1、 1 / 16同步课程利用导数研究函数的单调性1. 初等函数的导数公式表 ()yfx ()yfxc 0nyx()N， 为正整数1nyx0,)Q， 为有理数xya(,1lnxyaloga0,)x1lsinyx cosyxco in注： ，称为 的自然对数，其底为 ， 是一个和 一样重要的无理数lngeaae2.7184e注意 ()x2. 导数的四则运算法则：函数和（或差）的求导法则：设 ， 是可导的，则 ，()fxg()()fxgfxg即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差） 函数积的求导法则：设 ， 是可导的，则 ，()fxg()()()fxgfxgfx 即，两个函数的积
2、的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数由上述法则即可以得出 ，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导()()Cfxf数函数的商的求导法则：利用导数研究函数的单调性知识回顾2 / 16同步课程利用导数研究函数的单调性设 ， 是可导的， ，则 ()fxg()0gx2()()()fxgfxfgx特别是当 时，有 ()1f2()()xx【定理】 设函数 在 上连续，在 内可导.()yfx,ab(,)ab（1）如果在 内 ，那么函数 在 上单调增加；,0fyfx,ab（2）如果在 内 ，那么函数 在 上单调减少.()ab()【解读】设函数在某区间内可导，
3、 在该区间上单调递增； 在该()fxf ()0()fxfx区间上单调递减.反之，若 在某个区间上单调递增，则在该区间上有 恒成立（但不()f ()f恒等于 0） ；若 在某个区间上单调递减，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于fx 0fx0）.求可导函数单调区间的一般步骤和方法1) 确定函数的 的定义区间；()fx2) 求 ，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；()f03) 把函数 的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 的定义区间分成若干个小区间；()fx4) 确定 在各个区间内的符号，根据 的符号判定函数 在每个相应小区间 ()fxfx内的增
4、减性.【例 1】 函数 f(x)( x3)e x的单调递增区间是( )A( ，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)【例 2】 已知 f(x)x 3ax 在 1，)上是单调增函数，则 a 的最大值是( )A0 B 1C2 D3【例 3】 三次函数 在 内是减函数，则（ ）3()1yfxa()，A B C D10a 0a知识讲解3 / 16同步课程利用导数研究函数的单调性【例 4】 设 f(x)、g( x)是 R 上的可导函数，f (x)，g(x )分别为 f(x)、g(x) 的导函数，且满足 f(x)g(x)f (x)g(x)f(b)g( x)Bf(x)g( a)f(a)g(x)Cf(x)
5、g( x)f(b)g(b)Df(x)g(x)f(b )g(a)【例 5】 已知函数 ，若 的单调递减区间是 ，则 的值是 321()5fx()fx(31)， a【例 6】 已知函数 ，若 在 上是单调增函数，则 的取值范围是 32()fxax()fx1)，【例 7】 已知 是 上的单调增函数，则 的取值范围是（ ）321()3yxbxRbA 或 B 或1b 2C D 【例 8】 若函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）()23khx(1,)kA B C D, 2,)(,2(,2【例 9】 已知 ， ，且 在 上是增函数，则此时实数 的取()23khx()lngxhx()g1,)k值范
6、围是_【例 10】 若函数 在 内单调递减，则实数 的取值范围是（ ）32()1fxa(0)， aA B C Da 33 03a【例 11】 若函数 的单调递区间为 ，则实数 的取值范围是（ ）32()1fxa(02)， aA B C Da 33 03a【例 12】 已知对任意实数 有 ， ，且 时， ， ，x()(ffx)(gx0()fx()gx则 时（ ）0xA ， B ，()f()0g ()f()g4 / 16同步课程利用导数研究函数的单调性C ， D ，()0fx()gx()0fx()gx【例 13】 已知函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围为23()4fa1， a_【例 14
7、】 若函数 在区间 与 上都是减函数，则实数 的取值23()4fxax(2)， ()， a范围为_【例 15】 已知函数 f(x)x 312x8 在区间3,3 上的最大值与最小值分别为 M，m，则Mm _.【例 16】 若函数 f(x) 在区间(m, 2m1) 上是单调递增函数，则实数 m 的取值范围是4xx2 1_【例 17】 已知函数 f(x)x 22xalnx，若函数 f(x)在(0,1) 上单调，则实数 a 的取值范围是( )Aa0 Ba0 或 a4【例 18】 若函数 f(x)x 3x 2mx1 是 R 上的单调递增函数，则 m 的取值范围是_【例 19】 函数 f(x)x 3px
8、22m 2m 1 在区间(2,0)内单调递减，且在区间( , 2)及(0, )内单调递增，则实数 p 的取值集合是_【例 20】 设函数 f(x)6x 33( a2)x 22ax.(1)若 f(x)的两个极值点为 x1，x 2，且 x1x21，求实数 a 的值(2)是否存在实数 a，使得 f(x)是( ，)上的单调函数？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由. 5 / 16同步课程利用导数研究函数的单调性【例 21】 已知函数 若函数 在区间 上不单32()(1)()fxaxxb()aR， ()fx(1)，调，求 的取值范围a【例 22】 函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围325ya
9、x()， a6 / 16同步课程利用导数研究函数的单调性【例 23】 已知函数 ，若 在 上是增函数，求 的取值范围21()(0fxax， ， ()fx(01， a【例 24】 设 为实数，函数 在 和 都是增函数，求 的取a321fxax0， 1， a值范围7 / 16同步课程利用导数研究函数的单调性【例 25】 已知函数 xaxfln1)(2当 时，求函数 的单调递增区间；3af若 )(f在区间 上是减函数，求实数 a的取值范围0,28 / 16同步课程利用导数研究函数的单调性【 例 26】 设 函 数 ， 若 曲 线 的 斜 率 最 小 的 切 线 与 直 线32()91(0)fxax(
10、)yfx平 行 ，16xy求 ： 的值；函数 的单调区间()fx9 / 16同步课程利用导数研究函数的单调性【例 27】 已知函数 ，其中 ， 321()afxxbabR若曲线 在点 处的切线方程为 ，求函数 的解析式；y()Pf， 54yx()fx当 时，讨论函数 的单调性0ax10 / 16同步课程利用导数研究函数的单调性【例 28】 已知 是定义在 上的函数，其图象交 轴于 ， ， 三点，若32()fxabcxdRxABC点 的坐标为 ，且 在 和 上有相同的单调性，在 和 上有相B0， ()f10， 45， 02， 45，反的单调性求 的值；c在函数 的图象上是否存在一点 ，使得 在点 处的切线的斜率为()fx0()Mxy， ()fxM?若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由3bM
