初中数学压轴题--动态几何证明及实验题.doc

1、动态几何证明及实验题所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。解这类题目要“以静制动” ，即把动态问题，变为静态问题来解。解动态几何题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系（如等量关系、变量关系） 、图形位置关系（如图形的特殊状态、图形间的特殊关系）等进行研究考察抓住变化中的“不变量” ，以不变应万变实验操作【要点导航】通过实验操作观察猜想科学论

2、证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法. 实验操作探索理解题意、实验操作是基本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实.【典例精析】例 1 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，如图 1；第二步：再把 B 点叠在折痕线 MN 上，折痕为AE，点 B 在 MN 上的对应点为 B，得 RtABE，如图 2；第三步：沿 EB线折叠得折痕 EF，使 A 点落在EC 的延长线上，如图 3利用展开图 4 探究：（1）AEF 是什么三角形？证明你的结论；（2）对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由【思路分析】1图

3、形翻折后能重叠部分的图形全等，所以BEA=AEB= FEC，它们都是 60角，所以AEF 是等边三角形2由操作可知 AFAD 时，不能完整折出这种三角形当图 3 中的点 F、D 重合时，便可求得矩形的长与宽的比例为 2 3解（1）AEF 是等边三角形由折叠过程可得： 因为 BCAD，60BEAEC所以 所以AEF 是等边三角形 60AFEC（2）不一定当矩形的长恰好等于等边AEF 的边 AF 时，即矩形的宽长ABAF 时正好2:3图 1 图 2 图 3 图 4能折出如果设矩形的长为 A，宽为 B，可知当 时，按此种方法一定能折叠出等边三角形；当ab23时，按此法无法折出完整的等边三角形ab23

4、方法点睛要从操作实验题中抽象出数学模型来，并借助图形运动的基本性质求解例 2 已知：在ABC 中，BAC =90，M 为 BC 中点操作：将三角板的 90角的顶点与点 M 重合，并绕着点 M 旋转，角的两边分别与边 AB、AC 相交于点 E、F（1）探究 1：线段 BE、EF 、FC 是否能构成三角形？如果可以构成三角形，那么是什么形状的三角形？请证明你的猜想（2）探究 2：若改变为：“角的两边分别与边 AB、直线 AC 相交于点 E、F ”其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？请画出对应的图形并请证明你的猜想思路分析1由点 M 是 BC 中点，所以构造绕点 M 旋转 180重合的全等三

5、角形，将线段 BE、EF、FC 移到同一个三角形中2当角的两边分别与边 AB、直线 AC 相交于点 E、F 时，构造和证明的方法不变证明（1）线段 BE、EF 、FC 可以构成直角三角形如图 1，延长EM 到 G，使得 EM=MG，联结 GC、FG 因为 M 为 BC 中点，所以BM=CM，又因为EMB = GMC，EM=MG ，所以EMB GMC，所以 BE=GC，EM =MG，B= MCG因为 FM 垂直平分 EG，所以FE=FG又因为BAC=90 ，所以B+ACB=90，所以MCG + ACB=90，即 FCG=90，所以 ，所以22FC22EFCB（2）如图 2，当点 F 在 CA 的

6、延长线上时，延长 EM 到 G，使得EM=MG，联结 GC、FG因为 M 为 BC 中点，所以 BM=CM，又因为EMB =GMC，EM=EG ，所以EMB GMC，所以BE=GC，EM=MG，B=MCG因为 FM 垂直平分 EG，所以FE=FG又因为BAC=90 ，所以B+ACB=90，所以AB CMAB CME FGAB CMEFG图 3FCG为阴影AB CMEFG图 2FCG为阴影FCG为阴影标注三角板为阴影标注三角板为阴影标注三角板为阴影MCG +ACB=90 ，即FCG=90，所以 ，所以 22FGC22EFCB如图 3，当点 F 在 AC 的延长线上时，同理可证22ECB方法点睛线

7、段之间常见的关系是和差关系或者满足勾股定理若能将所要求线段移动到同一条直线上，则线段之间是和差关系的可能性较大，若能将所要求线段移动后能构成三角形，则线段之间满足勾股定理的可能性较大【星级训练】第 天 ，年 月 日 1. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上（点 E 与点 A、B 不重合） ，过点 E 作FGDE，FG 与边 BC 相交于点 F， 与边 DA 的延长线相交于点 G（1）操作：由几个不同的位置，分别测量 BF、AG、AE 的长，从中你能发现 BF、AG、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；（2）连结 DF，如果正方形的边长为 2，设 AE= ，

8、DFG 的面积为 ，求 与 之间的函数解析xyx式，并写出函数的定义域；（3）如果正方形的边长为 2，FG 的长为 ，求点 C 到直线 DE 的距离252. 操作：将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q探究：设 A、P 两点间的距离为 x（1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点 P 在

