1、1.四边形 ABCD 是正方形，BEF 是等腰直角三角形，BEF=90，BE=EF，连接 DF，G 为DF 的中点，连接 EG，CG，EC(1)如图 1，若点 E 在 CB 边的延长线上，直接写出 EG 与 GC 的位置关系及的值；(2)将图 1 中的BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 2 所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)将图 1 中的BEF 绕点 B 顺时针旋转 (090)，若 BE=1，AB=，当 E，F，D三点共线时，求 DF 的长及 tanABF 的值解：（1）EGCG， = ，理由是：过 G 作 GHEC 于 H，FEB
2、=DCB=90，EFGHDC，G 为 DF 中点，H 为 EC 中点，EG=GC，GH= （EF+DC）= （EB+BC），即 GH=EH=HC，EGC=90，即EGC 是等腰直角三角形， = ；（2）解：结论还成立，理由是：如图 2，延长 EG 到 H，使 EG=GH，连接 CH、EC，过 E 作 BC 的垂线 EM，延长 CD，在EFG 和HDG 中EFGHDG（SAS），DH=EF=BE，FEG=DHG，EFDH，1=2=90-3=4，EBC=180-4=180-1=HDC，在EBC 和HDC 中EBCHDCCE=CH，BCE=DCH，ECH=DCH+ECD=BCE+ECD=BCD=90
3、，ECH 是等腰直角三角形，G 为 EH 的中点，EGGC， = ，即（1）中的结论仍然成立；（3）解：连接 BD，AB= ，正方形 ABCD，BD=2，cosDBE= = ，DBE=60，ABE=DBE-ABD=15，ABF=45-15=30，tanABF= ，DE= BE= ，DF=DE-EF= -1 解析：（1）过 G 作 GHEC 于 H，推出 EFGHDC，求出 H 为 EC 中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH= （EF+DC）= （EB+BC），推出 GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出EGC 是等腰直角三角形即可；（2）延长 EG 到 H，使 EG=GH，连接 CH
4、、EC，过 E 作 BC 的垂线 EM，延长 CD，证EFGHDG，推出 DH=EF=BE，FEG=DHG，求出EBC=HDC，证出EBCHDC，推出CE=CH，BCE=DCH，求出ECH 是等腰直角三角形，即可得出答案；（3）连接 BD，求出 cosDBE= = ，推出DBE=60，求出ABF=30，解直角三角形求出即可2.已知正方形 ABCD 和等腰直角三角形 BEF，BE=EF，BEF=90，按图 1 放置，使点 E 在BC 上，取 DF 的中点 G，连接 EG，CG(1)延长 EG 交 DC 于 H，试说明：DH=BE(2)将图 1 中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，连接 DF，取
5、 DF 中点 G(如图 2)，莎莎同学发现：EG=CG 且 EGCG在设法证明时他发现：若连接 BD，则 D，E，B 三点共线你能写出结论“EG=CG 且 EGCG”的完整理由吗？请写出来(3)将图 1 中BEF 绕 B 点转动任意角度 (090)，再连接 DF，取 DF 的中点 G(如图 3)，第 2 问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由（1）证明：BEF=90，EFDH，EFG=GDH，而EGF=DGH，GF=GD，GEFGHD，EF=DH，而 BE=EF，DH=BE；（2）连接 DB，如图，BEF 为等腰直角三角形，EBF=45，而四边形 ABCD 为正方形
6、，DBC=45，D，E，B 三点共线而BEF=90，FED 为直角三角形，而 G 为 DF 的中点，EG=GD=GC，EGC=2EDC=90，EG=CG 且 EGCG；（3）第 2 问中的结论成立理由如下：连接 AC、BD 相交于点 O，取 BF 的中点 M，连接 OG、EM、MG，如图，G 为 DF 的中点，O 为 BD 的中点，M 为 BF 的中点，OGBF，GMOB，四边形 OGMB 为平行四边形，OG=BM，GM=OB，而 EM=BM，OC=OB，EM=OG，MG=OC，DOG=GMF，而DOC=EMF=90，EMG=GOC，MEGOGC，EG=CG，EGM=OCG，又MGF=BDF，
7、FGC=GDC+GCD，EGC=EGM+MGF+FGC=BDF+GDC+GCD+OCG=45+45=90，EG=CG 且 EGCG 解析：（1）由BEF=90，得到 EFDH，而 GF=GD，易证得GEFGHD，得 EF=DH，而BE=EF，即可得到结论（2）连接 DB，如图 2，由BEF 为等腰直角三角形，得EBF=45，而四边形 ABCD 为正方形，得DBC=45，得到 D，E，B 三点共线，而 G 为 DF 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 EG=GD=GC，于是EGC=2EDC=90，即得到结论（3）连接 AC、BD 相交于点 O，取 BF 的中点 M，连接 OG、
8、EM、MG，由 G 为 DF 的中点，O为 BD 的中点，M 为 BF 的中点，根据三角形中位线的性质得 OGBF，GMOB，得到OG=BM，GM=OB，而 EM=BM，OC=OB，得到 EM=OG，MG=OC，又DOG=GMF，而DOC=EMF=90，得EMG=GOC，则MEGOGC，得到 EG=CG，EGM=OCG，而MGF=BDF，FGC=GDC+GCD，所以有EGC=EGM+MGF+FGC=BDF+GDC+GCD+OCG=45+45=903.已知正方形 ABCD 和等腰 RtBEF，BE=EF，BEF=90，按图放置，使点 F 在 BC 上，取 DF 的中点 G，连接 EG、CG(1)
