1、9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动.已知刚体质量为 m，其重心 C 和轴 O间的距离为 h，刚体对转动轴线的转动惯量为 I.问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐运动？如果是，求固有频率，不计一切阻力.解 刚体受力如图所示，规定逆时针为转动正方向， 为与 铅OC垂线（为平衡位置）的夹角，由对 的转动定理；OIMmghsin因 很小故si220dIgh0tIm/9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为 m，轻弹簧的劲度系数为 和 ，1k2支承面是理想光滑面，求系统振动的固有频率.m1k2k解 以物体 m 为隔离体,水平方向受 的弹性力 以平衡位12k,12F,置为原点建立坐标系 ，水平向
2、右为 x 轴正方向。设 m 处于 点Ox O对两弹簧的伸长量为 0，即两个弹簧都处于原长状态。m 发生一小位移 x 之后，弹簧 的伸长量为 x，弹簧 被压缩长也为 x。1k2k故物体受力为： （线性恢复力）x121F=()xm 相当于受到刚度系数为 的单一弹簧的作用12k=由牛顿第二定律： 2122dx(k)xtm=0210k9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为 m，弹簧的劲度系数为 .若1k在振子和弹簧 之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半.串联上1的弹簧的劲度系数 应是 的多少倍？2k1解 未串时：平衡位置 1mgk=212dxk(x)td=0t10km串联另一刚度系数为 的弹簧
3、：2此时弹簧组的劲度系数为 k?12121 122122kg;mmgk/(k)g/()=10012,mk 前已知：0212100121kk,m()mk() 前解得： 239.2.4 单摆周期的研究.（1）单摆悬挂于以加速度 a 沿水平方向直线行驶的车厢内.（2）单摆悬挂于以加速度 a 上升的电梯内.（3）单摆悬挂于以加速度 a(g)下降的电梯内.求此三种情况下单摆的周期.摆长为 .解 （1）以车为参照系，摆锤为隔离体，受重力 ，摆线张力 ，WT惯性力 。fma平衡位置处有： Tgf0由此可得平衡位置时摆线铅直夹角(1)atg由平衡位置发生小角位移 由牛顿第二定律:在切线方向的分量式 sin()
4、cos()mgama即 inscosin)a角很小,故 .于是得:s,c1(sincos)(sin)gaa利用(1)式, ,则 2(cosin)dgat即 2si0dt因为 22sin,cosagga所以 202cosingagaT(2)以电梯为参照系,惯性力与重力沿铅垂方向,同于的分析摆线为铅垂位置时为平衡态. 2Tga(3) 同(2)的分析得: 2Tga9.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为 .设想各310/s原子之间彼此以弹簧连结.一摩尔银的质量为 108g 且包含个原子.现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频23601率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度
5、系数.解 由 9.2.2 知120km这里 12k0201354(/)kmN9.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为 ，物体质量为 20gk9.8N/m现将弹簧自平衡位置拉长 并给物体一远离平衡位置的速度，2c其大小为 7.0m/s，求该振子的运动学方程(SI).解 以平衡位置为原点建立坐标系 O-x,水平向右为正方向。弹簧振子的运动方程为: 0cos(),9.8(/),20xAtkNmg故 03.7/21rads时，t00(),7.(/)xccs22031Am时， t00cosinxA0.34()rad弹簧振子的运动方程： 231cos(7.34)xt9.2.7 质量为 的物体悬挂在劲度系数
6、为 的弹簧.0g 61.0dyn/cm下面.（1）求其振动的周期.（2）在 时，物体距平衡位置的位t移为 ，速度为 ，求其运动学方程.05cm15c/s解 以平衡位置为原点，建立坐标系 O-x，竖直向下为正方向。（1） 020.19()mTsk（2）设运动方程为： 0000cos()31.6sinxAtkmt时 ，即 00cos.726in.8xA故 .759()43.9rad所以运动学方程为： 36.8910cos(.60759)xt9.2.8（1）一简谐振动的运动规律为 ，若计时起点提xcos(8t+)4前 0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？（2）一
7、简谐振动的运动学方程为 .若计时起点推x8sin(3t)迟 1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？（3）画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后 时旋转矢t0量的位置.解 （1）（1）5cos(8)4xt计时起点提前 0.5，则 ，代入（1）式，运动方程为：0.5t5cos8(.)cos84)4xt 设计时起点提前 秒，可使初相为零，即 ，代入（1）式0t 0t得： 05cos(8)5cos(8)4xtt 有 008,432tt即即提前 秒时计时可使其初相为零。32（2）（2）38sin(3)8cos()2xtt计时起点提前 秒时 代入0t0t8cos(3)2xt若计时起点推
8、迟一秒，则 ，此时初相为01t0t若要 ，需032t02t即推迟 秒计时时，可使初相为零。（3） 见图 a,bx0t0t)45185cos(84)xt5cos(8)x(a)0tt 38cos()2xt38cos()2tx932(b)9.2.9 画出某简谐振动的位移时间曲线，其运动规律为（SI 制）1x2cos(t)4解 （ 制）12cos()4xtSI令 则有t为周期引的余弦曲线。2cosxt画出 曲线，再根据xt的关系。将 轴右移 周期。14to14O1240()ts()xcm9.2.10 半径为 R 的薄圆环静止于刀口 O 上，令其在自身平面内作微小摆动.（1）求其振动的周期.（2）求与其
9、振动周期相等的单摆的长度.（3）将圆环去掉 而刀口支于剩余圆弧的中央，求其周期与23整圆环摆动周期之比.解 （1）该装置为物理摆，利用 9.2.1 对一般刚体得到的公式为薄圆球质量。0,2.mghITmIgh hR根据平行轴定理： 2220IoRmTg（2）根据单摆公式 02Tg由 可得 0,TR（3）该装置为物理摆，仍利用公式2ITmgh由对称性可知，质心位于 上。 为剩余圆弧的质量，o。hoc根据平衡轴定理。 2220 ()CCImRIcIRh20 ()Cnhm故22,1.hTTg即 可知不管圆环去掉多少，只要刀口高于剩余圆弧中央，其振动周期均不变。9.2.11 1m 长的杆绕过其一端的水
10、平轴作微小摆动而成为物理摆.另一线度极小的物体与杆的质量相等.固定于杆上离转轴为 h 的地方.用表示未加小物体时杆子的周期，用 表示加上小物体以后的周期.0TT（1）求当 和 时的比值 .（2）是否存在某一 h 值，h50cm10c0可令 ，若有可能，求出 h 值并解释为什么 h 取此值时周期不变.解 （1）利用 9.2.1 得到的物理摆公式 cIT2mgh设 为杆质量， 为杆长，未加小物体时，0m加小物体后，200c001I,h32mT3g0200cmh12Ih,2,h3 4220mThg()422013hThg()400T71,5, .9352840,h, 1.即 时 ，即 时 ，（2）由 ，即0T1223h