9、线段 AC 上滑动时， PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使GFEDACBDACB供试验操作用PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相应的 x 的值；如果不可能，试说明理由 （图 5、图 6、图 7 的形状大小相同，图 5 供操作、实验用，图 6 和图 7 备用）3. 在ABC 中，AB= AC，CGBA 交 BA 的延长线于点 G一等腰直角三角尺按如图 1 所 示的 位 置 摆 放 ， 该 三 角 尺 的 直 角 顶 点 为 F， 一 条 直 角 边 与 AC 边 在 一 条 直 线 上 ， 另 一 条 直 角边恰好经过点B（1）在图 1 中请你通过观察、测量 BF

10、 与 CG 的长 度 ， 猜 想 并 写 出 BF 与 CG 满 足 的 数 量 关 系 ， 然后证明你的猜想；（2）当 三角尺沿 AC 方 向 平 移 到 图 2 所 示 的 位 置 时 ， 一 条 直 角 边 仍 与 AC 边 在 同 一 直 线 上 ， 另 一 条 直角边交 BC 边于点 D，过点 D 作 DEBA 于点 E 此 时 请 你 通 过 观 察 、 测 量 DE、 DF 与 CG 的 长度，猜想并写出 DEDF 与 CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当 三 角 尺 在 （ 2） 的 基 础 上 沿 AC 方 向 继 续 平 移 到 图 3 所 示 的 位 置

11、（ 点 F 在 线 段 AC 上 ， 且 点F 与 点 C 不 重 合 ） 时 ， （ 2） 中 的 猜 想 是 否 仍然成立？（不用说明理由）4. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l 是第一、三象限的角平分线实验与探究：（1）由图观察易知 A（0，2）关于直线 l 的对称点 的坐标为（2，0） ，请在图中分别标明 B(5,3) A、 C(-2,5) 关于直线 l 的对称点 、 的位置，并写出他们的坐标：BCDACB 图 5DACB 图 6DACB 图 7、 ；B C归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 P(a,b)关于第一、三象限的角平分线 l的对称点

12、的坐标为 （不必证明） ；运用与拓广：（3）已知两点 D(1,-3)、E(-1,-4) ，试在直线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标探索性问题探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在

13、的题目条件探索【要点导航】“探索”是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，数学中的“条件探索”题型，是指命题中缺少一定的题设，需经过推断、补充并加以证明的命题，因而必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由结论去探索未给予的条件。由于题型新颖、综合性强、结构独特，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，因而具体操作时要更注重数学思想方法的综合应用【典例精析】例 1 如图，在线段 的同侧作正方形 和正方形 （ ） ，连结 并延长交AEABCDEFGBAEG于点 ，过 作 ，垂足为 ， 交 于点 设正方形 的边长为 1DCMNMNPCD（1）证明

14、CMGNBP；（2）设 BE=x，四边形 MGBN 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域（3）如果按照题设方法作出的四边形 是菱形，求 BE 的长BGP（4）联结 PG，若 能否成为直角三角形？如果能，求 BE 的长；BP123456-1-2-3-4-5-6 -1-2-3-4-5-61234567O xy lA BADEC(?2?)ANBEFGMP如果不能，请说明理由（5）联结 AC、AF、CF，求证 ACF 的面积为定值 思路分析1第（3）小题把四边形 是菱形作为条件探索 BE 的长BGMP2 中PBG 始终是 45，而BPG 和PGB 有可能为 90，要分情况讨论BP

15、3第（5）小题即可用割补法求也可用利用 ACBF 将ACF 的面积转化为ABC 的面积证明（1）因为 正方形 ABCD，所以 ， ，同理 因为 90CBA45D45BEGCD/BE，所以 ，因为 ，垂足为 N，所以 所以 四边形45BEGCN90MBCMN 是矩形所以 ，又 因为 ， ，所以 NMPPCCMGNBP（2）因为 正方形 BEFG，所以 ，所以 从而 ，所以 xBExG1x1定义域为： 21)(12)(1xBGy 0（3）由已知易得 MN/BC，MG/BP所以四边形 BGMP 是平行四边形要使四边形 BGMP 是菱形则 BG=MG，所以 解得 所以 时四边形 BGMP 是菱形 )(

16、x22BE（4）如图 2，当PGB90时，BGPG MC，即 ，解得 ， 所以 BE 的长为 如图x11213，当GPB90时，BG2MC，即 ，解得 ， 所以 BE 的长为 ()x33（5）如图 4： 或者，由于11()()22ACFDHEACEFHCSSSxx， ，因此 所以 ，1()2AEFSx1()2BFExAEFBABQCFS或者因为 BFAC，所以点 B 和 F 到 AC 的距离相等，即AFC 和ABC 同底等高，ACFB所以 12AFBCSNBFGCMDP图2NBFGCMDP图3ABEFCD图4QHG方法点睛第（5）小题体现了图形运动中的不变性，正方形 的边长虽然改变但是AFC

17、的面BEFG积不变例 2 在等边ABC 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、ND 为ABC 外一点，且MDN60， BDC120 ， BDDC 探究：当 M、 N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN 的周长 Q 与等边 ABC 的周长 L 的关系（1）如图 1 所示，当点 M、 N 在边 AB、AC 上，且 DMDN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 LQ ；（不必证明）（2）如图 2 所示，点 M、N 在边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （3） 如图 3 所示，当

