1、知识点：二元一次方程组的概念及解法:代入法和加减法二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：1、 审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系. （ 审题，寻找等量关系）2、 考虑如何根据等量关系设元，列出方程组 （设未知数，列方程组）3、列出方程组并求解，得到答案 （解方程组）4、检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意 （检验,答）例】今有鸡兔同笼，数头 35 个，数腿 94 条，问鸡、兔各有多少只？分析：两个相等关系：鸡头兔头总头数；鸡腿兔腿总腿数。解析：设鸡有 只，兔有 只。xy由题意可列方程组 解得 3594 xy答：鸡有 只，兔有 只。相似题：鸡兔同笼问题（1）1、野鸡和兔子共有
2、 39 只，它们的腿共有 100 条，求野鸡和兔子各有多少只。2、已知板凳和木马共有 33 个，腿共有 101 条。板凳和木马各有多少个？（注：板凳 4 条腿，木马 3条腿）3、某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演。其中成人票每张 8 元，学生票每张 5 元，共售出1000 张票，共筹得票款 6950 元。问成人票与学生票各售出多少张？分析：两个相等关系： ； 。4、某校买了甲、乙两种型号的彩电共 7 台，花去人民币 15900 元。已知这两种型号的彩电的价格分别是 3000 元和 1300 元，问该校两种彩电各买了多少台？鸡兔同笼问题（2）1、某校 150 名学生参加数学考试，平均每人
3、 55 分，其中及格的学生人均 77 分，不及格的学生人均47 分。及格、不及格的学生各有多少人？2、一队敌军一队狗，两队并成一队走；脑袋共有八十个，数腿却有二百条；请君仔细算一算，多少敌军多少狗3、现有大人、幼儿共 100 人，大人一餐吃 4 个面包，幼儿 4 人一餐吃一个面包，一餐刚好吃光 100 个面包，问大人、幼儿各有几人？分配问题（1）【例】栖树一群鸦，鸦树不知数；三只坐一棵，五只没去处；五只栖一棵，闲了一棵树；请你列式算，鸦树各几何？分析：两个等量关系： 树的棵数5乌鸦的只数； （树的棵数1）乌鸦的只数。35解：设乌鸦有 只，树有 棵。xy由题意可列方程组 解得 ()x xy答：乌
4、鸦有 只，树有 棵。1、某单位召开会议，安排参加会议人员住宿，若每间宿舍住 12 人，便有 34 人没有住处；若每间住14 人便多处 4 间宿舍没人住。求参加会议的人数和宿舍数。分析：两个相等关系： ； 。2、将若干只鸡放入若干个笼子中，若每个笼子放 4 只，则有 1 只鸡无笼可放；若每个笼子放 5 只鸡，则有 1 笼无鸡可放，试问有多少只鸡，多少个笼子？3、用一根绳子测水泥柱一周的尺寸，若绳子绕水泥柱 4 周，则绳子还多 3 尺；若绳子绕水泥柱 5 周，则绳子还少 2 尺，求绳子及水泥柱一周的长度。分配问题（2）1、一组学生用一条绳子测一块的长，量 12 次，还余 80 m 没有量，量 14
5、 次，超出地段 20 m，求绳长和地段长。2、在一条马路旁种树，每隔 3 米种一棵，到头还剩 3 棵树；每隔 2.5 米种一棵，到头还缺 77 棵树。问马路有多长？树有多少棵？3、有人在林中散步，听到几个强盗在商量怎样分抢来布匹，一名强盗说：“没人分 6 匹，但剩下 5 匹。”另一名强盗说：“每人分 7 匹，可又少 8 匹。”问有几个强盗几匹布？4、现有一批物资运往三峡工地，由铁路装运，如果每节车皮装 50 吨，则还缺 2 节车皮才能把全部物资运走，如果每节车皮多装 5 吨，则还可再装 200 吨其它物资，问原有多少物资，共有多少节车皮？调配问题【例】甲乙隔河放牧羊，两人相互问数量；甲说得乙羊
6、九只，我羊是你羊二倍；乙说得甲羊八只。两人羊数正相当。请你帮忙算一算，甲乙各放多少羊？分析：两个等量关系：（1）甲羊数92（乙羊数9）；（2）乙羊数8甲羊数8解：设甲放羊 只，乙放羊 只。xy由题意可列方程组 解得：928x xy答：甲放羊 只，乙放羊 只。1、甲、乙两盒中各放着一些球，一共有 9 个，如果从甲盒中拿出 5 个放入乙盒，乙盒的球数是甲盒的2 倍。问甲、乙两盒中原来各放着多少个球？2、某工厂第一车间人数比第二车间人数的 少 30 人，若从第二车间调 10 人到第一车间，则第一车45间的人数是第二车间人数 ，求各车间的人数。343、有一大群羊，其中一部分已上山，另一部分还在山下。如
7、果山下的羊中有 3 只上了山，则山下的羊是整个羊群的 ；如果从山上下来 3 只羊，则山上、山下的羊就一样多了。问原来山上、山下各有羊1多少只？配套问题【例】某车间有 28 名工人，加工生产一种螺栓和螺母，每人每天生产螺栓 12 个或螺母 18 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产的螺栓和螺母刚好配套（1 个螺栓要配 2 个螺母）。分析：两个等量关系：（1）加工螺栓的人数加工螺母的人数28； （2）螺母数2 倍的螺栓数。解：设加工螺栓的有 人，生产螺母的有 人。xy由题意可列方程组 解得： xy答：加工螺栓的有 人，生产螺母的有 人。1、一个工人一天能生产 100 值螺栓或 15
