1、1专题 08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1 【陕西省榆林市第二中学 2018 届高三上学期期中】已知椭圆 的左右焦点分别为，离心率为 ；圆 过椭圆 的三个顶点.过点 且斜率不为 0 的直线与椭圆交于 两点.（）求椭圆的标准方程；（）证明：在轴上存在定点 ，使得 为定值；并求出该定点的坐标.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（）设圆 过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得 ，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（ ）设直线的方程为 ，将方程与椭圆方程联立求得 两点的坐标，计算得 。设 x 轴上的定点为 ，可得，由定值可得需满足 ，解得 可得定点坐标。解得 。椭圆的标准方程为
2、 .（）证明：由题意设直线的方程为 ，由 消去 y 整理得 ，设 ， ，2要使其为定值，需满足 ，解得 .故定点 的坐标为 .点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意2 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知斜率为 k的直线 l经过点 1,0与抛物线 2:Cypx（ 0,为常数）交于不同的两点 ,MN，当 12时，弦 MN的长为 45.（1）求抛物线 的标准方程；（
3、2）过点 M的直线交抛物线于另一点 Q，且直线 经过点 ,B，判断直线 Q是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】 （1） 24yx;（2）直线 N过定点 1,4【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；（2）由（1）可设 221,ttt，则 12MNkt，则 1:0Nxty；同理： 22MQtt11:2t.由 ,0在直线 上 t（1） ；由 在直线 上 20t将（1）代入 1212tt （2）将（2）代入 NQ方程 124xtyt，即可得出直线 NQ过定点3（2）设 2221,MtNtQt，则 12=MNtkt，则 1:yxt即 110yt；同理： 220
4、Qyt；11:2Nxt.由 ,0在直线 MN上 t，即 1t（1） ；由 在直线 上 20将（1）代入 1212tt （2）将（2）代入 Q方程 124xtyt，易得直线 NQ过定点 ,43 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知抛物线 :0Cymx过点1,， P是 C上一点，斜率为 的直线 l交 C于不同两点 ,AB（ l不过 P点） ，且 AB的重心的纵坐标为 .（1）求抛物线 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线 ,AB的斜率分别为 12,k，求 12k的值.【答案】 （1）方程为 24yx;其焦点坐标为 ,0（2） 120【解析】试题分析;（1）将 ,代
5、入 ymx，得 4，可得抛物线 C的方程及其焦点坐标；（2）设直线 l的方程为 b，将它代入 得 20bx（ ） ，利用韦达定理，结合斜率公式以及 PAB的重心的纵坐标 3，化简可 12k 的值；4因为 PAB的重心的纵坐标为 23，所以 12py，所以 py，所以 1px，所以 12112 yxkx，又 121yyx21bbx121x0.所以 120k.4已知椭圆2:()xyCab的短轴端点到右焦点 10F， 的距离为 2（）求椭圆 的方程；（）过点 F的直线交椭圆 于 AB， 两点，交直线 4lx： 于点 P，若 1AF，2PB，求证： 12为定值【答案】(1) 243xy;(2)详见解析
6、.【解析】试题分析：（）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（）联立直线和椭圆的方程，得到关于 或 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（）由题意直线 AB过点 1,0F，且斜率存在，设方程为 1ykx,将 4x代人得 P点坐标为 43k， 由2 13yk，消元得 22840x，设 1,Axy， 2,Bxy，则 0且21223 4kx， 方法一：因为 1PF，所以 11PAF. 同理 224Bx，且 1x与 24异号， 所以 1212 123x51232x 22286434kk0. 所以， 12为定值 .当 12x时，同理可得 120. 所以， 为定值 0.6同理
7、223PBmyF，且 1y与 23my异号， 所以 11212 2 3609m. 又当直线 AB与 x轴重合时， 12， 所以， 12为定值 .【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于 x或 y的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线 AB过点 1,0F，在设方程时，往往设为xmy0，可减少讨论该直线是否存在斜率. 5 【四川省绵阳南山中学 2017-2018 学年高二上学期期中考】设抛物线 C： 24y， F为 C的焦点，过 F的直线 l与 C相交于 ,AB两点.（1）设 的斜率为 1，求 ；（2）求证： O是一个定值.【答案】(1) 8
8、（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；7（2）证明：设直线 l的方程为 1xky，由 1 4xky得 240 12， 1y2,OABx， 11212ky，212443kyy， AB是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成 1xky也给解题带来了方便.6 【内蒙古包头市第三十三中 2016-2017 学年高一下学期期末
9、】已知椭圆 C: 21(0,)xyab的离心率为 3,右焦点为( 2,0).(1)求椭圆 C 的方程; (2)若过原点 作两条互相垂直的射线,与椭圆交于 A,B 两点,求证:点 O 到直线 AB 的距离为定值.【答案】(1) 21xy,(2) O 到直线 AB 的距离为定值 32.【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出 a， b， c；（2）对于 AB 有无斜率进行讨论，设出 A， B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；8有 OA OB 知 x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得
10、4 m2=3 k2+3 原点到直线 AB 的距离 3d ， 当 AB 的斜率不存在时, y ,可得, 13d 依然成立.所以点 O 到直线 的距离为定值 2 . 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法设而不求，套用公式解决7 【四川省成都市石室中学 2017-2018 学年高二 10 月月考】已知双曲线 210xybaa渐近线方程为 3yx， 为坐标原点，点 3,M在双曲线上（）求双曲线的方程；（）已知 ,PQ为双曲线上不同两点，点 O在以 PQ为直径的圆上，求 22OPQ的值【答案】 （）216xy；（） 22113.【解析】试题分析
11、：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点 M 的坐标求得参数即可；（2）由条件可得 OP，可设出直线 ,P的方程，代入双曲线方程求得点 ,的坐标可求得23Q。9（）由题意知 OPQ。设 直线方程为 ykx，由21 6xyk，解得2263 ky， 222261| 33OPxkk。由 Q直线方程为 1yx.以 代替上式中的 ，可得222266| 3113k。 22222 1+=366kkOPQ。 8 【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学 2018 届高三上学期两校期中联考】已知椭圆 E: 21(0)xyab经过点 P(2,1)，且离心率为 2（）求椭圆的标准方程；（）设 O 为坐
12、标原点，在椭圆短轴上有两点 M， N 满足 O，直线 PM、 PN 分别交椭圆于 A， B探求直线 AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由【答案】 （1）218xy；（2）直线 AB 过定点 Q（0，2）.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。10x1+x2= 84kt， x1x2= 48tk， 又直线 PA 的方程为 y1= 1（ x2） ，即 y1= 12kxt（ x2） ，因此 M 点坐标为（0， 12t） ，同理可知：
13、 N（ 0， 2kt） ，当且仅当 t=2 时，对任意的 k 都成立，直线 AB 过定点 Q（0，2）. 9 【广西桂林市第十八中学 2018 届高三上学期第三次月考】已知椭圆 2:10xyCab的左，右焦点分别为 12,F.过原点 O的直线 与椭圆交于 ,MN两点，点 P是椭圆 上的点，若 14PMNk，10NM，且 1N的周长为 423.（1）求椭圆 C的方程；（2） 设椭圆在点 P处的切线记为直线 ，点 12,FO在 上的射影分别为 ,ABD，过 作 的垂线交x轴于点 Q，试问 12ABOD是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) 24xy;(2)1.【解析】试题分析; （1）设 ,Mmn，则 ,Nn， 21mnab，设 0,Pxy， ,APBPynkkxmx，以及 14ABk， 2.ab ，由 FNM,由椭圆的定义可得 243.2ac ，结合 3c ，综合 23可得：