18、M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN2，则 Q （用含有 L 的式子表示） 思路分析1当 DMDN 时，BDM 和CDN 全等，设 BM=CN=a，则 ， 6aL92当 DMDN 时，在 AC 的延长线上截取 CPBM，连接 DP，通过两次全等可证BM+NC=MN所以 ， 结论依然成立aQ6L93当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，通过两次全等可证 NCBM=MNAB CDM N图 1AB CDMN图 2AB CDMN图 3解（1）BMNCMN； Q2=L3（2） （1）问的两个结论任然成立如图 4，在 AC 的延长线上截取CPBM，连接 DP，在等边 ABC，AB

19、CACB60 ，BDC120，BDDC ，所以 DBCDCB30，所以DBMDCP 90在DBM 与DCP 中，CPBM，DBMDCP 90，DBDC，所以DBMDCP（SAS）所以BDMCDP，DMDP ，因为 BDC120 ，PDNCDPCDNBDMCDN 1206060在DMN 与DPN 中，DMDP ，MDNPDN60，DNDN，所以DMNDPN（SAS）所以 MNPNNCPC NCBM，所以QAMMN AN（AM BM）（CNAN ）AB +AC=2AB而LAB +AC+BC=3AB，所以 Q2=L3（3）Q L4如图 5，在 AC 的上截取 CPBM，连接 DP，同理2可证DCPD

20、BM 和DNPDNM ，所以 Q=AN+AM+MN= AN+AB +BM +MN = AN+AB +CP +NP =2NC=2（AN +AC） 因为 AN2，AC = ，L31所以 Q= L423方法点睛旋转对称图形中构造旋转型全等三角形是常用的方法【星级训练】第 天 ，年 月 日 1. 如图 1 所示，直线 AB 交 x 轴于点 A（A，0） ，交 y 轴于点 B（0，B） ，且 A、B 满足2b(4)0a（1）如图 1，若 C 的坐标为（ 1，0） ，且 AHBC 于点 H，AH 交 OB 于点 P，试求点 P 的坐标；（2）如图 2，连接 OH，求证：OHP 45 ；（3）如图 3，若点

21、 D 为 AB 的中点，点 M 为 y 轴正半轴上一动点，连接 MD，过 D 作 DNDM 交 x 轴于 N 点，当 M 点在 y 轴正半轴上运动的过程中，式子 SBDMS ADN 的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值ABOyxNMD图 3ABCH POyx图 2xyOPHCBA图 1AB CDMN图 4PAB CDMN图 5P第 天 ，年 月 日2. 已知 、 分别是 的 边、 边上的高， 是 边的中点，分别联结BDCEAB CABMBC、 、 ME（1）当 时，垂足 、 分别落在边 、 上，如图 1求证： 90A ED(2) 当 时，垂足 、 分别

22、落在边 、 所在的直线上，如图 2，问（1）中的结论是否依然成立？无需说明理由，直接写出答案即可；若 ，试判断 的形状，简写解答35BAC过程（3）设 的度数为 ， 的度数为 ，求 与 之间的函数关系式BACxDMEyx第 天 ，年 月 日3. 如图 1，已知ABC =90，ABE 是等边三角形，点 P 为射线 BC 上任意一点（点 P 与点B 不重合） ，连结 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段 AQ，连结 QE 并延长交射线 BC 于点 F.（1）如图 2，当 BP=BA 时，EBF= ，猜想QFC= ；（2）如图 1，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想QFC

23、的度数，并加以证明；（3）已知线段 AB= ，设 BP= x，点 Q 到射线 BC 的距离为 y，求 y 关于 x的函数关系式3AB C（备用图）AB CDME图 2AB CDME图 1图1ACBEQF P图2ABEQPF C结论探索【要点导航】探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存

24、在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、正、反比例和一次函数的求法（图象及其性质） 、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、等其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力【典例精析】例 1 如图 1，在ABC 中，ACB = 90，AC = BC，AB = 8，CD AB，垂足为点 DM

25、为边 AB 上任意一点，点 N 在射线 CB上（点 N 与点 C 不重合） ，且 MC = MN，NE AB，垂足为点 E当点 M 在边 AB 上移动时，试探索线段 ME 的长是否会改变？说明你的理由思路分析射线 CB 包括线段 CB 和线段 CB 的延长线两部分，点 N 在射线 CB 上运动时，可证明CMD 和MEN 全等，所以线段 ME 的长始终和线段 CD 相等，所以不会改变长度解：当点 M 在边 AB 上移动时，线段 ME 的长不变，ME = 4由点 N 在射线 CB 上，可知点 N 在边BC 上或点 N 在边 CB 的延长线上（）如图 1，如果点 N 在边 BC 上，可知点 M 在线段 AD 上因为 AC = BC，ACB = 90，所以 A = B = 45又因为 AC = BC，CDAB，AB = 8，所以 CD = BD = 4即得 因为 45BCDMC = MN，所以 MCN =MNC 因为 MCN =MCD +BCD，MNC =B +BMN，所以 MCD =NME又因为 CDAB，NEAB ，所以 CDM = MEN = 90所以 MCDMNE（AAS） 所以 A BC图 1DNM E