8、0 只螺帽，一只螺栓要与 2 只螺帽配套，若有工人 42 名，问怎样分配，才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？2、八年级 A 班同学 50 人，为参加学校举办的迎国庆文艺活动，做一批道具，每人每天平均做花 18朵，面具 16 个，如果一个面具配两朵花，应分配多少学生做面具，多少学生做花，才能使面具和花刚好配套？3、某车间有 62 名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲零件 12 个或乙零件 23 个，应分配多少人生产甲零件，多少人生产乙零件，才能使每天生产的甲零件和乙零件刚好配套？（每 3 个甲零件和 2 个乙零件配成一套）年龄问题【例】学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我
9、像你这样大时，你才满周岁；你到我这样大时，我已经 37 岁了。”老师和学生的年龄各是多少？分析：两个等量关系：（1）老师的年龄两人的年龄差1；（2）学生的年龄两人的年龄差37。解：设老师的年龄为 岁，学生的年龄为 岁。xy由题意可列方程组 解得： xy答：老师的年龄为 岁，学生的年龄为 岁。1、甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才 4 岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将 61 岁。”问甲、乙各多少岁？2、10 年前，小兰妈妈的年龄是小兰年龄的 3 倍；10 年后，妈妈的年龄是小兰年龄的 2 倍，问小兰和妈妈现在的年龄各是多少岁？3、已知仙鹤和乌龟是动物中的长寿星，一天鹤
10、父、鹤女与龟祖、龟孙在聊天，它们发现鹤父的年龄是鹤女的 2 倍，龟祖的年龄是龟孙的 5 倍，它们四位的年龄和的 3 倍恰好是 900 岁。十年后，鹤父和鹤女之和的 5 倍，加上龟祖、龟孙的年龄也是 900 岁，试求它们分别是多少岁？销售问题（1）【例】某书店向学校推销甲、乙两种素质教育用书，如果原价买这两种书共需 1760 元，书店推销时甲种书打了 8 折，乙种书打了 7.5 折，结果两种书共少要了 400 元。问甲、乙两种书原价各需多少钱？分析：两个等量关系：（1）甲种书原价乙种书原价1760；（2）甲种书折后价乙种书折后价1760400。解：设甲种书原价为 元，乙种书原价为 元。xy由题意
11、可列出方程组 解得： 1760 4 xy答：甲种书原价为 元，乙种书原价为 元。1、新华书店向某校推销甲、乙两种科普书，如以原价买这两种书共需 880 元，甲种书书店按 8 折销售，乙种书书店按 7.5 折销售，结果这两种书共少要了 200 元，问原来买这两种书各需要多少元？2、“五一”黄金周，人民商场女装部推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动，某顾客买了一套女装和一套男装，优惠前需付 700 元，而她实际付款 580 元。问男装、女装原价各是多少元？3、某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款 386 元，这两种商
12、品原销售价之和为 500 元，问这两种商品的原销售价分别为多少元？销售问题（2）【例】甲、乙两件服装的成本共 500 元，老板为获取利润，决定将甲服装按 50的利润定价，乙服装按 40的利润定价。在销售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售。这样商店共获利 157 元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？分析：两个变量关系：（1）甲服装的成本乙服装的成本500；（2）甲服装的售价乙服装的售价500157。解：设甲服装的成本为 元，乙服装的成本为 元。xy由题意可列方程组 解得： 50 157 xy答：甲服装的成本为 元，乙服装的成本为 元。1、华联商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价 50，乙
13、商品加价 40作为标价，后适逢元旦商场搞促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售。某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款 538元，已知商场共盈利 88 元，求甲、乙两种商品的进价。2、某商场购进甲、乙两种服装后，都加价 40标价出售。“春节”期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别把标价的八折和九折出售。某顾客购买甲、乙两种服装共付 182 元，两种服装的标价之和为 210 元，求这两种服装的进价和标价各是多少元？3、某商场欲购甲、乙两种商品共 50 件，甲种商品每件进价为 35 元，利润率为 20；乙种商品进价为 20 元，利润率为 15，共获利 278 元，问甲、乙两种商品各购进多
