadxfxg)()(1.6)式成立从定理 6.1.4 立刻推出推论 6.1.1 若 在 上可积，且 ，则)(xf,ba0)(xf0)(dxf推论 6.1.2 (积分估值) 若 在 上可积，且存在常数 和 ，使对一切,bamM有 ，则,baxMxfm)()()(dxfabb推论 6.1.3 若 在 上可积，则 在 上也可积，且xf, f,bax f()xbaba)( 这里 在 上的可积性可由 的可积性推出，其证明省略 )(xf,af推论 6.1.4 (严格不等式 ) 设 是 上的连续函数，若在 上 且)(x,b,ba0)(xf，则0)(xf
13、0)(badxf证 由假设知，存在 使 ，根据 的连续性，必存在 的邻,0)(f)(xf 0x域 ，使在其中 ，从而有,),(0bx20xf bxxxaba dfdfdfdf 000 )()()(， 200 ffx所以结论成立定理 6.1.5 (积分中值定理) 若 在 上连续，则在 上至少存在一点 ，)(xf,ba,ba使得 (1.7) )()(fdxfba证 因为 在 上连续，所以 在 上可积，且有最小值 和最大值)(f,xf,bam于是在 上，M,b，)()()(Mdxfambbaoy x)(xfy或 Mabdxfm)(根据连续函数的介值定理可知，在 上至少存在一点 ，使,)()(fabd
14、xf所以(1.7)式成立积分中值定理的几何意义如图 64 所示图 64若 在 上连续且非负，则 在 上的曲边梯形面积等于与该曲边梯)(xf,ba)(xf,a形同底，以 为高的矩形面积通常把 ，即 称为函数dxffa)( )(fabdxf)(在 上的积分均值，而这正是算术平均值概念的推广)(xf,b定理 6.1.6 (推广的积分中值定理) 若 ， 在 上连续，且 在)(xfg,)(xg上不变号，则在 上至少存在一点 ，使得,a,ba(1.8)baa dxfdxgf )()(证 不妨设在 上有 ，则 ，且在 上,00g,ba，)()()(xMxfm其中 分别为 在 上的最小值与最大值由此推出Mm,
15、xf,babadxgdxgfdg)()()(若 ，则由上式知badxg0)(0)(badxgf从而在 上任取一点作为 ，(1.8)式都成立若 ，则得,ba0)(badxgMdxgfmba)(按连续函数的介值定理推出，在 上至少存在一点 ，使,)()(fdxgfba所以(1.8)式也成立 6.2 微积分学的基本定理与基本公式若已知 在 上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢？如果利用定积分)(xf ,ba的定义，由于需要计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的本节将通过揭示微分和积分的关系，引出一个简捷的定积分的计算公式1. 微积分学基本定理设函数 在区间 上可积，则
16、对 中的每个 ， 在 上的定积)(xf ,ba ,bax)(f ,xa分 都存在，也就是说有唯一确定的积分值与 对应，从而在 上定义了一dtfxa b个新的函数，它是上限 的函数，记作 ，即x)(x， dtfa)()( ,ba这个积分通常称为变上限积分定理 6.2.1 设 在 上可积，则 是 上的连续函数)(xf ,bdtfxa )()( ,b证 任取 及 ，使 根据积分对区间的可加性，,a0 ,btftfdtfxx xxaxa )( )()()( 由于 在 上连续，从而有界，即存在 ，使对一切 有)f ,b0M ,ba，于是Mxf )( )( )( xMdtfxx故当 时有 所以 在 连续，
17、由 的任意性即知 是0x0 ,ba)(x上的连续函数 ,ba定理 6.2.2 (原函数存在定理) 设 在 上连续，则 在)(xf , dtfxa )()(上可导，且 ,， ，)(xf ,ba也就是说 是 在 上的一个原函数)(xf ,ba证 任取 及 ，使 应用积分对区间的可加性及积分0x ,x中值定理，有，xfdtfx ) ( )()( 或， (2.1)(fx)10(由于 在 上连续， )(xf,ba)( (lim0xffx故在(2.1)中令 取极限，得)(li0fx所以 在 上可导，且 由 的任意性推知 就是)(x ,bax ,ba)(x在 上的一个原函数f本定理回答了我们自第五章以来一直关心的原函数的存在问题它明确地告诉我们：连续函数必有原函数，并以变上限积分的形式具体地给出了连续函数 的一个)(xf原函数回顾微分与不定积分先后作用的结果可能相差一个常数这里若把写成)(xf