9、探索 EG、CG 的数量关系和位置关系并证明；(2)将图中BEF 绕 B 点顺时针旋转 45，再连接 DF，取 DF 中点 G(如图)，问(1)中的结论是否仍然成立证明你的结论；(3)将图中BEF 绕 B 点转动任意角度(旋转角在 0到 90之间)，再连接 DF，取 DF 的中点 G(如图)，问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论解：（1）EG=CG 且 EGCG证明如下：如图，连接 BD正方形 ABCD 和等腰 RtBEF，EBF=DBC=45B、E、D 三点共线DEF=90，G 为 DF 的中点，DCB=90，EG=DG=GF=CGEGF=2EDG，CGF=2CDGEGF+CGF=2E
10、DC=90，即EGC=90，EGCG（2）仍然成立，证明如下：如图，延长 EG 交 CD 于点 HBEEF，EFCD，1=2又3=4，FG=DG，FEGDHG，EF=DH，EG=GHBEF 为等腰直角三角形，BE=EF，BE=DHCD=BC，CE=CHECH 为等腰直角三角形又EG=GH，EG=CG 且 EGCG（3）仍然成立证明如下：如图，延长 CG 至 H，使 GH=CG，连接 HF 交 BC 于 M，连接 EH、ECGF=GD，HGF=CGD，HG=CG，HFGCDG，HF=CD，GHF=GCD，HFCD正方形 ABCD，HF=BC，HFBCBEF 是等腰直角三角形，BE=EF，EBC=
11、HFE，BECFEH，HE=EC，BEC=FEH，BEF=HEC=90，ECH 为等腰直角三角形又CG=GH，EG=CG 且 EGCG解析：（1）首先证明 B、E、D 三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明 EG=DG=GF=CG，得到EGF=2EDG，CGF=2CDG，从而证得EGC=90；（2）首先证明FEGDHG，然后证明ECH 为等腰直角三角形可以证得：EG=CG 且EGCG（3）首先证明：BECFEH，即可证得：ECH 为等腰直角三角形，从而得到：EG=CG且 EGCG已知，正方形 ABCD 中， BEF 为等腰直角三角形，且 BF 为底，取 DF 的中点 G，
12、连接EG、CG （1）如图 1，若BEF 的底边 BF 在 BC 上，猜想 EG 和 CG 的数量关系为_；（2）如图 2，若BEF 的直角边 BE 在 BC 上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；（3）如图 3，若BEF 的直角边 BE 在DBC 内，则（1 ）中的结论是否还成立？说明理由解 ： （ 1） GC=EG， （ 1 分 ） 理 由 如 下 ：BEF 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，DEF=90， 又 G 为 斜 边 DF 的 中 点 ， EG= DF，ABCD 为 正 方 形 ，BCD=90， 又 G 为 斜 边 DF 的 中 点 ， CG= DF，GC=EG；（ 2）
13、成 立 如 图 ， 延 长 EG 交 CD 于 M，BEF=FEC=BCD=90， EFCD，EFG=MDG，又 EGF=DGM， DG=FG，GEFGMD，EG=MG， 即 G 为 EM 的 中 点 CG 为 直 角 ECM 的 斜 边 上 的 中 线 ，CG=GE= EM；121212（ 3） 成 立 取 BF 的 中 点 H， 连 接 EH， GH， 取 BD 的 中 点 O， 连 接 OG， OCCB=CD， DCB=90， CO= BDDG=GF，GHBD， 且 GH= BD，OGBF， 且 OG= BF，CO=GHBEF 为 等 腰 直 角 三 角 形 EH= BFEH=OG四 边
14、 形 OBHG 为 平 行 四 边 形 ，BOG=BHG BOC=BHE=90GOC=EHGGOCEHGEG=GC 此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半掌握这些性质，熟练运用全等知识是解本题的关键解析：（1）EG=CG，理由为：根据三角形 BEF为等腰直角三角形，得到DEF 为直角，又 G为 DF中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得到 EG为 DF的一半，同理在直角三角形 DCF中，得到 CG也等于 DF的一半，利用等量代换得证；（2）成立理由为：延长 EG交 C
15、D于 M，如图所示，根据“ASA” 得到三角形 EFG与三角形GDM全等，由全等三角形的对应边相等得到 EG与 MG相等，即 G为 EM中点，根据直角三角形12121212斜边上的中线等于斜边的一半得到 EG与 CG相等都等于斜边 EM的一半，得证；（3）成立理由为：取 BF的中点 H，连接 EH，GH，取 BD的中点 O，连接 OG，OC，如图所示，因为直角三角形 DCB中，O 为斜边 BD的中点，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到 OC等于BD的一半，由 HG为三角形 DBF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，得到 GH等于 BD一半，OG 等于 BF的一半，又根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 EH等于 BF的一半，根据等量代换得到 OG与 EH相等，再根据 OBHG为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边相等，对角相等，进而得到GOC 与EHG 相等，利用“SAS”得到GOC与 EHG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证