14、少件？增长率问题（1）销售利润总产值总支出 10总 产 值 总 支 出销 售 利 润 率 总 产 值【例】某工厂去年的利润为 200 万。今年总产值比去年增加了 20，总支出比去年减少了 10，今年的利润为 780 万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？解：设去年的总产值为 万元，总支出 万元。则有xy根据上表可列方程组 解得： xy答：去年的总产值为 万元，总支出 万元。1、某企业去年的总收入比总支出多 500 万元，今年的总收入比去年增加 10，总支出节约 15，因此总收入比总支出多 800 万元。求去年的总收入和总支出。2、某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共 480 台，改进生产技术后
15、，计划第二季度生产两种机器共544 台，其中甲种机器产量要比第一季度增产 10，乙种机器产量要比第一季度增产 20。该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？3、革命老区百色的某个芒果种植基地，去年结余为 500 万元，估计今年可结余 960 万元，并且今年的收入比去年高 15，支出比去年低 10，求去年的收入和支出各是多少万元？增长率问题（2）1、某校计划向灾区捐赠图书 3500 册，实际共捐了 4125 册，其中初中生比原计划多捐了 20，高中生捐了原计划的 115，问该校初、高中生实际各捐赠图书多少册？解：设初中生实际捐了 册，高中生实际捐了 册。则有xy根据上表可列方程组 解得： xy答
16、：设初中生实际捐了 册，高中生实际捐了 册。2、某工厂去年的总产值比总支出多 500 万元，而今年计划的总产值比总支出多 950 万元，已知今年计划总产值比去年增加 15，而计划总支出比去年减少 10，求今年计划的总产值和总支出各为多少元。储蓄问题【例】小明以两种方式储蓄了压岁钱 2000 元，其中一种是年利率为 2.25的教育储蓄，另一种是年利率为 3.06的一年期定期存款，一年后共得利息 45.99 元，求这两种储蓄各存了多少钱？分析：两个等量关系：（1）两种储蓄共有 2000 元；（2）教育储蓄的利息定期存款的税后利息42.75 元。初 中 生 捐 书 （ 册 ） 高 中 生 捐 书 （
17、 册 ） 共 捐 书 （ 册 ） 实 际 捐 书 5125 计 划 捐 书 350 解：设存一年教育储蓄的钱为 元，存一年定期存款的钱为 元。xy由题意可列方程组 解得20.53.612045.9yA x答：存一年教育储蓄的钱为 元，存一年定期存款的钱为 元。1、某储户存入银行甲、乙两种利息的存款，共计 2 万元，甲种存款的年利率是 3，乙种存款的年利率是 1.5，不计利息税，该储户一年共得利息 525 元，求甲、乙两种存款各是多少万元？2、小明以两种方式共储蓄了 3000 元教育储蓄，一种的年利率为 2.25，另一种的年利率为 3.06，一年后本息和为 3079.65 元，求每种存款各为多少
18、元？3、王凯以两种方式分别储蓄了 2000 元和 1000 元，一年后全部取出，扣除利息税后，可得利息 43.9元，已知这两种储蓄年利率的和为 3.24，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？数字问题（1）【例】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小 1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的 ，15求这个两位数。分析：两个等量关系：（1）十位数字个位数字1；（2）十位数字个位数字这个两位数的。5解：设十位数字为 ，个位数字为 。xy由题意可列方程组 解得：105yx xy答：这个两位数为 。1、一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的 3 倍，将个位上的数字与十位上的数字对调后所得的两位数比原来
19、的两位数小 18，求这个两位数。2、有一个两位数，个位上的数比十位上的数大 5。如果把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是 143，求这个两位数。3、一个两位数的十位数字与个位数字的和为 7，如果这个两位数加 45，那么恰好成为个位数字与十位数字对调后所成的两位数，求这个两位数。4、有一个两位数，其值等于十位数字与个位数字之和的 4 倍，其十位数字比个位数字小 2，求这个两位数。数字问题（2）【例】两个两位数的和是 68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。已知前一个四位数比后一个四位数大 2178。求这两个
