1、利用轴对称求最短距离问题基本题引入:如图（1） ，要在公路道 a 上修建一个加油站，有，两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？你可以在 a 上找几个点试一试,能发现什么规律?aAB图 1ABaAM图 2ABaAM N图 3思路分析：如图 2，我们可以把公路 a 近似看成一条直线，问题就是要在 a 上找一点M，使 AM 与 BM 的和最小。设 A是 A 的对称点，本问题也就是要使 AM 与 BM 的和最小。在连接 AB 的线中，线段 AB 最短。因此，线段 AB 与直线 a 的交点 C 的位置即为所求。如图 3，为了证明点 C 的位置即为所求，我们不妨在直
2、线 a 上另外任取一点 N，连接AN、BN、AN。因为直线 a 是 A，A的对称轴，点 M,N 在 a 上，所以 AM= AM,AN= AN。AM+BM= AM+BM= AB在ABN 中，ABAN+BNAM+BMAN+BN即 AM+BM 最小。点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下：BC9（定值） ，PBC 的周长最小，就是 PBPC 最小.由题意可知，点 C 关于直线 DE 的对称点是点 A，显然当 P、A、 B 三点共线时 PBPA 最小.此时 DPDE，PBPAAB.由ADFFAE，DFAACB90 ，得DAFABC. EFBC
3、，得 AEBE AB ，EF .AFBCADAB ，即 69AD15.AD10. 12592RtADF 中，AD10，AF6，DF8.DEDFFE8 .当 x 时，9252PBC 的周长最小， y 值略。数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织教学内容，建立科学的训练系统。使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。一、 两条直线间的对称题目 1 如图，在旷野上，一个人骑马从 A 出发，他欲将马引到
4、河 a1 饮水后再到 a2饮水，然后返回 A 地，问他应该怎样走才能使总路程最短。点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点 A 作 a1 的对称点 A，作 a2 的对称点 A,连接 AA交 a1、a2 于 B、C,连接BC.所经过路线如图 5： A-B-C-A,所走的总路程为 AA。二、三角形中的对称题目 2 如图,在ABC 中,AC=BC=2,ACB=90,D 是 BC 边上的中点,E 是 AB 边上的一动点,则 EC+ED 的最小值是 _点评：本题只要把点 C、D 看成基本题中的、两镇，把线段 AB 看成燃气管道 a，问题就可以迎刃而解了，本题只
5、是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。三、四边形中的对称题目 3 如图，正方形 ABCD 的边长为 8， M 在 DC 上，且 DM=2,N 是 AC 上的动点，则DN+MN 的最小值为多少？点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点 D 关于直线 AC 的对称点正好是点 B，最小值为 MB10。AC BEDBCa1a2AAA第 1 题图第 2 题图hAB第 5 题图 1四、圆中的对称题目 4 已知：如图，已知点 A 是O 上的一个六等分点，点 B 是弧 AN 的中点，点 P 是半径 ON 上的动点，若O 的半径长为 1，求 AP+BP 的最小值。点评：这道题也运用了圆的对称
6、性这一特殊性质。点 B 的对称点 B在圆上，AB交ON 于点 p,由AON60, BON30， AOB90，半径长为 1 可得AB 。当点 P 运动到点 p时，此时 AP+BP 有最小值为 2 2五、立体图形中的对称题目 5 如图 1 是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的 A 处，它想吃到盒内表面对侧中点 B 处的食物，已知盒高 h10cm，底面圆的周长为 32cm， A 距离下底面 3cm请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为 cm点评：如图 2，此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形 EFGH,作出点 B 关于 EH 的对称点 B
7、,作 ACGH 于点 C,连接 A B。在 RtA BC 中，AC16, BC12,求得 A B20，则蚂蚁爬行的最短路程为 20cm。通过变式训练既解决了一类问题，又归纳出了最本质的东西，以后学生再碰到类似问题时学生就不会不知所措。同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性，发展了学生MA DB CNEF GBA CBH第 4 题图第 5 题图 2第 3 题图A BD CD1 C1421AC1= 42+32= 25; A BB1 CA1 C1412AC1= 62+12= 37; A B1D1DA1C1 41 2AC1= 52+22= 29 . 的应变能力。综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题
8、、习题的基础上，进行科学的变式训练，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。题目 6 长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处（三条棱长如图所示） ，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？析：展开图如图所示， 37295路线 1 即为所求。长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。A BA1 B1D CD1 C1214由学生引申总结以下 14：
9、1、 已知：如图，A、B 两点在直线 的同侧，点 与 A 关于直线 对称，连结 交 于 PllABl点，若 =a， （1）求 AP+PB；（2）若点 M 是直线 上异于 P 点的任意一点，求证： l.MPB2、 已知：A、B 两点在直线 的同侧，试分别画出符合条件的点 M。l（1） 在 上求作一点 M，使得 最小；lAB（2） 在 上求作一点 M，使得 最大；lAB（3） 在 上求作一点 M，使得 AM+BM 最小。l3、 如图，AD 为BAC 的平分线，DEAB 于 E，DFAC 于 F，那么点 E、F 是否关于 AD 对称？若对称，请说明理由。AMPA BlABlABlABlFED CAB
10、4、 已知：如图，点 分别是 P 点关于ABC 的两边 BA、BC 的对称点，连接 ，分12,p 12p别交 BA、BC 边于 E、D 点，若 =m，12p（1） 求PDE 的周长；（2）若 M 是 BA 边上异于 E 的一点，N 是 BC 边上异于 D 的一点，求证：PMN 的周长PDE 的周长。轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。5. 如图，菱形 ABCD 中，AB=2，BAD=60，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PB 的最小值是_。分析：首先分解此图形，构建如图 5 模型，因为 E、B 在直线 AC 的同侧，要在 AC 上找一点 P，使 PE+PB 最小，关键是找出点 B 或 E 关于 AC 的对称点。如图 6，由菱形的对称性可知点 B 和 D 关于 AC 对称，连结 DE，此时 DE 即为 PE+PB 的最小值，图 5 图 6由BAD=60，AB=AD，AE=BE 知，32DE故 PE+PB 的最小值为 。P1EDCP2PMNAB