20、两位数。分析：设较大的两位数为 ，较小的两位数为 。xy在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位可表示为 ；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，得到一个四位数可表示为 。解：设较大的两位数为 ，较小的两位数为由题意可列方程组 解得： xy答：较大的两位数为 ，较小的两位数为 。1、两个两位数的和是 85，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。已知前一个四位数比后一个四位数大 1287。求这两个两位数。2、一个三位数和一个两位数的差为 225，在三位数的左边写这个两位数，得到一个五位数，在三位数的右边写上这个
21、两位数，也得到一个五位数。已知前面的五位数比后面的五位数大 225，求这个三位数和两位数。3、有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小 45；又已知百位数字的 9 倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小 3，试求原来的三位数。相遇问题我们经常会遇到：甲、乙相向而行，途中相遇的行程问题，这类应用题中存在下面的等量关系：【例】甲、乙两人分别从 A、 B 两地相向而行，甲的速度是乙的速度的 2 倍，如果 A、B 两地相距 90千米，同时出发经过 2 小时两人相遇，求甲、乙两人的速度。分析：两个等量关系：（1）甲的速度2乙的速度； （2）甲走的路程乙走的路程90 千米解：设甲的速度为
22、千米/小时，乙的速度为 千米/小时xy由题意可列方程组 解得 xy答：甲的速度为 千米/小时，乙的速度为 千米/ 小时。1、甲、乙两人在一条长 400 米的环形跑道上跑步，甲的速度是 6 米/秒，乙的速度是 4 米/ 秒。两人同时同地反向跑步，经过 后两人第一次相遇。2、甲的速度是 5 km/h，乙的速度是 6 km/h，甲、乙两人同时出发相向而行，7 h 后相遇，则两地的距离为 km。3、甲、乙两人骑自行车同时从相距 65 千米的两地相向而行，2 小时后相遇，若甲比乙每小时多骑 2.5千米，求甲、乙两人的速度。4、A、B 两城相距 720 km，普快列车从 A 城出发 120 km 后，特快
23、列车从 B 城开往 A 城，6 h 后两车相遇。若普快列车的速度是特快列车速度的 ，求普快列车和特快列车的速度。3追击问题我们还会遇到另一类行程应用题，即同时不同地的追击问题，这类问题存在下面的等量关系：两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两BA两两两两两两 两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两两【例】甲、乙两人相距 8 km，二人同时出发，同向而行，甲 2.5 h 可追上乙；相向而行，1 h 相遇，二人的速度各是多少？分析：两个等量关系：（1）同向而行时，甲走的路程乙走的路程8 km（2）相向而行时，甲走的路程乙走的路程8 km解：设甲
24、的速度为 km/h，乙的速度为 km/h。xy由题意可列方程组 解得 xy答：甲的速度为 km/h，乙的速度为 km/h。1、小明每秒跑 6 米，小彬每秒跑 5 米，小彬站在小明前 10 米处，两人同时起跑，小明 秒能追上小彬。2、甲以 5 千米/小时的速度先走 16 分钟，乙以 13 千米/ 小时的速度追甲，则乙追到甲需要 小时。3、甲、乙两人同时同地同向出发沿 400 米的环形跑道跑步，当甲第二次追上乙时，甲跑的路程比乙跑的路程多 米。4、甲、乙两人在一条长 400 m 的环形跑道上跑步，若同向跑步，则每隔 200 s 相遇一次；若反向跑步，则每隔 40 s 相遇一次，已知甲比乙跑得快，求
25、甲、乙两人的速度。5、甲、乙两人同时绕 400 米的环形跑道行走，如果他们同时从同一起点背向而行，2.5 分钟相遇；如果他们同时从同一起点同向而行，12.5 分钟甲能追上乙。求甲、乙每分钟各走多少米？航行问题顺水速度静水速度水速； 逆水速度静水速度水速【例】两地相距 280 km，一艘轮船在其间航行，顺流用了 14 h，逆流用了 20 h。求船在静水中的速度和水流的速度。分析：两个等量关系：（1）顺水速度顺流用的时间280 km；（2）逆流速度逆流用的时间280 km。解：设船在静水中的速度为 km/h，水流速度为 km/h。xy由题意可列方程组 解得 xy答：船在静水中的速度为 km/h，水流速度为 km/h。1、一艘船航行于甲、乙两地之间，顺水需 3 h，逆水要比顺水多走 h，若水流速度为 km/h，求船122在静水中的速度和甲、乙两地间的路程？2、一艘船航行于 A、B 两个码头之间，顺水航行需要 3 小时，逆水航行需要 5 小时，已知水流速度是4 千米/小时，求这两个码头间的距离和船在静水中的速度？3、轮船顺水行驶 36 千米，用了 3 小时；逆水行 24 千米，也用了 3 小时。求船在静水中的速度和水流的速度？
